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高三理科数学套卷综合练习二十一(带详细答案)_图文

时间:2016-12-19

综合练习二十一
一.选择题(共 12 小题) 1. (2016?江西模拟)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}的元素个数为( A.4 B.5 C.6 D.9 ) )

2. (2016?贵阳校级模拟)已知复数 z 满足 i=z(1﹣i) ,其中 i 为虚数单位,则复数 所对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. (2016?郑州校级模拟)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当 a>b,b<c 时称为“凹 数”(如 213,312 等) ,若 a,b,c∈{1,2,3,4}且 a,b,c 互不相同,则这个三位数是“凹数”的概率是( A. B.
2 2



C.

D.

4. (2016?德阳模拟)已知 P 是圆(x﹣1) +y =1 上异于坐标原点 O 的任意一点,直线 OP 的倾斜角为 θ,若|OP|=d, 则函数 d=f(θ)的大致图象是( )

A.

B.

C.

D. )

5. (2016 秋?天水校级月考)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(

A.y=2sin(2x﹣



B.y=2sin(2x﹣



C.y=2sin(x+



D.y=2sin(x+

) )

6. (2014 秋?江西月考)运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t 的取值范围为(

A.

B.

C.

D. ,a+b=6,

7. (2016?辽宁校级模拟)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,若 S△ABC=2 =2cosC,则 c=( A.2 B.4 ) C.2 = ) D. = D.3 , ? = ?

8. (2016 秋?葫芦岛月考)在平面内,定点 A,B,C,D 满足 点 P,M 满足 A. =1, = B. ,则| | 的最大值是( C.
2

=

?

=﹣2,动

9. (2016?呼和浩特二模)某几何体的三视图如图所示,则其侧面积为(



A.

B.

C.

D.

10. (2016?河南模拟)数列{an},{bn}中,an=ln A.﹣12 B.﹣6

+2n,bn=ln C.12 +

﹣n,θ 为常数,若 a8=20,则 b8=( D.6



11. (2016?南昌校级二模)已知 F1,F2 分别是椭圆
2

=1(a>b>c)的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内

的一点,O 为坐标原点, A.y=

? B.y=

=| x

| ,若椭圆的离心率等于 C.y= x

,则直线 OA 的方程是( D.y=x



12. (2016?宜春二模)定义:如果函数 f(x)在[a,b]上存在 x1,x2(a<x1<x2<b)满足
3 2



,则称函数 f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数 f(x)=x ﹣x +a 是[0,a]上的“双 中值函数”,则实数 a 的取值范围是( A. 二.填空题(共 4 小题) 13. (2016?陕西一模)如果 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 的系数是______. B. ( ) ) C. ( ,1) D. ( ,1)

14. (2016?池州二模)表面积为 60π 的球面上有四点 S、A、B、C,且△ABC 是等边三角形,球心 O 到平面 ABC 的 距离为 ,若平面 SAB⊥平面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 体积的最大值为______. + =1(a>b>0)的离心率 e= ,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上

15. (2016?江西校级三模)已知椭圆

不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 斜倾角分别为 α,β,则|tanα﹣tanβ|的最小值为______. 16. (2016?河南模拟)如果定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不等的实数 x1,x2 都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) 3 +x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“Z 函数”给出函数:①y=﹣x +1, ②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y= 三.解答题(共 7 小题) 17. (2016?丹东一模)在△ABC 中,角 A、B、C 分别是边 a、b、c 的对角,且 3a=2b, (Ⅰ)若 B=60°,求 sinC 的值; (Ⅱ)若 ,求 cosC 的值. ④y= .以上函数为“Z 函数”的序号为 .

18. (2016?上海模拟)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列. (1)a1,a3,a4 成等比数列,求 a1 的值; (2)设 a1=﹣19,数列{an}的前 n 项和为 Sn.数列{bn}满足 N) ,求数列{cn}的最小项
*

,记

(n∈

(即

对任意 n∈N 成立) .

*

19. (2016?武昌区模拟)M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生 的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工 作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作”. (Ⅰ) 如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人, 再从这 8 人中选 3 人, 那么至少有一人是“甲 部门”人选的概率是多少? (Ⅱ)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出 X 的分布列,并求 出 X 的数学期望.

