nbhkdz.com冰点文库

山西省太原市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

时间:


山西省太原市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题 1.已知(1+i)z=2i,则复数 z=( A.1+i B.1﹣i

) C.﹣1+i D.﹣1﹣i

2.已知全集 U=R,集合 M={x|(x﹣1) (x+3)<0},N={x||x|≤1},则下图阴影部分表示的 集合是( )

A.[﹣1,1) 1)

B. (﹣3,1]

C. (﹣∞,3)∪[﹣1,+∞)

D. (﹣3,﹣

3.在单调递减等比数列{an}中,若 a3=1,a2+a4= ,则 a1=( A.2 B.4 C.

) D.2

4.已知函数 f(x)=log2x,若在[1,8]上任取一个实数 x0,则不等式 1≤f(x0)≤2 成立的概 率是( ) A. B. C. D.

5.执行如图所示程序框图,则输出 a=(

)

A.20

B.14

C.10

D.7

6.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 移

)的最小正周期是 π,若将其图象向右平 ) 对称 ,0)

个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象( 对称 B.关于直线 x= D.关于直线(

A.关于直线 x= C.关于点(
2

,0)对称
2

7.已知在圆 x +y ﹣4x+2y=0 内,过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则 四边形 ABCD 的面积为( ) A. B.6 C. D.2 8.已知某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是

( A.16

) B.32
a b

C.32
x

D.48 )

9.已知实数 a,b 满足 2 =3,3 =2,则函数 f(x)=a +x﹣b 的零点所在的区间是( A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (1,2)

10.已知实数 x,y 满足条件

若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,其最大值为

( ) A.10

B.12

C.14

D.15

11.已知点 O 为双曲线 C 的对称中心,过点 O 的两条直线 l1 与 l2 的夹角为 60°,直线 l1 与 双曲线 C 相交于点 A1,B1,直线 l2 与双曲线 C 相交于点 A2,B2,若使|A1B1|=|A2B2|成立的 直线 l1 与 l2 有且只有一对,则双曲线 C 离心率的取值范围是( ) A. ( ,2] B.[ ,2) C. ( ,+∞) D.[ ,+∞)

12.已知数列{an}的通项公式为 an=(﹣1) (2n﹣1)cos Sn,则 S60=( A.﹣30 ) B.﹣60 C.90

n

+1(n∈N ) ,其前 n 项和为

*

D.120

二、填空题 13. 已知向量 , 满足 (2 ﹣ ) ( + ) =6, 且| |=2,| |=1, 则 与 的夹角为__________.

14.已知(2x﹣

) 展开式的二项式系数之和为 64,则其展开式中常数项是__________.

n

15.已知在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 D﹣ABC,当三棱锥 D﹣ABC 的体积取最大值时,其外接球的体积为 __________. 16.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f( ﹣x)=f(x) ,f(﹣2)=﹣3,数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=﹣1,Sn=2an+n(m∈N ) ,则 f(a5)+f(a6)=__________.
*

三、解答题 17.已知 a,b,c 分别是△ ABC 的角 A,B,C 所对的边,且 c=2,C= (1)若△ ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求 A 的值. 18.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取 40 件产品,测量这些 产品的重量(单位:克) ,整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为 (490,495], (495,500], (500,505], (505,510], (510,515]) (I)若从这 40 件产品中任取两件,设 X 为重量超过 505 克的产品数量,求随机变量 X 的 分布列; (Ⅱ)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取 5 件产品,求恰有两件产品 的重量超过 505 克的概率. .

19. 如图, 在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, 侧棱 AA1 与底面 ABC 的所成角为 60°,AA1=2,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,点 G 为△ ABC 的重心,点 E 在 BC1 上,且 BE= BC1. (1)求证:GE∥平面 AA1B1B; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐角二面角的余弦值.

20.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点 F1,F2 其离心率为 e= ,点 P 为椭圆上的 .

一个动点,△ PF1F2 内切圆面积的最大值为 (1)求 a,b 的值

(2) 若 A、 B、 C、 D 是椭圆上不重合的四个点, 且满足 求| |+| |的取值范围.
2







, ?

=0,

21.已知函数 f(x)=x +a(x+lnx) ,a∈R. (Ⅰ)若当 a=﹣1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)> (e+1)a,求 a 的取值范围.

