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§5 三角函数式的求值、化简与证明

时间:2010-06-14


知识要点
一、三角函数式的化简的一般要求: ① 函数名称尽可能少; ② 项数尽可能少; ③ 尽可能不含根式; ④ 次数尽可能低、尽可能求出值. 二、常用的基本变换方法有:异角化同角、异名化同名、异次化同次. 三、求值问题的基本类型及方法 ① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角,解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间 的关系, 通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解. ② “给值求值”即给出某些角的三角函数(式)的值,求另外的一些角的三角函数值,解 题关键在于:变角,使其角相同; ③ “给值求角”关键也是:变角,把所求的角用含已知角的式子表示,由所求得的函数值 结合该函数的单调区间求得角. 四、反三角函数 arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[ ?

? ?
2 2 ,

]、[0,π]、 ? (

? ?

, )的角为. 2 2

五、三角恒等式的证明 1.三角恒等式的证明实质是通过恒等变形,消除三角恒等式两端结构上的差异 (如角的差异、函数名称的差异等) . 2.证三角恒等式的基本思路是“消去差异,促成同一” 即通过观察、分析,找出等 , 式两边在角、名称、结构上的差异,再选用适当的公式,消去差异,促进同一. 3.证明三角恒等式的基本方法有:⑴ 化繁为简;⑵ 左右归一;⑶ 变更问题. 六、三角条件等式的证明 1.三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程,须注意转化 过程确保充分性成立. 2.三角条件等式的证明,关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之 间的内在联系,其常用的方法有: ⑴ 代入法:就是将结论变形后将条件代入,从而转化为恒等式的证明. ⑵ 综合法:从条件出发逐步变形推出结论的方法. ⑶ 消去法:当已知条件中含有某些参数,而结论中不含这些参数,通过消去条件中 这些参数达到证明等式的方法. ⑷ 分析法:从结论出发,逐步追溯到条件的证明方法,常在难于找到证题途径时用之.

例题讲练
【例 1】 (1)化简:
cos 40? ? sin 50? (1 ? 3 tan10? ) sin 70? 1 ? cos 40?

1 ? sin 6 x ? cos6 x (2)化简: 1 ? sin 4 x ? cos4 x

2 cos(60? ? 10? ) 2 cos 50? cos10? ? 3 sin 10? 解:(1)∵ 1 ? 3 tan10 ? = ? ? ? cos10 cos10? cos10 2 sin 50? cos 50? ? cos 40 ? ? cos 40? ? 1 2 cos2 20? cos10 ? ? ∴原式 ? = 2 ? ? 2 ? 2 ? sin 70 ? 2 cos 20 2 cos 20 2 cos 20
?

【例 2】 已知 6 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? ? 0 ,α∈[ 求 sin (2α+

? , ? ], 2

? )的值. 3
? 2

解:由已知条件可知 cosα≠0 则α≠

从而条件可化为 6 tan2α+tanα-2=0 ∵α∈(
? 2 ,π) 解得 tanα=- 2 3

sin(2α+

? ? ? )=sin2αcos +cos2αsin 3 3 3
=sinαcosα+
sin ? cos?
3 (cos2α-sin2α) 2

3 cos2 ? ? sin 2 ? = ? ? 2 2 2 cos2 ? ? sin 2 ? cos ? ? sin ?

3 1 ? tan 2 ? = ? ? 2 2 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

tan ?

=?

6 5 3 ? 13 26

1 1 【例 3】 已知 tan(α-β)= , tan β=- ,且α、β∈(0, ? ) ,求 2α-β的值. 2 7
解:由 tanβ=-
1 7

β∈(0,π)
? , π) 2
1 3

得β∈(

① α∈(0,π)

由 tanα=tan[(α-β)+β]= 得 0<α< 由 tan2α=
? 2

∴ 0<2α<π ②

? 3 >0 ∴知 0<2α< 2 4 tan 2? ? tan ? ∵tan(2α-β)= =1 1 ? tan 2? tan ?

由①②知 2α-β∈(-π,0) 3? ∴2α-β=- 4 (或利用 2α-β=2(α-β)+β求解)

【例 4】 已知

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot? ? ? . 4 3

(1)求 tanα的值; (2)求
5 sin 2

?
2

? 8 sin

?
2

cos

?
2

? 11 cos2

?
2

?8

2 sin(? ?

?
2

的值.

)

解: (1)由 tan ? ? cot? ? ? 得 3 tan 2 2 ? 10 tan ? ? 3 ? 0 又

10 3

解得 tanα=-3 或 tan ? ? ?