20. (2016?陕西校级模拟)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB= BD 与 AB1 交于点 O,CO⊥侧面 ABB1A1. (1)证明:CD⊥AB1; (2)若 OC=OA,求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值.

,AA1=2,D 为 AA1 的中点,

21. (2016?广州一模)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A,左焦点为 F1(﹣2,0) ,点 B(2, )在椭圆 C 上,直线 y=kx(k≠0)与椭圆 C 交于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别与 y 轴交于点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 P,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有∠MPN 为直角?若存在,求出点 P 的坐标,若不 存在,请说明理由.

22. (2017 春?葫芦岛期末)已知函数 f(x)=﹣xlnx+ax,g(x)= (1)若 a=2,求函数 f(x)的单调区间,并求 f(x)的最大值;



(2)若不等式 f(x)≤g(x)对任意实数 x∈[1,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证:不等式 lnk≥n( ﹣ ) (n∈N ) .
*

23. (2016?衡阳一模)在极坐标系中,曲线 C:ρ=2acosθ(a>0) ,l:ρcos(θ﹣ (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且∠AOB=

)= ,C 与 l 有且仅有一个公共点.

,求|OA|+|OB|的最大值.

2016 年 09 月 29 日综合练习二十一
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1. (2016?江西模拟)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}的元素个数为( ) A.4 B.5 C .6 D.9 【考点】集合的表示法;元素与集合关系的判断. 【专题】计算题;集合思想;综合法;集合. 【分析】可分别让 x 取 0,1,2,而 y=0,1,2,这样可以分别求出 x﹣y 的值,即得出所有 x﹣y 的值,从而得出集合 B 的所有元素,这样便可得出集合 B 的元素个数. 【解答】解:①x=0 时,y=0,1,2,∴x﹣y=0,﹣1,﹣2; ②x=1 时,y=0,1,2,∴x﹣y=1,0,﹣1; ③x=2 时,y=0,1,2,∴x﹣y=2,1,0; ∴B={0,﹣1,﹣2,1,2},共 5 个元素. 故选:B. 【点评】考查列举法和描述法表示集合,以及元素与集合的关系.
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2. (2016?贵阳校级模拟)已知复数 z 满足 i=z(1﹣i) ,其中 i 为虚数单位,则复数 所对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
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【解答】解: ∴ ,对应点为

, ,在第三象限.

故选:C. 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 3. (2016?郑州校级模拟)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当 a>b,b<c 时称为“凹 数”(如 213,312 等) ,若 a,b,c∈{1,2,3,4}且 a,b,c 互不相同,则这个三位数是“凹数”的概率是( ) A. B. C. D.
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【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】根据题意,分析“凹数”的定义,可得要得到一个满足 a≠c 的三位“凹数”,在{1,2,3,4}的 4 个整数中任取 3 个数字,组成三位数,再将最小的放在十位上,剩余的 2 个数字分别放在百、个位上即可,再利用古典概型概率计算 公式即可得到所求概率. 【解答】解:根据题意,要得到一个满足 a≠c 的三位“凹数”, 在{1,2,3,4}的 4 个整数中任取 3 个不同的数组成三位数,有 C4 ×
3

=24 种取法,
3

在{1,2,3,4}的 4 个整数中任取 3 个不同的数,将最小的放在十位上,剩余的 2 个数字分别放在百、个位上,有 C4 ×2=8 种情况, 则这个三位数是“凹数”的概率是 ;

故选:C. 【点评】本题考查组合数公式的运用,关键在于根据题干中所给的“凹数”的定义,再利用古典概型概率计算公式即得 答案.

4. (2016?德阳模拟)已知 P 是圆(x﹣1) +y =1 上异于坐标原点 O 的任意一点,直线 OP 的倾斜角为 θ,若|OP|=d, 则函数 d=f(θ)的大致图象是( )

2

2

A.
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B.

C.

D.