四.选修 4-1:几何证明选讲

22.如图,已知点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点,过 C 的直线交 AB 的延长线于 E, 交过点 A 的圆 O 的切线于点 D,BC∥OD,AD=AB=2. (Ⅰ)求证:直线 DC 是圆 O 的切线; (Ⅱ)求线段 EB 的长.

五.选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (其中 θ 为参数) ,点 M

是曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程;

=2



(Ⅱ)以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 θ= 分别交于 A,B 两点,求|AB|.

,与曲线 C1,C2

五.选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|x﹣a|,a∈R. (Ⅰ)当 a=3 时,解不等式 f(x)≤4; (Ⅱ)若 f(x)=|x﹣1+a|,求 x 的取值范围.

山西省太原市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题 1.已知(1+i)z=2i,则复数 z=( A.1+i B.1﹣i

) C.﹣1+i D.﹣1﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接利用复数的除法运算法则化简求解即可. 解答: 解: (1+i)z=2i, 可得 z= 故选:A. = =1+i.

点评:本题考查复数的基本运算,基本知识的考查. 2.已知全集 U=R,集合 M={x|(x﹣1) (x+3)<0},N={x||x|≤1},则下图阴影部分表示的 集合是( )

A.[﹣1,1)

B. (﹣3,1]

C. (﹣∞,3)∪[﹣1,+∞)

D. (﹣3,﹣1)

考点:Venn 图表达集合的关系及运算. 专题:集合. 分析:先确定阴影部分对应的集合为(?UN)∩M,然后利用集合关系确定集合元素即可. 解答: 解:阴影部分对应的集合为(?UN)∩M, ∵M={x|﹣3<x<1},N={ x|﹣1≤x≤1}, ∴?UN={x|x>1 或 x<﹣1}, ∴(?UN)∩M={x|﹣3<x<﹣1}, 故选:D 点评:本题主要考查集合的基本运算,利用 Venn 图,确定阴影部分的集合关系是解决本题 的关键.

3.在单调递减等比数列{an}中,若 a3=1,a2+a4= ,则 a1=( A.2 B.4 C.

) D.2

考点:等比数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:根据等比数列的通项,得到 +q= ,进利用数列{an}为递减数列,求出公比 q 的值, 即可求出 a1 的值. 解答: 解:∵a3=1,a2+a4= , ∴ +q= , ∵数列{an}为递减数列, ∴q= ∴a1=4, 故选:B. 点评:此题考查了等比数列的性质,通项公式,考查学生的计算能力,比较基础. .

4.已知函数 f(x)=log2x,若在[1,8]上任取一个实数 x0,则不等式 1≤f(x0)≤2 成立的概 率是( ) A. B. C. D.

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:由题意,本题是几何概型的考查,只要求出区间的长度,利用公式解答即可. 解答: 解: 区间[1, 8]的长度为 7, 满足不等式 1≤( f x0) ≤2 即不等式 1≤log2x0≤2, 解答 2≤x0≤4, 对应区间[2,4]长度为 2,由几何概型公式可得使不等式 1≤f(x0)≤2 成立的概率是 ; 故选 C. 点评:本题考查了几何概型的概率求法;关键是明确结合测度, ;本题利用区间长度的比求 几何概型的概率. 5.执行如图所示程序框图,则输出 a=( )

A.20

B.14

C.10

D.7

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,i 的值,当 i=2016 时,不满足条件 i≤2015,退出循环,输出 a 的值为 10. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 a=10,i=1 满足条件 i≤2015,不满足条件 a 是奇数,a=5,i=2 满足条件 i≤2015,满足条件 a 是奇数,a=14,i=3 满足条件 i≤2015,不满足条件 a 是奇数,a=7,i=4 满足条件 i≤2015,满足条件 a 是奇数,a=20,i=5 满足条件 i≤2015,不满足条件 a 是奇数,a=10,i=6 满足条件 i≤2015,不满足条件 a 是奇数,a=5,i=7 满足条件 i≤2015,满足条件 a 是奇数,a=14,i=8 …

观察规律可知,a 的取值以 5 为周期,由 2015=403×5 可得 满足条件 i≤2015,不满足条件 a 是奇数,a=10,i=2016 不满足条件 i≤2015,退出循环,输出 a 的值为 10. 故选:C. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图, 观察规律可知 a 的取值以 5 为周期从而解得退 出循环时 a 的值是解题的关键,属于基本知识的考查. 6.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 移 )的最小正周期是 π,若将其图象向右平 )