1 3

3? 1 ? ? ? ? ,所以 tan ? ? ? 为所求. 3 4 1 ? cos? 1 ? cos? 5? ? 4 sin ? ? 11? ?8 2 2 (2)原式: ? ? 2 cos? 5 ? 5 cos? ? 8 sin ? ? 11 ? 11cos? ? 16 ? ? 2 2 cos?
? 8 sin ? 66 cos? ? 2 2 cos? ? 8 tan ? ? 6 ?2 2 ?? 5 2 6

2 = sin ? 【例 5】 求证: ? 1 ? cos? sin ? ? sin 2
证明:左边=
?
2 cos 2 sin cos
2

1 ? cos? ? cos

?

?
2

? cos

?
2

?
2

cos

?
2

? sin

?
2

?

cos sin

? ?

(1 ? 2 cos ) 2 2

?

(1 ? 2 cos ) 2 2

?



2 ? cot ? ? sin ? =右边 ? 2 1 ? cos? sin 2

【例 6】 求证:

tan 5? ? tan 3? ? 4(tan 5? ? tan 3? ) . cos 2? cos 4?

sin 5? sin 3? ? 证明:左边= cos 5? cos 3? cos 2? ? cos 4? sin 8? 4 sin 2? ? cos 2? ? cos 4? ? = cos 5? ? cos 3? ? cos 2? ? cos 4? cos 5? ? cos 3? ? cos 2? ? cos 4? 4 sin 2? ? cos 2? ? cos 4? ? = cos 4? cos 5? ? cos 3? ? cos 2? ? cos 4?



4 sin 2? cos5? ? cos3?

右边=4(

sin 5? sin 3? ? ) cos5? cos3? sin 5? ? cos3? ? cos5? ? sin 3? 4 sin 2? =4· = cos5? ? cos3? cos5? ? cos 3?

∴左边=右边 即等式成立

【例 7】 如图所示,D 是直线三角形△ABC 斜边上 BC 上一点,AB=AD, A 记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)证明:sinα+cos2β=0; (2)若 AC ? 3DC ,求β的值. 解: (1)∵ ? ? B

?
2

? ?BAD ?

?
2

? (? ? 2? ) ? 2 ? ?

?

D

C

∴ sin ? ? sin( 2? ?

?
2

2

) ? ? cos 2?

即 sinα+cos2β=0 (2)在△ADC 中,由正弦定理得 即

DC AC . ? sin ? sin(? ? ? )

DC 3DC ? sin ? sin ?

∴ sin ? ? 3 sin ?

由(1)sinα=-cos2β ∴ sin ? ? ? 3 cos 2? ? ? 3 (1 ? 2 sin 2 ? ) 即 2 3 sin 2 ? ? sin ? ? 3 ? 0 解得 sin ? ? 因为 0 ? ? ?

3 3 或 sin ? ? ? 2 2

?
2

,所以 sin ? ?

3 从而 ? ? 2

?

C A 3 2 【例 8】 在△ ABC 中,若 sinA·cos 2 +sinC·cos 2 = 2 sinB,
2

求证:sinA+sinC=2 sinB.
C 3 2 A 证明:∵sinA·cos +sinC·cos = sinB 2 2 2 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ∴sinA· +sinC· = sinB 2 2 2
2

∴sinA+sinC+sinA·cosC+cosA·sinC=3sinB ∴sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB ∵sin(A+C)=sinB ∴sinA+sinC=2sinB

小结归纳
1.三角函数的化简与求值的难点在于:众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择, 认真分析所给式子的整体结构,分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公 式的基础,是恰当寻找解题思维起点的关键所在; 2.要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,熟悉几种常见的入手方式: ① 变换角度 ② 变换函数名 ③ 变换解析式结构 3.求值常用的方法:切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、 “1”的代换法等. 4.证明三角恒等式的基本思路,是根据等式两端的特征通过三角恒等变换,应用化繁 为简,左右归一,变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同” . 途径运用条件,从已知条件出发,以求证式为目标进行代数或三角恒等变形,逐步推 出求证式. 6.对于高次幂,往往采用三角公式降次,再依求证式的要求论证.

5.条件等式的证明,注意认真观察,发现已知条件和求证等式之间的关系,选择适当的

基础训练题
一、选择题 1. 在△ ABC 中,若 sin B sin C= cos 2 A.等腰三角形 2.设 a ?

A ,那么△ ABC 的形状一定是 ( A) 2 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

2 (sin17 ? ? cos17 ? ), b ? 2 cos2 13 ? ?1, 2
B.b<c<a

c?

2 ,则 (A ) 2
D.b<a<c

A.c>a>b 3. 已知 sin( A.
19 25

C.a<b<c

? 3 -x)= 则 sin2x 的值为( D ) 4 5
B.
16 25

C.

14 25

D.

