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四省名校(广西南宁二中等)2018届高三上学期第一次大联考数学(文)试题+Word版含答案

时间:2018-02-19


2018 届四省名校高三第一次大联考 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?3,6? ,则 ? U ? A U B ? ?( A. ?3? B. ?1, 2,5,6,7,8? C. ?1,6? D. ?2,4,7,8? ) )

2.已知 i 是虚数单位, z 是 z 的共轭复数, z ?1 ? i ? ? A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 i 2

1? i ,则 z 的虚部为( 1? i 1 D. ? i 2

3.是今年国庆中秋长假期间某客运站客运量比去年同期增减情况的条形图.根据图中的信 息,以下结论中不正确的是( )

A.总体上,今年国庆长假期间客运站的客流比去年有所增长 B.10 月 3 日、4 日的客流量比去年增长较多 C.10 月 6 日的客运量最小 D.10 月 7 日,同比去年客流量有所下滑 4.已知 sin ? ? cos ? ? A. ?

1 8

1 ,则 cos 4? ? ( 2 1 7 B. C. ? 8 16

) D.

7 16


?3 x ? y ? 3 ? 0, ? 5.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 5 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的取值范围是( ? x ? 8 y ? 4 ? 0, ?
A. ?3,9? B. ? 7,9? C. ?7, ??? D. ?9, ?? ?

6.设函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? A. f ? x ? 的一个周期为 2?

? ?

??

? ,则下列结论错误的是( 4?



B. f ? x ? 的图形关于直线 x ? C. f ? x ? 的一个零点为 x ? ? D. f ? x ? 在区间 ? 0,

?

?

8

对称

8

? ?

??

? 上单调递减 4?
4 ,则输入的 n 值为( 5


7.执行如图所示的程序框图,若输出的 S 值为

A.3

B. 4

C.5

D.6

8.已知正三棱柱(上下底面是等边三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱)的高为 2,它的 6 个顶点都在体积为

8 2 ? 的球的球面上,则该正三棱柱底面三角形边长为( 3 3 2
C.3 D. 2 3



A. 3

B.

9.中国人在很早就开始研究数列,中国古代数学著作《九章算术》 、 《算法统宗》中都有大 量古人研究数列的记载.现有数列题目如下:数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 比数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 ? a2 , b2 ? a3 ? a4 ,则 b3 ? ( A.4 B.5 C.9 D.16 )

1 2 n , n ? N* ,等 4

10. 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,E, F , G, H , I , J 分别为线段 PA, PB, PC, AB, BC, CA 的 中点,则下列说法正确的是( A. PH ∥ BG ) C. FH ∥ GJ D. GI ∥ JH

B. IE ∥ CP

11.过椭圆 C1 :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左顶点且斜率为 的直线 l 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 2 2 a b


交于不同的两个点,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是( A. ? 0,

? ? ?

5? ? 5 ? ?

B. ?

? 5 ? ? 5 ,1? ? ? ?

C. ? 0,

? ? ?

2 5? ? 5 ? ?

D. ?

?2 5 ? ? 5 ,1? ? ? ?

12.已知定义在区间 ? 0, ??? 上的函数 f ? x ? 满足

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,其中 x1 , x2 是任意两 x1 ? x2

个大于 0 的不等实数.若对任意 x ? ? 0, ??? ,都有 f

? f ? x? ? log x? ? 3 ,则函数
2

g ? x ? ? f ? x ?1? ? f ? ? x ?1? ? 2 的零点所在区间是(
A. ?1, 2 ? B. ? 2,3? C. ? 3, 4 ?

) D. ? 4,5?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) r r r r2 r2 r2 13.设向量 a ? ? t ,1? , b ? ?1, 2 ? ,且 a ? b ? a ? b ,则 t ?
14.设 F1 , F2 是双曲线



x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两个焦点, P 是双曲线上的一点,满足 a 2 b2


uu u r uuu r OP ? OF1 , O 是坐标原点,若 ?F1F2 P 的面积为 4,则 b ?