个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象( A.关于直线 x= C.关于点( 对称 B.关于直线 x= D.关于直线( 对称 ,0)

,0)对称

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< ∴T= =π,解得 ω=2, )的最小正周期是 π,

即 f(x)=sin(2x+φ) , 将其图象向右平移 个单位后得到 y=sin[2(x﹣ )+φ]=sin(2x+φ﹣ ) ,

若此时函数关于原点对称, 则 φ﹣ ∵|φ|< =kπ,即 φ= , . ) . , ,k∈Z, , +kπ,k∈Z,

∴当 k=﹣1 时,φ= 即 f(x)=sin(2x 由 2x 解得 x= = +

故当 k=0 时,函数的对称轴为 x=

故选:B 点评: 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用, 根据条件求出函数 的解析式是解决本题的关键.

7.已知在圆 x +y ﹣4x+2y=0 内,过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则 四边形 ABCD 的面积为( ) A. B.6 C. D.2 考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题;直线与圆. 分析:圆 x +y ﹣4x+2y=0 即(x﹣2) +(y+1) =5,圆心 M(2,﹣1) ,半径 r= ,最长 弦 AC 为圆的直径.BD 为最短弦,AC 与 BD 相垂直,求出 BD,由此能求出四边形 ABCD 的面积. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y ﹣4x+2y=0 即(x﹣2) +(y+1) =5,圆心 M(2,﹣1) ,半径 r= , 最长弦 AC 为圆的直径为 2 , ∵BD 为最短弦 ∴AC 与 BD 相垂直,ME=d= , ∴BD=2BE=2 =2 ,
2 2 2 2

2

2

∵S 四边形 ABCD=S△ ABD+S△ BDC= BD×EA+ ×BD×EC = ×BD×(EA+EC)= ×BD×AC= =2 .

故选:D 点评:本题考查四边形的面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理 运用. 8.已知某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是

(

) A.16 B.32 C.32 D.48

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据几何体的三视图,得出该几何体是四棱锥,结合题目中的数据,求出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面为直角梯形的四棱锥, 如图所示; ∴该几何体的体积是

V 四棱锥= × ×(2+6)×6×6 =48. 故选:D.

点评:本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目. 9.已知实数 a,b 满足 2 =3,3 =2,则函数 f(x)=a +x﹣b 的零点所在的区间是( A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (1,2)
a b x

)

考点:函数的零点;指数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用. x 分析:根据对数,指数的转化得出 f(x)=(log23) +x﹣log32 单调递增,根据函数的零点 判定定理得出 f(0)=1﹣log32>0,f(﹣1)=log32﹣1﹣log32=﹣1<0,判定即可. a b 解答: 解:∵实数 a,b 满足 2 =3,3 =2, ∴a=log23>1,0<b=log32<1, x ∵函数 f(x)=a +x﹣b, x ∴f(x)=(log23) +x﹣log32 单调递增, ∵f(0)=1﹣log32>0 f(﹣1)=log32﹣1﹣log32=﹣1<0, x ∴根据函数的零点判定定理得出函数 f(x)=a +x﹣b 的零点所在的区间(﹣1,0) , 故选:B. 点评:本题考查了函数的性质,对数,指数的转化,函数的零点的判定定理,属于基础题.

10.已知实数 x,y 满足条件

若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,其最大值为

(

) A.10

B.12

C.14

D.15

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,建立条件关系 即可求出 k 的值. 解答: 解:目标函数 z=3x+y 的最小值为 5, ∴y=﹣3x+z,要使目标函数 z=3x+y 的最小值为 5, 作出不等式组对应的平面区域如图:

则目标函数经过点 B 截距最小, 由 ,解得 ,

即 B(2,﹣1) ,同时 B 也在直线﹣2x+y+c=0, 即﹣4﹣1+c=0, 解得 c=5,此时直线方程为﹣2x+y+5=0, 当直线 z=3x+y 经过点 C 时,直线的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,即 C(3,1) ,

此时 z=3×3+1=10, 故选:A.