7 25

4. 2 ? cos 4 ? sin 2 2 的值等于 ( D ) A.sin2 B. 3 sin2 C.cos2 D.- 3 cos2 5. 在△ABC 中 3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1 则 C 的大小是( C) ? 5? ? 5? ? 2? A. B. C. 或 D. 或 3 3 6 6 6 6

6. 在△ABC 中,已知 tan

A? B =sinC,给出四个论断: 2

① tanAcotB=1 ② 0<sinA+sinB≤ 2 ③ sin2A+cos2B=1 ④ cos2A+cos2B=1,其中 正确的是( B) A.①③ 二、填空题 B.②④ C.①④ D.②③

7. ①已知 sinx=-0.3322,且 x ? [?

? ?
2 2 ,

. ] ,则 x= -αrcsin0.3322 (用反三角函数表示) ? ? arccos .

1 ②已知 cos x ? ? ,且 x ? [0, ? ] ,则 x= 3

1? x ? ,若 ? ? ( , ? ) ,则 f (cos? ) ? 2 1? x ? ? 2 4 9. cos2α+6 sin 2 -8 sin 2 = cosα .
8. 已知 f ( x) ? 10.一个等腰三角形的一个底角的正弦值为

2 f ( ? cos? ) 可化简为 sin ?

1 3



5 ,则这个三角形的顶角的正切值是 13

?

120 119



三、解答题

? 2 sin 2 ? ? sin 2? ? 11.已知 ,试用 k 表示 sin ? -cos ? 的值. ? k ( <α< ) 4 2 1 ? tan?
2 sin 2 ? ? sin 2? 解:∵ ? 2 sin? cos? ∴k=2sinαcosα 1 ? tan ?

∵(sinα-cosα)2=1-k

又∵α∈(

? ?
4 2 ,

) ,∴sinα-cosα= 1 ? k

12.在△ABC 中, sin A ? cos A ? 求 tan A 的值和△ABC 的面积. 解:∵sinA+cosA= 从而 cosA<0
2 2

2 , AC ? 2 , AB ? 3 , 2
1 2

①,∴2sinAcosA=-

A∈(

? ,? ) 2
6 2

∴sinA-cosA= (sin A ? cos A) 2 ? 4 sin A cos A = 据①②可得 sinA=
6? 2 4



cosA=

? 6? 2 4

∴tanA=-2- 3 ,

S△ABC=

3( 6 ? 2 ) 4

sin(? ? ) 15 4 13.已知α为第二象限角,且 sinα= ,求 的值. sin 2? ? cos 2? ? 1 4
解:由 sinα=
sin(? ?

?

15 4
)

α为第二象限角,∴cosα=-
sin(? ?

1 4

) 1 4 4 ? ∴ = =- 2 sin 2? ? cos 2? ? 1 2 cos? (sin ? ? cos? ) 2 2 cos?

?

?

14. 求证:tan(α+ 证明:∵(α+
?

? ? )+tan(α- )=2tan2α 4 4

? ? ? ? )+(α- )=2α,∴tan[(α+ )+(α- )]=tan2α 4 4 4 4

∴ tan( ? ) ? tan( ? ) ? ?
4 1 ? tan( ? ?

?

?
4

4

) ? tan( ? ?

?
4

? tan 2? )



tan( ? ) ? tan( ? ) ? ? 4 4 ? tan 2? ? ? 1 ? tan( ? ) ? cot( ? ) ? ? 4 4

?

?

∴tan(α+

? ? )+tan(α- )=2tan2α 4 4

15.求证: tan 2 x ? cot 2 x ?

2(3 ? cos 4 x) 1 ? cos 4 x

sin 2 x cos2 x sin 4 x ? cos4 x 证明:左边 ? ? ? 2 2 cos x sin x sin 2 x cos2 x (sin 2 x ? cos2 x) 2 ? 2 sin 2 x cos2 x ? 1 2 sin x 4 1 1 1 ? sin 2 2 x 1 ? sin 2 2 x 2 2 ? ? 1 2 1 sin 2 x (1 ? cos 4 x) 4 8 8 ? 4 sin 2 2 x 4 ? 4 cos2 2 x ? ? 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x 4 ? 2(1 ? cos 4 x) 2(3 ? cos 4 x) ? ? ? 右边 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x

sin 2 B 16. 已知 2tanA=3tanB,求证:tan(A-B)= . 5 ? cos 2 B 3 tan B ? tan B tan A ? tan B 证明:tan(A-B)= ? 2 3 2 1 ? tan A ? tan B 1 ? tan B 2 sin B tan B sin B cos B cos B ? ? = 2 2 2 ? 3 tan B 3 sin B 2 cos2 B ? 3 sin 2 B 2? cos2 B 2 sin B ? cos B sin 2B sin 2B = ? ? 2 2 2 4 cos B ? 6 sin B 4 ? 2 sin B 5 ? cos 2B

17. 已知 ? , ? ? (0, ) 且 sinβ·cosα=cos(α+β). 2 sin 2 cos? (1)求证: tan ? ? ; 2 1 ? sin ? (2)用 tanβ表示 tanα. 解: (1)∵ sin ? ? cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ∴ sin ? ∴ sin ? ? sin ? cos? cos ? ? sin 2 ? sin ? sin ? cos? ∴ tan ? ? 1 ? sin 2 ? sin ? cos? tan ? ? (2) tan ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? ? sin ? 1 ? 2 tan 2 ?