15.已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 c sin B ? 3b cos C , A ? 45? , 则B ? .

x ? ?2 , x ? 0, 16.已知函数 f ? x ? ? ? 若 f ? f ? 3? ? ? f ? a ? ,则实数 a 的取值范围 2 ? ?? x ? 1? , x ? 0,





三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. )
17.已知数列 ?an ? 满足 2a1 ? 3a2 ? 4a3 ? L ? ? n ? 1? an ? 2n .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n?3

18.在某单位的食堂中,食堂每天以 10 元/斤的价格购进米粉,然后以 4.4 元/碗的价格出 售,每碗内含米粉 0.2 斤,如果当天卖不完,剩下的米粉以 2 元/斤的价格卖给养猪场.根据 以往统计资料,得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示,若食堂购进了 80 斤 米粉,以 x (斤) (其中 50 ? x ? 100 )表示米粉的需求量, T (元)表示利润. (1)计算当天米粉需求量的平均数,并直接写出需求量的众数和中位数; (2)估计该天食堂利润不少于 760 元的概率.

19.在 Rt?ABC 中, ?C ? 90? , AC ? 4 , BC ? 2 , E 是 AC 的中点, F 是线段 AB 上 一个动点,且 AF ? ? AB ? 0 ? ? ? 1? ,如图所示,沿 BE 将 ?CEB 翻折至 ?DEB ,使得平 面 DEB ? 平面 ABE . (1)当 ? ?

uuu r

uu u r

1 时,证明: EF ? 平面 DBE ; 3

(2)是否存在 ? ,使得三棱锥 D ? BEF 的体积是 请说明理由.

2 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在, 3

20.已知椭圆 E : 3.

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F ?1,0 ? ,过 F 且与 x 轴垂直的弦长为 a 2 b2

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)过 F 作直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,问:在 x 轴上是否存在点 P ,使 PA ? PB 为定 值,若存在,请求出 P 点坐标,若不存在,请说明理由.

uu r uur

21.已知函数 f ? x ? ? ? ax ? a ? 1? ln x ? x ? 1 . (1)若 a ? 0 ,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 对一切 x ??1, ?? ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? (1)当 ? ?

? x ? t cos ? , ? x ? cos ? , ( t 为参数) ,圆 C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 2 ? t sin ? ? y ? sin ?
时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

?
3

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A , P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨 迹方程,并指出它是什么曲线. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? m ? 2 x ?1 ? m ? 0? . (1)当 m ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 10 的解集; (2)若不等式 f ? x ? 1? ? 3 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围.

2018 届四省名校高三第一次大联考 文数参考答案及评分细则 一、选择题
1-5:DACAC 6-10:DBACC 11、12:CB

二、填空题
13.-2 14.2 15.75° 16. ? ??,4?

三、解答题
17.解:∵ 2a1 ? 3a2 ? 4a3 ? L ? ? n ? 1? an ? 2n ,① ∴ a1 ? 1 , 当 n ? 2 时, 2a1 ? 3a2 ? 4a3 ? L ? nan?1 ? 2 ? n ?1? ,② ①—②,得 ? n ?1? an ? 2 , ∴ an ?

2 ? n ? 2? . n ?1 2 ? n ? N* ? . n ?1

当 n ? 1 时,符合上式. ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (2)由(1)知, bn ?

? n ? 1?? n ? 3?

2

?

1 1 . ? n ?1 n ? 3

∴ Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? L ? bn ? ?

?1 1? ?1 1? ?1 1? ? ??? ? ??? ? ? ? 2 4? ?3 5? ? 4 6?

1 1 5 2n ? 5 1 ? 1 1 ?1 1? ? 1 . ? ? ? ? ? ? ? ?L ? ? ? ?? ? ? ?5 7? ? n ? 1 n ? 3 ? 2 3 n ? 2 n ? 3 6 ? n ? 2 ?? n ? 3?
18.解: (1)由频率分布直方图知,

10 ? ?55? 0.015 ? 65? 0.02 ? 75? 0.03 ? 85? 0.015 ? 95? 0.02? ? 75.5
所以平均数为 75.5;众数为 75;中位数为 75. (2)一斤米粉的售价是 4.4 ? 5 ? 22 元. 当 50 ? x ? 80 时, T ? 22x ?10 ? 80 ? 2 ?80 ? x ? ? 20x ? 640 . 当 80 ? x ? 100 时, T ? 22 ? 80 ? 10 ? 80 ? 960 .

故T ? ?

?20 x ? 640,50 ? x ? 80, ?960,80 ? x ? 100.