【考点】圆的标准方程. 【专题】三角函数的求值. 【分析】分两种情况考虑,当直线 OP 过第一象限与当直线 OP 过第四象限,画出函数图象,即可得到结果. 【解答】解:当直线 OP 过第一象限时,得到 d=f(θ)=2cosθ(0≤θ< 当直线 OP 过第四象限时,得到 d=f(π﹣θ)=2cos(π﹣θ)=﹣2cosθ( 图象如图所示, 故选:D. ) , <θ≤π) ,

【点评】此题考查了圆的标准方程,利用了数形结合的思想,弄清题意是解本题的关键. 5. (2016 秋?天水校级月考)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )

A.y=2sin(2x﹣

) B.y=2sin(2x﹣

) C.y=2sin(x+
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D.y=2sin(x+



【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】转化思想;转化法;三角函数的图像与性质. 【分析】根据已知中的函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求出满足条件的 A,ω,φ 值,可得答案. 【解答】解:由图可得:函数的最大值为 2,最小值为﹣2,故 A=2, = ,故 T=π,ω=2,

故 y=2sin(2x+φ) , 将( ,2)代入可得:2sin( +φ)=2,

则 φ=﹣

满足要求, ) ,

故 y=2sin(2x﹣

故选:A. 【点评】本题考查的知识点是由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,确定各个参数的值是解答的关键. 6. (2014 秋?江西月考)运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t 的取值范围为( )

A.

B.
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C.

D.

【考点】循环结构. 【专题】计算题. 【分析】第一次执行循环结构:n←0+2,第二次执行循环结构:n←2+2,第三次执行循环结构:n←4+2,此时应终止循 环结构.求出相应的 x、a 即可得出结果. 【解答】解:第一次执行循环结构:n←0+2,x←2×t,a←2﹣1;∵n=2<4,∴继续执行循环结构. 第二次执行循环结构:n←2+2,x←2×2t,a←4﹣1;∵n=4=4,∴继续执行循环结构, 第三次执行循环结构:n←4+2,x←2×4t,a←6﹣3; 8t ∵n=6>4,∴应终止循环结构,并输出 3 . 由于结束时输出的结果不小于 3, 故 3 ≥3,即 8t≥1,解得 t
8t



故答案为:B. 【点评】理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题的关键.属于基础题. 7. (2016?辽宁校级模拟)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,若 S△ABC=2 =2cosC,则 c=( ) A.2 B.4 C .2 D.3 【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】三角函数的求值;解三角形. 【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式,化简可得角 C,再由面积公式和余弦定理,计算即可得到 c 的值.
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,a+b=6,

【解答】解: = =1,

=

即有 2cosC=1, 可得 C=60°, 若 S△ABC=2 ,则 absinC=2 ,

即为 ab=8, 又 a+b=6, 2 2 2 2 由 c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣2ab﹣ab 2 2 =(a+b) ﹣3ab=6 ﹣3×8=12, 解得 c=2 . 故选 C.

【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用,同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用,考查运算 能力,属于中档题.

8. (2016 秋?葫芦岛月考)在平面内,定点 A,B,C,D 满足 点 P,M 满足 A. B. =1, C. = ,则| D.
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= )

=



?

=

?

=

?

=﹣2,动

| 的最大值是(

2

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;分析法;平面向量及应用. 【分析】 由 = = , 可得 D 为△ABC 的外心, 又 ? = ? = ? , 可得可得 D 为△ABC 的垂心,

则 D 为△ABC 的中心,即△ABC 为正三角形.运用向量的数量积定义可得△ABC 的边长,以 A 为坐标原点,AD 所 在直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy,求得 B,C 的坐标,再设 P(cosθ,sinθ) , (0≤θ<2π) ,由中点坐标公式可得 M 的坐标,运用两点的距离公式可得 BM 的长,运用三角函数的恒等变换公式,结合正弦函数的值域,即可得到最大值. 【解答】解:由 又 ? ?( 即 即有 ? = ﹣ = ⊥ ? = = ? = ,可得 ?( ﹣ )=0, ,可得 D 为△ABC 的外心,

)=0, ? , =0, ⊥

,可得 D 为△ABC 的垂心,

则 D 为△ABC 的中心,即△ABC 为正三角形. 由 ? =﹣2,即有| |?| |cos120°=﹣2, ,

解得|

|=2,△ABC 的边长为 4cos30°=2

以 A 为坐标原点,AD 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy, 可得 B(3,﹣ ) ,C(3, ) ,D(2,0) , 由 由 则| =
2

=1,可设 P(cosθ,sinθ) , (0≤θ<2π) , ,可得 M 为 PC 的中点,即有 M( ) +(
2

, )
2

) ,

| =(3﹣

+

=

+

=

= 当 sin(θ﹣ 故选:B.

, )=1,即 θ= 时,取得最大值,且为 .