点评:本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,确定平面区域 的位置,利用数形结合是解决本题的关键. 11.已知点 O 为双曲线 C 的对称中心,过点 O 的两条直线 l1 与 l2 的夹角为 60°,直线 l1 与 双曲线 C 相交于点 A1,B1,直线 l2 与双曲线 C 相交于点 A2,B2,若使|A1B1|=|A2B2|成立的 直线 l1 与 l2 有且只有一对,则双曲线 C 离心率的取值范围是( ) A. ( ,2] B.[ ,2) C. ( ,+∞) D.[ ,+∞)

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先设出双曲线的方程,并根据题意画出图象,根据对称性和条件判断出双曲线的渐近 线斜率的范围,列出不等式并转化为关于离心率的不等式,再求解即可. 解答: 解:不妨设双曲线的方程是 =1(a>0,b>0) ,

由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知 A1,A2,B1,B2 关于 x 轴对称,如图, 又∵满足条件的直线只有一对, 当直线与 x 轴夹角为 30°时,双曲线的渐近线与 x 轴夹角大于 30°, 双曲线与直线才能有交点 A1,A2,B1,B2, 若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 30°,则无交点, 且不可能存在|A1B1|=|A2B2|,

当直线与 x 轴夹角为 60°时,双曲线渐近线与 x 轴夹角小于 60°, 双曲线与直线有一对交点 A1,A2,B1,B2, 若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 60°,也满足题中有一对直线, 但是如果大于 60°,则有两对直线.不符合题意, ∴tan30°< ≤tan60°,则 ,即 ,

∵b =c ﹣a ,∴

2

2

2

,则



解得

,即

, ],

∴双曲线离心率的范围是( 故选:A.

点评:本题考查双曲线的简单性质以及应用,考查数形结合思想和分类讨论思想,属于中档 题.
n

12.已知数列{an}的通项公式为 an=(﹣1) (2n﹣1)cos Sn,则 S60=( A.﹣30 ) B.﹣60 C.90

+1(n∈N ) ,其前 n 项和为

*

D.120

考点:数列的求和. 专题:计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析:由数列的通项公式求出数列前几项,得到数列的奇数项均为 1,每两个偶数项的和为 6,由此可以求得 S60 的值. 解答: 解:由 an=(﹣1) (2n﹣1)cos ,a2=3cosπ+1=﹣2, ,a4=7cos2π+1=8,
n

+1,得

,a6=11cos3π+1=﹣10, ,a8=15cos4π+1=16, … 由上可知,数列{an}的奇数项为 1,每两个偶数项的和为 6, ∴S60=(a1+a3+…+a59)+(a2+a4+…+a58+a60) =30+15×6=120. 故选:D. 点评:本题考查了数列递推式,考查了三角函数的求值,关键是对数列规律的发现,是中档 题. 二、填空题 13.已知向量 , 满足(2 ﹣ ) ( + )=6,且| |=2,| |=1,则 与 的夹角为 120°. 考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:将已知等式展开,利用向量的平方与模的平方相等以及向量的数量积公式,得到关于 向量夹角的等式解之. 解答: 解: 由 (2 ﹣ ) ( + ) =6, 且| |=2, | |=1, 得 < >=6, >= , , 即 8﹣1+2cos

所以 cos<

所以 与 的夹角为 120°; 故答案为:120°. 点评:本题考查了向量的数量积的运算以及向量夹角的求法;关键是熟练利用数量积公式. 14.已知(2x﹣ ) 展开式的二项式系数之和为 64,则其展开式中常数项是 60.
n

考点:二项式定理. 专题:计算题;二项式定理. 分析:根据题意, (2x﹣
n

) 的展开式的二项式系数之和为 64,由二项式系数的性质,可

n

得 2 =64,解可得,n=6;进而可得二项展开式,令 6﹣ r=0,可得 r=4,代入二项展开式, 可得答案. n 解答: 解:由二项式系数的性质,可得 2 =64,解可得,n=6; (2x﹣ ) 的展开式为为 Tr+1=C6
6 6﹣r

?(2x)

6﹣r

?(﹣

) =(﹣1) ?2

r

r

6﹣r

?C6

6﹣r

?



令 6﹣ r=0,可得 r=4, 则展开式中常数项为 60. 故答案为:60. 点评:本题考查二项式定理的应用,注意系数与二项式系数的区别. 15.已知在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 D﹣ABC,当三棱锥 D﹣ABC 的体积取最大值时,其外接球的体积为 .