设利润 T 不少于 760 元为事件 A , 利润 T 不少于 760 元时,即 20 x ? 640 ? 760 . 解得 x ? 70 ,即 70 ? x ? 100 . 由直方图可知,当 70 ? x ? 100 时,

P ? A? ? 10 ? ? 0.03 ? 0.015 ? 0.02? ? 0.65 .
故该天食堂利润不少于 760 元的概率为 0.65. 19.解: (1)在 ?ABC 中, ?C ? 90? , 即 AC ? BC ,则 BD ? DE , 取 BF 的中点 N ,连接 CN 交 BE 于 M , 当? ?

1 时, F 是 AN 的中点,而 E 是 AC 的中点, 3

∴ EF 是 ?ANC 的中位线,∴ EF ∥ CN . 在 ?BEF 中, N 是 BF 的中点, ∴ M 是 BE 的中点. 在 Rt?BCE 中, EC ? BC ? 2 , ∴ CM ? BE ,则 EF ? BE . 又平面 DBE ? 平面 ABC ,平面 DBE I 平面 ABC ? BE , ∴ EF ? 平面 DBE . (2)连接 DM ,由(1)知 CM ? BE ,

∴ DM ? BE , 而平面 DBE ? 平面 ABC ,平面 DBE I 平面 ABC ? BE . ∴ DM ? 平面 ABC , 即 DM 是三棱锥 D ? BEF 的高,且 DM ? CM ? 过 E 作 EH ? AB 于点 H .

2.

1 1 ? AE ? BC ? ? AB ? EH , 2 2 1 1 2 2 即 ? 2 ? 2 ? ? 4 ? 2 ? EH , 2 2
则 S ?ABE ? 可得 EH ?

2 5 . 5
, 则 三 棱 锥

假 设 存 在 满 足 题 意 的 ?

D ? BEF

的 体 积 为

1 1 1 V ? S?BEF ? DM ? ? BF ? EH ? DM ? 3 3 2

1 1 2 5 2 . ? ? BF ? ? 2? 3 2 5 3
解得 BF ? 5 , ∴? ?

AF 2 5 ? 5 1 ? ? , AB 2 2 5
1 2 ,使得三棱锥 D ? BEF 的体积是 . 2 3
2 2 2

故存在 ? ?

20.解: (1)由题意知 a ? b ? c , c ? 1 . 又当 x ? c 时, y ? ?

b2 . a

∴2?
2

b2 ? 3. a
2

则 a ? 4, b ? 3 .

∴椭圆 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)假设存在点 P 满足条件, 设其坐标为 ? t ,0 ? ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 当 l 斜率存在时,设 l 方程为 y ? k ? x ?1? ,

? y ? k ? x ? 1? , ? 联立 ? x 2 y 2 ? ? 4k 2 ? 3? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , ? ? 0 恒成立. ?1 ? ? 3 ?4

∴ x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
uur

∴ PA ? ? x1 ? t , y1 ? , PB ? ? x2 ? t , y2 ? . ∴ PA ? PB ? ? x1 ? t ?? x2 ? t ? ? y1 y2

uur

uur uur

? ? x1 ? t ?? x2 ? t ? ? k 2 ? x1 ?1?? x2 ?1?
? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 ? t ? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? t 2

?k ?

2

? 1?? 4k 2 ? 12? ? ? k 2 ? t ? ? 8k 2 ? ? k 2 ? t 2 ?? 4k 2 +3? 4k 2 +3 ? 8t ? 5? k 2 ? 3 ? t 2 ? 12 ? 4k 2 ? 3

? 4t =

2

.

当 PA ? PB 为定值时, ∴t ?

uu r uur

4t 2 ? 8t ? 5 3t 2 ? 12 ? . 4 3

11 . 8

此时 PA ? PB ?

uur uur

3t 2 ? 12 2 135 ?t ?4? ? . 3 64

当 l 斜率不存在时,

3? ? 11 ? ? 3? ? P ? , 0 ? , A ?1, ? , B ?1, ? ? . 2? ?8 ? ? 2? ? uur ? 3 3 ? uur ? 3 3 ? PA ? ? ? , ? , PB ? ? ? , ? ? , ? 8 2? ? 8 2? uur uur 135 PA ? PB ? ? . 64
∴存在满足条件的点 P ,其坐标为 ? 此时 PA ? PB 的值为 ?

? 11 ? ,0? . ?8 ?

uu r uur

135 . 64

21.解: (1)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? ? ln x ? x ?1 , 定义域为 ? 0, ??? , f ? ? x ? ?