?

18. 已知 sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin2β,求证:2cos2α=cos2β. 证明:(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ=4sin2α 将 sinθ·cosθ=sin2β代入得 1+2sin2β=4sin2α ∴1+1-cos2β=2(1-cos2α) ∴2cos2α=cos2β 19. 求证: sin2αsin2β + cos2α·cos2β - 证明:左边=sin2α·sin2β+cos2αcos2β
1 - (cos2α-sin2α)(cos2β-sin2β) 2 1 = (sin2α·sin2β+cos2α·cos2β+cos2α·sin2β+sin2αcos2β) 2 1 1 = (sin2α+cos2α)(sin2β+cos2β)= =右边 2 2

1 1 cos2α·cos2β= . 2 2

20. 若 b sin(x+θ)=c sin(y-θ),b cosx=c cosy, 证明:2tanθ=tan y-tan x. 证明:已知两式相除得 ∴
sin(x ? ? ) sin(y ? ? ) ? cos ? cos y

sin x cos? ? cos x ? sin? sin y ? cos? ? sin? ? cos y ? cos x cos y

即 tanx·cosθ+sinθ=tany·cosθ-sinθ 2sinθ=tan y·cosθ-tan x·cosθ 两边同除以 cosθ得 2tanθ=tany-tanx 21. △ ABC 中,三边 a、b、c 成等比数列. 求证:cos(A-C)+cosB+cos2B 为定值. 证明:由已知 b2=ac 得 sin2B=sinA·sinC 原式=cos(A-C)-cos(A+C)+cos2B =2sinA sinC+1-2sin2B=1

提高训练题
22.已知α、β均为锐角,且 3 sin ? α+2 sin ? β=1, 3 sin 2α-2 sin 2β=0, 求证α+2β=

? . 2 证明:由已知条件可得 3sin2α=cos2β
将①②消去β得 sin2α=
1 3 1 9 1 3



3sinαcosα=sin2β ②

∵α为锐角 ∴sinα= 代入①得 cos2β= ∴sinα=cos2β=sin(

?
2

? 2? )
? 2

又 cos2β>0 且β为锐角 ∴0<2β<

? ∴α= -2β 2

即α-2β=

? 2

23.求:cot 10°-4cos10°的值 解:cot 10°-4cos 10° =

sin 80? ? 2 sin 20? sin 10
?



sin( 60? ? 20? ) ? 2 sin 20? sin 10?

3 3 ? cos 20 ? sin 20 ? 3 sin(30? ? 20? ) 2 2 = = = 3 ? ? sin 10 sin 10

24.已知 sinβ=msin(2α+β)其中 m≠0,2α+β≠kπ,

? ? k? ?

?
2

2 1? m tan ? . 求证: tan(? ? ? ) ? 1? m

, ? ? ? ? n? ?

?

(k , n ? Z ) ,

证明:由 sin ? ? m sin(? ? ? ) 得 sin[(? ? ? ) ? ? ] ? m sin[(? ? ? ) ? 2] 即: sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ? m sin(? ? ? ) cos? ? m cos(? ? ? ) sin ? (1 ? m) sin(? ? ? ) cos? ? (1 ? m) cos(? ? ? ) sin ? 1? m tan ? ∴ tan(? ? ? ) ? 1? m

25.已知锐角三角形 ABC 中,sin(A+B)=

3 1 ,sin(A-B)= . 5 5
3 5

⑴ 求证:tanA=2tanB.⑵ 设 AB=3,求 AB 边上的高. (1)证明:sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
1 5

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= ∴tanA=2tanB (2)解:∵

? ?sin A ? cos B ? ∴? ? ?cos A ? sin B ? ? ?

2 5 1 5

? 3 <A+B<π, sin(A+B)= 2 5 3 tan A ? tan B 3 ?? ∴tan(A+B)=- 即 1 ? tan A tan B 4 4

由(1)知 tanA=2tanB,∴2tan2B-4tanB-1=0 ∴tanB=
2? 6 2

∴tanA=2tanB=2+ 6
h h 3h ? ? tan A tan B 2 ? 6

设 AB 边上高为 h,则 AB= ∵AB=3 ∴h=2+ 6


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