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:画出图形,确定三棱锥外接球的半径,然后求解外接球的体积即可. 解答: 解:已知直角梯形 ABCD,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,沿 AC 折叠成 三棱锥,如图:AB=2,AD=1,CD=1, ∴AC= ,BC= , ∴BC⊥AC, 取 AC 的中点 E,AB 的中点 O,连结 DE,OE,∵当三棱锥体积最大时, ∴平面 DCA⊥平面 ACB, ∴OB=OA=OC=OD, ∴OB=1,就是外接球的半径为 1, 此时三棱锥外接球的体积: 故答案为: . = .

点评: 本题考查折叠问题, 三棱锥的外接球的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力.

16.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f( ﹣x)=f(x) ,f(﹣2)=﹣3,数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=﹣1,Sn=2an+n(m∈N ) ,则 f(a5)+f(a6)=3. 考点:数列与函数的综合. 专题:等差数列与等比数列.
*

分析:先由函数 f(x)是奇函数,f( ﹣x)=f(x) ,推知 f(3+x)=f(x) ,得到 f(x)是 以 3 为周期的周期函数.再由 a1=﹣1,且 Sn=2an+n,推知 a5=﹣31,a6=﹣63 计算即可. 解答: 解:∵函数 f(x)是奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ∵f( ﹣x)=f(x) , ∴f( ﹣x)=﹣f(﹣x) ∴f(3+x)=f(x) ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. ∵数列{an}满足 a1=﹣1,且 Sn=2an+n,∴Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1,∴an=2an﹣2an﹣1+1, 即 an=2an﹣1﹣1,an﹣1=2(an﹣1﹣1) ,{an﹣1}以﹣2 为首项,2 为公比的等比数列. n an=1﹣2 . ∴a5=﹣31,a6=﹣63 ∴f(a5)+f(a6)=f(﹣31)+f(﹣63)=f(2)+f(0)=f(2)=﹣f(﹣2)=3 故答案为:3. 点评: 本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式, 在函数性质综合应 用中相互结合转化中奇偶性,对称性和周期性之间是一个重点. 三、解答题 17.已知 a,b,c 分别是△ ABC 的角 A,B,C 所对的边,且 c=2,C= (1)若△ ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求 A 的值. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)c=2,C= 形面积计算公式 ,由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC,即 4=a +b ﹣ab,利用三角 = ,即 ab=4.联立解出即可.
2 2 2 2 2



(2) 由 sinC=sin (B+A) , sinC+sin (B﹣A) =2sin2A, 可得 2sinBcosA=4sinAcosA. 当 cosA=0 时,解得 A= ;当 cosA≠0 时,sinB=2sinA,由正弦定理可得:b=2a,联立解得即可. ,由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC,
2 2 2

解答: 解: (1)∵c=2,C= ∴4=a +b ﹣ab, ∵ =
2 2

,化为 ab=4.

联立

,解得 a=2,b=2.

(2)∵sinC=sin(B+A) ,sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,

∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=2sin2A, 2sinBcosA=4sinAcosA, 当 cosA=0 时,解得 A= ;

当 cosA≠0 时,sinB=2sinA, 由正弦定理可得:b=2a, 联立 ∴b =a +c , ∴ 又 , ,∴ . 或 .
2 2 2

,解得

,b=



综上可得:A=

点评:本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式,考 查了分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取 40 件产品,测量这些 产品的重量(单位:克) ,整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为 (490,495], (495,500], (500,505], (505,510], (510,515]) (I)若从这 40 件产品中任取两件,设 X 为重量超过 505 克的产品数量,求随机变量 X 的 分布列; (Ⅱ)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取 5 件产品,求恰有两件产品 的重量超过 505 克的概率.

考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: ( I)根据频率分布直方图求出重量超过 505 克的产品数量,推出随机变量 X 的所有 可能取值为 0,1,2 求出概率,得到随机变量 X 的分布列. (Ⅱ)求出该流水线上产品的重量超过 505 克的概率为 0.3,推出 Y~B(5,0.3) .然后求 解所求概率.

解答: 解: ( I)根据频率分布直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为[(0.001+0.005) ×5]×40=12. 由题意得随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2 = , , .

