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【大师特稿】高考数学答题模板:第6讲-圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)

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第6讲 圆锥曲线中的定点、定值问题 例 7 已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小 2 值为 2-1,离心率为 e= 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)过点(1,0)作直线 l 交 E 于 P、Q 两点,试问:在 x 轴上是否存在一个定点 M,使 →· → 为定值?若存在,求出这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. MP MQ 审题破题 (1)利用待定系数法求 E 的方程;(2)探求定点可以先根据特殊情况找出 点,再对一般情况进行证明. x2 y2 解 (1)设椭圆 E 的方程为a2+b2=1(a>b>0), ?a-c= 2-1, 由已知得?c 2 ?a= 2 , 2 2 2 ?a= 2, 解得? ?c=1. x2 2 所以 b =a -c =1.所以椭圆 E 的方程为 2 +y =1. (2)假设存在符合条件的点 M(m,0), 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → =(x -m,y ),MQ → =(x -m,y ),MP →· → =(x -m)(x -m)+y y =x x -m(x 则MP MQ 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 +x2)+m2+y1y2. ①当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1), x2 ? ? +y2=1, 由? 2 ? ?y=k?x-1?, 得 x2+2k2(x-1)2-2=0, 即(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 2k2-2 4k2 则 x1+x2= 2 ,x x = , 2k +1 1 2 2k2+1 y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1] k2 =- 2 , 2k +1 2 2 →· → =2k -2-m· 4k +m2- k 所以MP MQ 2k2+1 2k2+1 2k2+1 2 = ?2m2-4m+1?k2+?m2-2? . 2k2+1 →· → 为定值, 因为对于任意的 k 值,MP MQ 5 所以 2m2-4m+1=2(m2-2),得 m=4. ?5 ? →· → =- 7 . 所以 M?4,0?,此时,MP MQ 16 ? ? ②当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1, 1 则 x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=-2, 5 →· → =- 7 . 由 m=4,得MP MQ 16 ?5 ? 综上,符合条件的点 M 存在,且坐标为?4,0?. ? ? 构建答题模板 第一步:引进参数.从目标对应的关系式出发,引进相关参数.一般地,引进的参数 是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等; 第二步:列出关系式.根据题设条件,表达出对应的动态直线或曲线方程; 第三步:探求直线过定点.若是动态的直线方程,将动态的直线方程转化成 y-y0= k?x-x0?的形式,则 k∈R 时直线恒过定点?x0,y0?;若是动态的曲线方程,将动态的 曲线方程转化成 f?x,y?+λg?x,y?=0 的形式,则 λ∈R 时曲线恒过的定点即是 f?x, y?=0 与 g?x,y?=0 的交点;,第四步:下结论; 第五步:回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时,引进参数的目的是 以这个参数为中介,通过证明目标关系式与参数无关,达到解决问题的目的. 对点训练 7 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 M(4,0). (1)若点 F 到直线 l 的距离为 3,求直线 l 的斜率; (2)设 A,B 为抛物线上的两点,且直线 AB 不与 x 轴垂直,若线段 AB 的垂直平分线 恰过点 M,求证:线段 AB 中点的横坐标为定值. (1)解 由已知得直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4),由题意知抛物 线的焦点坐标为(1,0), 因为点 F 到直线 l 的距离为 3,所以 |3k| = 3, 1+k2 2 2 解得 k=± 2 ,所以直线 l 的斜率为± 2 . (2)证明 设线段 AB 中点的坐标为 N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线 AB 不与 x 轴垂直,所以 AB 斜率存在, 所以直线 MN 的斜率为 4-x0 y0 ,直线 AB 的斜率为 y , x0-4 0 4-x0 直线 AB 的方程为 y-y0= y (x-x0), 0 4-x0 ? ?y-y0= y0 ?x-x0?, 联立方程得? 2 ? ?y =4x, x0? ? 消去 x,得?1- 4 ?y2-y0y+y2 0+x0(x0-4)=0, ? ? 4y0 所以 y1+y2= , 4-x0 因为 N 为线段 AB 的中点,所以 即 2y0 =y , 4-x0 0 y1+y2 2 =y0, 所以 x0=2.即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.

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