【点评】本题考查向量的定义和性质,以及模的最值的求法,注意运用坐标法,转化为三角函数的最值的求法,考查 化简整理的运算能力,属于中档题. 9. (2016?呼和浩特二模)某几何体的三视图如图所示,则其侧面积为( )

A.

B.
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C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】从三视图可以推知,几何体是四棱锥,底面是一个直角梯形,一条侧棱垂直底面,易求侧面积. 【解答】解:几何体是四棱锥,底面是一个直角梯形,一条侧棱垂直底面. 且底面直角梯形的上底为 1,下底为 2,高为 1,四棱锥的高为 1. 四个侧面都是直角三角形, 其中△PBC 的高 PB= = =

故其侧面积是 S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD
=

=

故选 A 【点评】本题考查三视图求面积、体积,考查空间想象能力,是中档题.

10. (2016?河南模拟)数列{an},{bn}中,an=ln

+2n,bn=ln

﹣n,θ 为常数,若 a8=20,则 b8=(



A.﹣12 B.﹣6 C.12 D.6 【考点】数列的概念及简单表示法. 【专题】计算题;转化思想;定义法;等差数列与等比数列. 【分析】根据对数的运算性质可得 an+bn=n,代值计算即可得到.
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【解答】解:由 an+bn=ln

+2n+ln

﹣n=ln

?

+n=ln1+n=n,

得 a8+b8=8, 又由 a8=20,则 b8=﹣12, 故选:A 【点评】本题考查了对数的运算性质和数列的概念,属于基础题.

11. (2016?南昌校级二模)已知 F1,F2 分别是椭圆
2

+

=1(a>b>c)的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内

的一点,O 为坐标原点, A.y= B.y= x

? C.y=
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=| x

| ,若椭圆的离心率等于 D.y=x

,则直线 OA 的方程是(



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 F2(c,0) ,令 x=c,代入椭圆方程求得 y=± ,运用向量的数量积的定义可得 AF2⊥F1F2,可得 A(c,

) ,运用离心率公式和直线的斜率公式,计算即可得到所求直线方程. 【解答】解:设 F2(c,0) , 令 x=c,代入椭圆方程可得 y=±b
2







?

=| |? |

|, |?cos∠AOF2=| |,
2

即为|

则|

|?cos∠AOF2=|

|, ) ,

即有 AF2⊥F1F2,可得 A(c, 又 e= = ,

可得

=

=

=

=



则直线 OA 的方程为 y= 故选:B.

x,即为 y=

x.

【点评】本题考查直线方程的求法,注意运用向量的数量积的定义和椭圆的离心率公式,考查化简整理的运算能力, 属于中档题.

12. (2016?宜春二模)定义:如果函数 f(x)在[a,b]上存在 x1,x2(a<x1<x2<b)满足
3 2



,则称函数 f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数 f(x)=x ﹣x +a 是[0,a]上的“双 中值函数”,则实数 a 的取值范围是( A. B. (
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) C. ( ,1) D. ( ,1)

【考点】导数的几何意义.

【分析】根据题目给出的定义可得 f′(x1)=f′(x2)= 两个解,利用二次函数的性质可知实数 a 的取值范围. 【解答】解:由题意可知,∵f(x)=x ﹣x +a,f′(x)=3x ﹣2x 在区间[0,a]存在 x1,x2(a<x1<x2<b) , 满足 f′(x1)=f′(x2)=
3 2 3 2 2

=a ﹣a,即方程 3x ﹣2x=a ﹣a 在区间(0,a)有

2

2

2

=a ﹣a,

2

∵f(x)=x ﹣x +a, 2 ∴f′(x)=3x ﹣2x, 2 2 ∴方程 3x ﹣2x=a ﹣a 在区间(0,a)有两个不相等的解. 2 2 令 g(x)=3x ﹣2x﹣a +a, (0<x<a)





解得;



∴实数 a 的取值范围是( ,1) 故选:C 【点评】本题主要考查了导数的几何意义,二次函数的性质与方程根的关系,属于中档题 二.填空题(共 4 小题) 13. (2016?陕西一模)如果 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 的系数是 21 .