∴随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P

2

(Ⅱ)由题意得该流水线上产品的重量超过 505 克的概率为 0.3 设 Y 为该流水线上任取 5 件产品重量超过 505 克的产品数量,则 Y~B(5,0.3) . 故所求概率为 P(Y=2)= .

点评:本题考查离散型随机变量的分布列,以及概率的求法,考查计算能力. 19. 如图, 在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, 侧棱 AA1 与底面 ABC 的所成角为 60°,AA1=2,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,点 G 为△ ABC 的重心,点 E 在 BC1 上,且 BE= BC1. (1)求证:GE∥平面 AA1B1B; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐角二面角的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连接 B1E,并延长交 BC 于点 F,连接 AB1,AF,证明 GE∥AB1,然后证明 GE∥ 平面 AA1B1B; (2)过点 A1 作 A1O⊥AB,垂足为 O,连接 OC,以 O 为原点,分别以 OC,OB,OA 为 x, y,z 轴建立如图空间直角坐标系 O﹣xyz,求出相关点的坐标,平面 B1GE 的一个法向量, 平面 ABC 的一个法向量,即可求解二面角的余弦函数值. 解答: 解: (1)证明:连接 B1E,并延长交 BC 于点 F,连接 AB1,AF, ∵ABC﹣A1B1C1 是三棱柱,∴BC∥B1C1,∴△EFB~△ EB1C1, ,∴ ∴ ,∴F 是 BC 的中点. ,

∵点 G 是△ ABC 的重心,∴



∴GE∥AB1, ∴GE∥平面 AA1B1B; (2)证明:过点 A1 作 A1O⊥AB,垂足为 O,连接 OC, ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,∴A1O⊥底面 ABC,∴∠A1AB=60°, ∵AA1=2,∴AO=1, ∵AB=2,∴点 O 是 AB 的中点, 又∵点 G 是正三角形 ABC 的重心∴点 G 在 OC 上,∴OC⊥AB, ∵A1O⊥底面 ABC,∴A1O⊥OB,A1O⊥OC,以 O 为原点, 分别以 OC,OB,OA 为 x,y,z 轴建立如图空间直角坐标系 O﹣xyz,

由题意可得:A(0,﹣1,0) ,B(0,1,0) ,C( 2, ∴ ∴ ) ,C1( ) , ,∴

,0,0) ,A1(0,0, , , ,

) ,B1(0,

设 =(x,y,z)是平面 B1GE 的一个法向量,则



,则

,∴



由(1)知

是平面 ABC 的一个法向量,

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角为 θ, 则有: .

点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法, 考查空间想象能力 逻辑推理能力以及计算能力.

20.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点 F1,F2 其离心率为 e= ,点 P 为椭圆上的 .

一个动点,△ PF1F2 内切圆面积的最大值为 (1)求 a,b 的值

(2) 若 A、 B、 C、 D 是椭圆上不重合的四个点, 且满足 求| |+| |的取值范围.







, ?

=0,

考点:直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)当 P 为椭圆上下顶点时,△ PF1F2 内切圆面积取得最大值,设△ PF1F2 内切圆半 径为 r,利用 = ,又 (2)由满足 ∥ ,
2 2

=bc= ,a =b +c ,联立解得 a,c,b 即可得出. ∥ , ?
2

r,化为

=0,可得直线 AC,BD 垂直相交于点 F1,

由(1)椭圆方程

,F1(﹣2,0) .

①直线 AC,BD 有一条斜率不存在时,|

|+|

|=14.

②当 AC 斜率存在且不为 0 时,设方程 y=k(x+2) ,A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,与椭圆方程 2 2 2 2 联立化为(3+4k )x +16k x+16k ﹣48=0.利用根与系数的关系可得: = = ,把﹣ 代入上述可得:可



=

, 可得|

|+|

|=

, 设 t=k +1 (k≠0) , t>1. 即

2

可得出.

解答: 解: (1)当 P 为椭圆上下顶点时,△ PF1F2 内切圆面积取得最大值,设△ PF1F2 内 切圆半径为 r, ∵ = 为 又
2 2 2

,∴

. =bc= , r= , 化

,a =b +c ,联立解得 a=4,c=2,b=2 ∥ , ∥ , ?

. =0,

(2)∵满足

∴直线 AC,BD 垂直相交于点 F1, 由(1)椭圆方程 ,F1(﹣2,0) .

