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2015-2016高中数学 3.2.3函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1_图文

时间:2015-10-29

3.2.3

函数模型的应用实例

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1.能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用一次函数、 二次函数模型解决实际问题.体会 运用函数思想处理现实生活和 社会中的简单问题.

2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、 幂函数、分段函数等)的实例,了解函 数模型的广泛应用.

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题型1 利用散点图拟合函数、建立函数模型
例1 某皮鞋厂,从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分 别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款 式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时, 接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里 分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里 暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,将会采取什么办法 估算以后几个月的产量?
分析:作出图象如下,图上可以得到四个点:

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A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).

解析:方法一(一次函数模拟) 设模拟函数为y=ax+b,将B、C两点的坐标代入函数式,
? ? ?3a+b=1.3, ?a=0.1, 有? 解之得? ?2a+b=1.2, ?b=1, ? ?
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所以得y=0.1x+1. 点评:此法的结论是,在不增加工人和设备的条件下,产量会 月月上升1 000双,这是不太可能的.

方法二(二次函数模拟) 设y=ax2+bx+c,将A、B、C三点代入,有 a+b+c=1, a=-0.05, ? ? ? ? ?4a+2b+c=1.2,解得?b=0.35, ? ? ?9a+3b+c=1.3, ?c=0.7. 所以y=-0.05x2+0.35x+0.7. 点评:由此法计算4月产量为1.3万双,比实际产量少700双,而 且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将月月下降(图象开口 向下,对称轴x=3.5),不合实际.

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方法三(幂函数模拟) 设y=a x+b,将A、B两点的坐标代入有
? ? ?a+b=1, ?a=0.48, ? 解得? ? ? ?b=0.52. ? 2a+b=1.2,

所以y=0.48 x+0.52. 点评:把x=3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差 距较大.

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方法四(指数函数模拟) 设y=abx+c,将A,B,C三点的坐标代入,得 ab+c=1, a=-0.8, ? ? ? 2 ? ?ab +c=1.2,解得?b=0.5, ? ? ?ab3+c=1.3, ?c=1.4. 所以y=-0.8×0.5x+1.4. 点评:比较以上四个函数的优劣,知选用y=-0.8×0.5x+1.4模 拟比较接近客观实际.其原因:一是误差小,二是新厂一段时间内 产量会明显上升,符合实际.

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点评:依据问题给出的数据,建立反映数据变化规律的函数模 型的探索步骤为: (1)建立直角坐标系,画出散点图; (2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式; (3)利用待定系数法求出各解析式; (4)对模型拟合程度进行检验,若拟合程度差,重新选择拟合函 数,若拟合程度较好,符合实际问题,就用这个函数模型解释实际 问题.
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?跟踪训练 1.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生 长时间t(年)的相关数据,选择y=at+b与y=loga(t+1)来刻画h与t的关 系,你认为哪个符合?并预测第8年的松树高度. t/年 h/米 1 0.6 2 1 3 1.3 4 1.5 5 1.6 6 1.7
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解析:据表中数据作出散点图如下:

由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合 理.不妨把点(2,1)代入到y=loga(t+1)中,可得 1=loga3,所以a=3. 故可用函数y=log3(t+1)来拟合这个实际问题,当t=8时代入求得h = log3(8+1)=2. 所以预测第8年松树的高度为2米.
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题型2 函数图像相关的应用题
例2 向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水 深h的函数关系的图象如右图所示,那么水瓶的形状是( )
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解析:取水深h=时,注水量V=V′>,即水深至一半时,实际 注水量大于水瓶总水量之半,A中V′<,C,D中V′=,故排除A, C,D.

答案:B
点评:结合函数图象与实际问题研究,特别注意中间量与两端 值的检验,有利于问题的解决.

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?跟踪训练 2.某地一年的气温G(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如右图 所示,已知该年的平均气温为10 ℃,令Q(t)表示时间段[0,t]的平均 气温,Q(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是 ( A)
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题型3 几何问题中的函数关系
例3 如下图所示,已知⊙O的半径为R,由直径AB的端点B

作圆的切线,从圆周上任一点P引该切线的垂线,垂足为M,连 AP,设AP=x.
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(1)写出AP+2PM关于x的函数关系式; (2)求此函数的最值.

解析:(1)如图,过 P 作 PD⊥AB 于 D,连接 PB,设 AD=a, x2 x2 则 x =2R· a,a= ,PM=2R- . 2R 2R
2

x2 ∴f(x)=AP+2PM=- +x+4R(0≤x≤2R). R 1 ? R?2 17R (2)f(x)=- ?x- 2 ? + , R? 4 ? 17 R 当 x= 时,f(x)max= R; 2 4 当 x=2R 时,f(x)min=2R. 点评: 与几何相等的问题, 首先要准确理解题意, 列出函数关系, 再利用二次函数或函数单调性求函数的最值.

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?跟踪训练 3.距离船只A的正北方向100海里处有一船只B,以每小时20海里 的速度,沿北偏西60°角的方向行驶,A船只以每小时15海里的速 度向正北方向行驶,两船同时出发,问几小时后两船相距最近?

解析:设t小时后A行驶到点C,B行驶到点D,则BD=20t,BC= 100-15t,过D作DE⊥BC于E,如图所示.

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DE=BDsin 60° =10 3t,BE=BDcos 60°=10t, ∴EC=BC+BE=100-5t, 2 2 2 2 CD= DE +CE = (10 3t) +(100-5t) = 325t2-1 000t+10 000. 20 3 20 ∴t= 时CD最小,最小值为200 ,即两船行驶 小时相距 13 13 13 最近.

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