【考点】二项式系数的性质. 【专题】计算题;二项式定理. 【分析】先通过给 x 赋值 1 得到展开式的各项系数和;再利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为﹣3
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得到展开式中

的系数.
n

【解答】解:令 x=1 得展开式的各项系数和为 2 n ∴2 =128 解得 n=7 ∴ 展开式的通项为 Tr+1= =﹣3,解得 r=6

令 7﹣

∴展开式中

的系数为 3C7 =21

6

故答案为:21. 【点评】本题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法,考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项 问题. 14. (2016?池州二模)表面积为 60π 的球面上有四点 S、A、B、C,且△ABC 是等边三角形,球心 O 到平面 ABC 的 距离为 ,若平面 SAB⊥平面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 体积的最大值为 27 . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】棱锥 S﹣ABC 的底面积为定值,欲使棱锥 S﹣ABC 体积体积最大,应有 S 到平面 ABC 的距离取最大值,由 此能求出棱锥 S﹣ABC 体积的最大值. 【解答】解:∵表面积为 60π 的球,∴球的半径为 , 设△ABC 的中心为 D,则 OD= ,所以 DA= ,则 AB=6
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棱锥 S﹣ABC 的底面积 S=

为定值,

欲使其体积最大,应有 S 到平面 ABC 的距离取最大值, 又平面 SAB⊥平面 ABC, ∴S 在平面 ABC 上的射影落在直线 AB 上,而 SO= ,点 D 到直线 AB 的距离为 则 S 到平面 ABC 的距离的最大值为 , ∴V= .



故答案为:27. 【点评】本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论 证能力和运算求解能力.

因为都是直角,所以 ODEO1 为长方形

15. (2016?江西校级三模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上

不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 斜倾角分别为 α,β,则|tanα﹣tanβ|的最小值为 1 . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;转化思想;不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 利用椭圆的标准方程及其性质可得: kPA?kPB=﹣ 再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵离心率 e= = = ,

, 即 tanαtanβ=﹣

=﹣ , 由|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|,



= .

设 P(x0,y0) ,椭圆顶点 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,kPA=



kPA?kPB=





=1,∴



∴kPA?kPB=﹣



即 tanαtanβ=﹣

=﹣ ,

∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2 =1.当且仅当|tanα|=|tanβ|=1 时取等号. ∴|tanα﹣tanβ|的最小值为 1, 故答案为:1. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 16. (2016?河南模拟)如果定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不等的实数 x1,x2 都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“Z 函数”给出函数: ①y=﹣x +1,②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y= 以上函数为“Z 函数”的序号为 ② . 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,即满足条件的函数 为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立,
3

④y=



即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. 3 ①函数 y=﹣x +1 在定义域上单调递减.不满足条件. ②y=3x﹣2sinx﹣2cosx,y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2(sinx﹣cox)=3﹣2 sin(x﹣ )>0,函数单调递增,满足条件.

③f(x)=y=

,当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满足条件.

④y=

,当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满足条件.

故答案为:② 点评: 本题主要考查函数单调性的应用,将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键.

三.解答题(共 7 小题) 17. (2016?丹东一模)在△ABC 中,角 A、B、C 分别是边 a、b、c 的对角,且 3a=2b, (Ⅰ)若 B=60°,求 sinC 的值; (Ⅱ)若 ,求 cosC 的值.
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【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理化简已知可得 3sinA=2sinB,由已知可求 sinA,利用大边对大角可得 A 为锐角,可求 cosA, 利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式即可求 sinC 的值. (Ⅱ)设 a=2t,b=3t,由已知可求 【解答】 (本题满分为 14 分) 解: (Ⅰ)在△ABC 中,∵3a=2b,∴3sinA=2sinB 又∵B=60°,代入得 3sinA=2sin60°,解得 ∵a:b=2:3,∴A<B,即 ∴ (Ⅱ)设 a=2t,b=3t,则 , .…(7 分) . ,利用余弦定理即可得解 cosC 的值.



.…(14 分)

【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式,余弦定理在解三角形 中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 18. (2016?上海模拟)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列. (1)a1,a3,a4 成等比数列,求 a1 的值; (2)设 a1=﹣19,数列{an}的前 n 项和为 Sn.数列{bn}满足 N) ,求数列{cn}的最小项
*

,记

(n∈

(即

对任意 n∈N 成立) .
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*

【考点】等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项 a1 的值.