①直线 AC,BD 有一条斜率不存在时,|

|+|

|=6+8=14.

②当 AC 斜率存在且不为 0 时,设方程 y=k(x+2) ,A(x1,y1) ,C(x2,y2) , 联立 ,化为(3+4k )x +16k x+16k ﹣48=0.
2 2 2 2

∴x1+x2=

,x1x2=





=

=



把﹣ 代入上述可得:可得

=



∴|

|+|
2

|=



设 t=k +1(k≠0) ,t>1. ∴| |+| |= ,∵t>1,∴ ,

∴|

|+|

|∈ |+|

. |的取值范围是 .

指数可得:|

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数 关系、向量垂直与数量积的关系、 三角形内切圆的性质、二次函数的性质,考查了“换元法”、 推理能力与计算能力,属于难题. 21.已知函数 f(x)=x +a(x+lnx) ,a∈R. (Ⅰ)若当 a=﹣1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)> (e+1)a,求 a 的取值范围.
2

考点:利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)a=﹣1 时,求出 f(x)=x ﹣x﹣lnx,通过求导,根据导数符号即可判断出 f(x) 的单调区间; 2 (Ⅱ)讨论 a 的取值:a=0 时,容易得出满足题意;a>0 时,会发现函数 x +ax 在(0,+∞) 上单调递增,让 1+a+alnx <1,便得到 f(x)< ,从而这种情况不存在;当 a<0 时,通
2

过求导,容易判断出,存在 x0∈(0,+∞) ,使 f′(x0)=0,从而判断出 f(x)的最小值 f(x0) , 再由条件 f (x) 便可得到 x0∈ (0, e) , 并根据 f′ (x0) =0, 可求出 ,

从而求出 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 x∈(0,+∞) ; 当 a=﹣1 时,f(x)=x ﹣x﹣lnx,
2

=



∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0; ∴f(x)的单调减区间是(0,1) ,单调增区间是[1,+∞) ; 2 (II)①当 a=0 时,f(x)=x >0,显然符合题意; ②当 a>0 时,当 f(x)<1+a+alnx ③当 a<0 时,则 对于 2x +ax+a=0,△ =a ﹣8a>0; ∴该方程有两个不同实根,且一正一负,即存在 x0∈(0,+∞) ,使得 即 f′(x0)=0; ∴0<x<x0 时,f′(x)<0,x>x0 时,f′(x)>0; ;
2 2

时; ,不符合题意; ;

∴f(x)min=f(x0) = = ; ∵ ∴0<x0<e; 由 得, ; ,∴x0+2lnx0﹣(e+2)<0; =

设 y=

,y′=



∴函数

在(0,e)上单调递减;





综上所述,实数 a 的取值范围



点评:考查根据函数导数符号判断函数单调性,求函数单调区间的方法,判别式的取值和一 元二次方程根的关系, 由韦达定理判断一元二次方程根的符号, 以及根据导数求函数最小值 的方法与过程,函数单调性定义的运用. 四.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,已知点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点,过 C 的直线交 AB 的延长线于 E, 交过点 A 的圆 O 的切线于点 D,BC∥OD,AD=AB=2. (Ⅰ)求证:直线 DC 是圆 O 的切线; (Ⅱ)求线段 EB 的长.

考点:与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 专题:选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ) 要证 DE 是圆 O 的切线, 连接 AC, 只需证出∠DAO=90°, 由 BC∥OD?OD⊥AC, 则 OD 是 AC 的中垂线.通过△ AOC,△ BOC 均为等腰三角形,即可证得∠DAO=90°. (Ⅱ)由 BC∥OD?∠CBA=∠DOA,结合∠BCA=∠DAO,得出△ ABC∽△AOD,利用比 例线段求出 EB. 解答: (Ⅰ)证明:连接 AC,AB 是直径,则 BC⊥AC, 由 BC∥OD?OD⊥AC,

则 OD 是 AC 的中垂线?∠OCA=∠OAC,∠DCA=∠DAC, ?∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°. ?OC⊥DE,所以 DE 是圆 O 的切线. (Ⅱ)解:BC∥OD?∠CBA=∠DOA,∠BCA=∠DAO?△ ABC∽△AOD ? ?BC= = ? = ? = ? = ?BE= .

