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高中数学 1.4.3 正切函数的图象与性质 课件 新人教A版必修4

时间:2012-11-12


第一章

三角函数

第四节

三角函数的图象与性质

第三课时 正切函数的图象与 性质

问题提出 1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的? 2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容?这些 性质是怎样得到的? 3.三角函数包括正、余弦函数和正切函数,我们 已经研究了正、余弦函数的图象和性质, 因此, 进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的 必然.

知识探究(一):正切函数的性质

思考1:正切函数的定义域是什么?用区 间如何表示?
? ? (? ? k ???? ? k ?? ?? ? ?? 2 ?
思考2:根据相关诱导公式,你能判断正切函数是 周期函数吗?其最小正周期为多少?

正切函数是周期函数,周期是π.

) 思考3:函数 y ? tan(2 x ? 的周期为多少? 8 y ? tan(? x ? ? )(? ? 0) 一般地,函数

?

的周期是什么? 思考4:根据相关诱导公式,你能判断正 切函数具有奇偶性吗?

正切函数是奇函数

思考5:观察下图中的正切线,当角x ? ? 在 ( ? 2 , 2 ) 内增加时,正切函数值发生 什么变化?由此反映出一个什么性质?
y T2

O

O T1

A

x

思考6:结合正切函数的周期性,正切 函数的单调性如何?
? ? 正切函数在开区间 (? ? k ???? ? k ?? ?? ? ?? 2 ?

都是增函数
思考7:正切函数在整个定义域内是增函数吗?正 切函数会不会在某一区间内是减函数?

思考8:当x大于 且无限接近 时,正 ? 切值如何变化?当x小于 2 且无限接近 ? 2 时, 正切值又如何变化?由此分析, 正切函数的值域是什么?
y T2

?

? 2

?

? 2

O

O

A
T1

x

正切函数的值域是R.

知识探究(一):正切函数的图象
思考1:类比正弦函数图象的作法,可以利用正切 ? ? 线作正切函数在区间 (? , ) 的图象,具体应如 2 2 何操作?
y

?

? 2

O

? ? 4

x

思考2:上图中,直线 切函数的图象的位置关系如何?图象的 凸向有什么特点?

p p x = 和 x = - 与正 2 2

思考3:结合正切函数的周期性, 如何画出正切函 数在整个定义域内的图象?
y

?? ? 2

??

? ? 2

O

? 2

?

?? 2

x

思考4:正切函数在整个定义域内的图象叫做 正切曲线.因为正切函数是奇函数,所以正切 曲线关于原点对称,此外,正切曲线是否还关 于其它的点和直线对称?

正切曲线关于点

kp ( , 0) 2

对称.

思考5:根据正切曲线如何理解正切函数的基 本性质?一条平行于x轴的直线与相邻两支曲 线的交点的距离为多少?

理论迁移

例1 求函数 周期和单调区间.

? ? y ? tan( x ? ) 2 ?

的定义域、

例2 试比较tan8 和tan( 大小.

28? ? ?

)的

例3 若 ?1 ? tan x ? 3,求x 的取值范 围.

课堂小结

1.正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且 kp 关于点 ( 2 , 0)对称, 正切函数的性质应 结合图象去理解和记忆.
2.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是确 定图象形状、位置的关键要素,作图时一 般先找出这些点和线,再画正切曲线.

? ? 3.研究正切函数问题时,一般先考察( ? 2 , 2 )

的情形, 再拓展到整个定义域.


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