(2)由已知利用累加法能求出 bn=2﹣( )

n﹣1

.从而能求出 cn﹣cn﹣1=2n﹣19+2 ,由此能求出数列{cn}的最小项.

n

【解答】解: (1)∵数列{an}是公差为 2 的等差数列.a1,a3,a4 成等比数列, ∴ .

解得 d=2,a1=﹣8 (2)bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1) =1+

=

=2﹣( )

n﹣1

. , ,

=2n﹣19+2 由题意 n≥9,上式大于零,即 c9<c10<…<cn, n 进一步,2n+2 是关于 n 的增函数, 4 3 ∵2×4+2 =24>19,2×3+2 =14<19, ∴c1>c2>c3>c4<c5<…<c9<c10<…<cn, ∴ .

n

【点评】本题考查数列的首项的求法,考查数列的最小项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等 比数列的性质的合理运用. 19. (2016?武昌区模拟)M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生 的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工 作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作”. (Ⅰ) 如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人, 再从这 8 人中选 3 人, 那么至少有一人是“甲 部门”人选的概率是多少? (Ⅱ)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出 X 的分布列,并求 出 X 的数学期望.

【考点】离散型随机变量及其分布列;分层抽样方法;茎叶图;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】 (I)由茎叶图可知甲部门、乙部门的人选数,先算出每人被抽中的概率,根据抽取比例可算出甲部门、乙部 门所抽取的人数,“至少有一名甲部门人被选中”的概率等于 1 减去其对立事件“没有一名甲部门人被选中”的概率; (II)依据题意,能担任“助理工作”的人数 X 的取值分别为 0,1,2,3,通过计算即写出 X 的分布列,根据期望公式 即可算出期望;
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【解答】解: (I)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率为 根据茎叶图,有“甲部门”人选 10 人,“乙部门”人选 10 人,

= ,

所以选中的“甲部门”人选有 10× =4 人,“乙部门”人选有 10× =4 人, 用事件 A 表示“至少有一名甲部门人被选中”,则它的对立事件 表示“没有一名甲部门人被选中”,则 P(A)=1﹣P( ) =1﹣ =1﹣ = .

因此,至少有一人是“甲部门”人选的概率是



(Ⅱ)依据题意,所选毕业生中能担任“助理工作”的人数 X 的取值分别为 0,1,2,3,

P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

= ,P(X=3)=

= .

因此,X 的分布列如下:

所以 X 的数学期望 EX=0×

+1×

+2×

+3×

= .

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望,考查茎叶图、分层抽样,考查学生对问题的分析理解能力,掌握 相关概念、公式是解决该类问题的基础. 20. (2016?陕西校级模拟)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB= BD 与 AB1 交于点 O,CO⊥侧面 ABB1A1. (1)证明:CD⊥AB1; (2)若 OC=OA,求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值. ,AA1=2,D 为 AA1 的中点,

【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】证明题;转化思想;综合法;空间角.

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【分析】 (1)推导出∠ABD=∠AB1B,从而∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=

,进而 AB1⊥BD.由线面垂直得

AB1⊥CO.从而 AB1⊥平面 CBD.由此能证明 BC⊥AB1. (2)以 O 为原点,分别以 OD,OB1,OC 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值. 【解答】证明: (1)由题意可知,在 Rt△ABD 中,tan∠ABD= 在 Rt△ABB1 中,tan∠AB1B= 又因为 0<∠ABD,∠AB1B = . = ,

,所以∠ABD=∠AB1B,

所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=



所以 AB1⊥BD. 又 CO⊥侧面 ABB1A1,且 AB1? 侧面 ABB1A1,∴AB1⊥CO. 又 BD 与 CO 交于点 O,所以 AB1⊥平面 CBD. 又因为 BC? 平面 CBD,所以 BC⊥AB1. (6 分) 解: (2)如图所示,以 O 为原点,分别以 OD,OB1,OC 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(0,﹣ B1(0, 又因为 所以 ,0) ,B(﹣ ,0) ,D( =2 =(﹣ ,0,0) ,C(0,0, ) ,

,0,0) . , =(0, , , ) . ) , =( , , ) .

,所以 C1( , ,0) ,

设平面 ABC 的法向量为 =(x,y,z) ,

则由

,得

令 y=

,则 z=﹣

,x=1, =(1,

,﹣

)是平面 ABC 的一个法向量.

设直线 C1D 与平面 ABC 所成的角为 α, 则 sin α= = .