点评:本题考查圆的切线的证明,与圆有关的比例线段.准确掌握与圆有关的线、角的性质 是解决此类问题的基础和关键. 五.选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (其中 θ 为参数) ,点 M

是曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程;

=2



(Ⅱ)以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 θ= 分别交于 A,B 两点,求|AB|.

,与曲线 C1,C2

考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)设 P(x,y) ,M(x′,y′) ,因为点 M 是曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上, 将 M 坐标代入,消去 θ,得到 M 满足的方程,再由向量共线,得到 P 满足的方程; (Ⅱ)以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,分别利用极坐标方程表示两个 曲线,求出 A,B 的极坐标,得到 AB 长度. 解答: 解: (Ⅰ)因为点 M 是曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 设 P(x,y) ,M(x′,y′) ,则 x=2x′,y=2y′,并且 消去 θ 得, (x′﹣1) +y′ =3, 2 2 所以曲线 C2 的普通方程为: (x﹣2) +y =12;
2 2

=2





(Ⅱ)以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ ﹣ 2ρcosθ﹣2=0,将 θ= ﹣4ρcosθ﹣8=0,将 代入得 ρ=2,∴A 的极坐标为(2, ) ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ
2

2

代入得 ρ=4,所以 B 的极坐标为(4,

) ,所以|AB|=4﹣2=2.

点评:本题考查了将参数方程化为普通方程以及利用极坐标方程表示曲线. 五.选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|x﹣a|,a∈R. (Ⅰ)当 a=3 时,解不等式 f(x)≤4; (Ⅱ)若 f(x)=|x﹣1+a|,求 x 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=3 时,化简函数 f(x)的解析式,画出函数 f(x)的图象,画出直线 y=4, 数形结合求得不等式 f(x)≤4 的解集. (Ⅱ)由条件求得(2x﹣1)﹣(x﹣a)≤0,分类讨论求得 x 的范围.

解答: 解: (Ⅰ)当 a=3 时,函数 f(x)=|2x﹣1|+|x﹣3|=



如图所示:由于直线 y=4 和函数 f(x)的图象交于点(0,4) 、 (2,4) , 故不等式不等式 f(x)≤4 的解集为[0,2]. (Ⅱ)由 f(x)=|x﹣1+a|,可得|2x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1+a|. 由于|2x﹣1|+|x﹣a|≥|(2x﹣1)﹣(x﹣a)|=|x﹣1+a|,当且仅当(2x﹣1)?(x﹣a)≤0 时, 取等号. 故有(2x﹣1)﹣(x﹣a)≤0. 当 a= 时,可得 x= ,故 x 的范围为{ };当 a> 时,可得 ≤x≤a,故 x 的范围为[ ,a]; 当 a< 时,可得 a≤x≤ ,故 x 的范围为[a, ].

点评:本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了转化、数形结合、分 类讨论的数学思想,属于中档题.


赞助商链接

...怀仁一中2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

山西省朔州市怀仁一中2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。山西省朔州市怀仁一中 2015 届高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题...

贵州省贵阳市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档贵州省贵阳市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。贵州省贵阳市 2015 届高考数学一模试卷(理科)...

山西省太原市2015届高三模拟考试理科数学试卷(二)及答...

山西省太原市2015届高三模拟考试理科数学试卷(二)及答案 - 山西省太原市 2015 届高三年级第二次模拟试题理科数学 一、选择题:1.已知 i 为虚数单位,集合 A= ?...

贵州省黔东南州2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

贵州省黔东南州2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。贵州省黔东南州 2015 届高考数学一模试卷(理科)一、选择题(本大题共 12 小题...

山东省威海市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

山东省威海市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。2015 年山东省威海市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共 10 小题,每...

山东省德州市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

山东省德州市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。2015 年山东省德州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题(50 分) 1.设复数 z ...

...省菏泽市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷含...

山东省菏泽市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷含解析 - 2015 年山东省菏泽市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 ...

山东省滨州市2015届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试卷

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档山东省滨州市2015届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。2015 年山东省滨州市高考数学一模试卷(理科...

内蒙古包头市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档内蒙古包头市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷_高二数学_数学_高中教育_教育专区。内蒙古包头市 2015 届高考数学一模试卷...

安徽省宿州市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

安徽省宿州市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 - 2015 年安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 ...