1 1? x ?1 ? . x x

令 f ? ? x ? ? 0 可得 0 ? x ? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 可得 x ? 1 . 所以 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0,1? ,单调减区间为 ?1, ?? ? . (2) f ? ? x ? ? a ln x ?

ax ? a ? 1 ?1, x

f ?? ? x ? ?

a a ? 1 ax ? ?1 ? a ? ? 2 ? . x x x2

? ? 1 ?? a ? x ? ? ? 1? ? 1 1 ? ? a ?? ? 0 . ①当 a ? 时, ?1 ? ? 1 ? 1 , f ?? ? x ? ? 2 a x2
故 f ? ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上递增, 所以 f ? ? x ? ? f ? ?1? ? 0 ,从而 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上递增. 所以 f ? x ? ? f ?1? ? 0 对一切 x ??1, ?? ? 恒成立. ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 1 ? 1 , 2 a

? ? 1 ?? a ? x ? ? ? 1? ? ? a ?? f ?? ? x ? ? ? . x2
当 x ? ?1,

? 1 ? ? 1? 时, f ?? ? x ? ? 0 , ? a ?

当 x ??

?1 ? ? 1, ?? ? 时, f ?? ? x ? ? 0 . ?a ? ?1 ? ? 1? . ?a ?

所以 x ? 1 时, f ? ? x ?min ? f ? ? 而 f ? ?1? ? 0 ,故 f ? ?

?1 ? ? 1? ? 0 . ?a ?

所以当 x ? ?1,

? 1 ? ? 1? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 递减, ? a ? ?1 ? ? 1? ? 0 ,此时 f ? x ? ? 0 对一切 x ??1, ??? 不恒成立. ?a ?

由 f ?1? ? 0 ,知 f ?

③当 a ? 0 时, f ?? ? x ? ?

a a ?1 ? 2 ? 0, x x

f ? ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上递减,有 f ? ? x ? ? f ? ?1? ? 0 ,
从而 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上递减,有 f ? x ? ? f ?1? ? 0 . 此时 f ? x ? ? 0 对一切 x ??1, ?? ? 不恒成立. 综上,实数 a 的取值范围是 ? , ?? ? . 22.解: (1)当 ? ?

?1 ?2

? ?

?
3

时, C1 的普通方程为 y ? 2 ? 3x ,

C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1.
联立方程组 ?

? ? y ? 2 ? 3 x,
2 2 ? ? x ? y ? 1,

得 C1 与 C2 的交点为 ? ?

? ? ?

3 1? , ?. 2 2? ?

(2) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? 2cos ? ? 0 .
2 由题意可得 A 点坐标为 ?2 cos ? sin ? , 2 cos ? .

?

?

故当 ? 变化时, P 点轨迹的参数方程为

? x ? ? sin ? cos ? , ( ? 为参数). ? 2 ? y ? cos ?
1? 1 ? P 点的轨迹方程为 x ? ? y ? ? ? . 2? 4 ?
2 2

故 P 点轨迹是圆心为 ? 0,

? ?

1 1? ? ,半径为 2 的圆. 2?

23.解: (1)当 m ? 1 时, f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ?1

??3 x ? 1, x ? ?1, ? ? ?? x ? 3, ?1 ? x ? 1, ?3 x ? 1, x ? 1, ?
当 x ? ?1 时,由 f ? x ? ? 10 得 ?3 x ? 1 ? 10 , 解得 ?3 ? x ? ?1 ; 当 ?1 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 10 成立;

当 x ? 1 时,由 f ? x ? ? 10 得 3 x ? 1 ? 10 , 解得 1 ? x ?

11 . 3

综上,不等式 f ? x ? ? 10 的解集为 ? x ? 3 ? x ? (2)由 f ? x ? 1? ? 3 得 x ? 1 ? m ? 2 x ? 3 , 令 g ? x ? ? x ?1? m ? 2 x

? ?

11? ?. 3?

??3 x ? 1 ? m, x ? ?1 ? m, ? ? ?? x ? 1 ? m, ?1 ? m ? x ? 0, ?3x ? 1 ? m, x ? 0. ?
知 g ? x ?min ? g ? 0? ? 1 ? m ? 3 ? m ? 2 . ∴实数 m 的取值范围为 ? 2, ??? .


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