故直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值为

. (12 分)

【点评】本题考查异面直线的证明,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理 运用. 21. (2016?广州一模)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A,左焦点为 F1(﹣2,0) ,点 B(2, )在椭圆 C 上,直线 y=kx(k≠0)与椭圆 C 交于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别与 y 轴交于点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 P,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有∠MPN 为直角?若存在,求出点 P 的坐标,若不 存在,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】转化思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (Ⅰ)由题意可设椭圆标准方程为
2 2

+

=1(a>b>0) ,结合已知及隐含条件列关于 a,b,c 的方程组,求

解方程组得到 a ,b 的值,则椭圆方程可求; (Ⅱ)设 F(x0,y0) ,E(﹣x0,﹣y0) ,写出 AE、AF 所在直线方程,求出 M、N 的坐标,得到以 MN 为直径的圆的 方程,由圆的方程可知以 MN 为直径的圆经过定点(±2,0) ,即可判断存在点 P. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可设椭圆方程为 + =1(a>b>0) ,

则 c=2,a ﹣b =c ,

2

2

2

+

=1,解得:a =8,b =4.

2

2

可得椭圆 C 的方程为

+

=1;

【点评】本题考查椭圆的方程和简单性质,考查直线与圆位置关系的应用,考查整体运算思想方法,是中档题.

22. (2017 春?葫芦岛期末)已知函数 f(x)=﹣xlnx+ax,g(x)=



(1)若 a=2,求函数 f(x)的单调区间,并求 f(x)的最大值; (2)若不等式 f(x)≤g(x)对任意实数 x∈[1,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证:不等式 lnk≥n( ﹣ ) (n∈N ) .
*

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】综合题;转化思想;综合法;导数的概念及应用. 【分析】 (1)求导数,利用导数的正负,可得函数 f(x)的单调区间,并求 f(x)的最大值;
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(2)若不等式 f(x)≤g(x)对任意实数 x∈[1,+∞)恒成立,a≤lnx+ 的取值范围; (3)令 f(x)=lnx﹣ (x≥2) ,f′(x)= +

,求出右边的最小值,即可求实数 a

>0 在[2,+∞)上恒成立,证明
*



在[2,+∞)

上恒成立,即可证明不等式

lnk≥n( ﹣

) (n∈N ) .

【解答】 (1)解:a=2 时,f(x)=﹣xlnx+2x(x>0) , ∴f′(x)=﹣lnx+1.

令 f′(x)>0,得 0<x<e,f′(x)<0,得 x>e, ∴f(x)的单调递增是(0,e) ,单调递减是(e,+∞) , ∴x=e 时,函数取得最大值 e; (2)解:不等式 f(x)≤g(x)对任意实数 x∈[1,+∞)恒成立, ∵x≥1,∴a≤lnx+ 令 h(x)=lnx+ . .只要 h(x)min≥a 即可.

h′(x)=
3 2


2

设 m(x)=x +2x ﹣x﹣1,m′(x)=3x +2x﹣1>0, ∴m(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴m(x)min=1>0, ∴h′(x)>0, ∴h(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴h(x)min= , ∴a≤ ;

【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,考查不等式的证明,考查学生 分析解决问题的能力,属于中档题.

23. (2016?衡阳一模)在极坐标系中,曲线 C:ρ=2acosθ(a>0) ,l:ρcos(θ﹣ (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且∠AOB=
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)= ,C 与 l 有且仅有一个公共点.

,求|OA|+|OB|的最大值.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】 (I)把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即可得出 a; (II)不妨设 A 的极角为 θ,B 的极角为 θ+ 数的单调性即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C:ρ=2acosθ(a>0) ,变形 ρ =2ρacosθ,化为 x +y =2ax,即(x﹣a) +y =a .
2 2 2 2 2 2

,则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+

)=2

cos(θ+

) ,利用三角函

∴曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆; 由 l:ρcos(θ﹣ )= ,展开为 y﹣3=0. =a,解得 a=1. , ,

∴l 的直角坐标方程为 x+ 由直线 l 与圆 C 相切可得

(Ⅱ)不妨设 A 的极角为 θ,B 的极角为 θ+ 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+ =3cosθ﹣ 当 θ=﹣ sinθ=2 cos(θ+ ) ) , .

时,|OA|+|OB|取得最大值 2

【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三 角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.


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