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北京市海淀区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题+Word版含答案

时间:2018-02-14


海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科) 2018.1

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项。 (1)复数 A. B. C. D.

(2)在极坐标系中

,方程

表示的圆为

A.

B.

C.

D.

(3)执行如图所示的程序框图,输出的 值为 A.4 B.5 C.6 D.7

(4)设

是不为零的实数,则“

”是“方程

表示

的曲线为双曲线”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 (5)已知直线 角形,则实数 的值为

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 与圆 相交于 两点,且 为正三

A.

B.

C.



D.



(6)从编号分别为 1,2,3,4,5,6 的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个 小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为 A. B. C. D.

(7)某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中: ①三棱锥的体积为 ②三棱锥的四个面全是直角三角形

③三棱锥的四个面的面积最大的是 所有正确的说法是 A. ①B. ①②C. ②③D. ①③

(8)已知点 点,点

为抛物线

的焦点,点

为点

关于原点的对称

在抛物线

上,则下列说法错误 的是 ..

A.使得 B.使得

为等腰三角形的点 为直角三角形的点

有且仅有 4 个 有且仅有 4 个

C. 使得

的点

有且仅有 4 个

D. 使得

的点

有且仅有 4 个

第二部分(非选择题

共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)点 到双曲线 的渐近线的距离是 中, , , . 成等比数列,则 的前

(10)已知公差为 1 的等差数列 100 项和为 (11)设抛物线 线和抛物线 交于 ( 12 )已知 64:1,则 (13) 已知正方体 底面 内,点 在线段 . . 的顶点为 两点,则

,经过抛物线 .

的焦点且垂直于 轴的直

的展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为

的棱长为 上,若

, 点 ,则

是棱

的中点, 点

在 .

长度的最小值为

(14)对任意实数 ,定义集合 ①若集合 是 ; ②当 ,使得 时,若对任意的 ,有 表示的平面区域是一个三角形,则实数

. 的取值范围

恒成立,且存在 .

成立,则实数 的取值范围为

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

(15) (本小题 13 分) 如图,在 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 中,点 的值; 的值. 在 边上,且 .

(16) (本小题 13 分) 据中国日报网报道:2017 年 11 月 13 日,TOP500 发布的最新一期全球超级计算 机 500 强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太 湖之光” 完全使用了国产品牌处理器。 为了了解国产品牌处理器打开文件的速度, 某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试,结果如下(数值越小 ,速 .... . 度越快 ,单位是 MIPS) ...
测 试 1 品 牌 A 品 牌 B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21 3 测 试 2 6 测 试 3 9 测 试 4 10 测 试 5 4 测 试 6 1 测 试 7 12 测 试 8 17 测 试 9 4 测 试 10 6 测 试 11 6 测 试 12 14

(Ⅰ)从品牌 A 的 12 次测试中,随机抽取一次,求测试结果小于 7 的概率; (Ⅱ)从 12 次测试中,随机抽取三次,记 X 为品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的 测试结果的次数,求 X 的分布列和数学期望 E(X) ; (Ⅲ)经过了解,前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件,后 6 次测试是打开 含有文字和图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国 产品牌处理器打开文件的速度进行评价.

(17) (本小题 14 分) 如题 1,梯形 中, 为 中点 .



沿

翻折到

的位置,如图 2. 平面 ;

(Ⅰ)求证:平面 (Ⅱ)求直线 与平面

所成角的正弦值;

(Ⅲ)设 的中点,试比较三棱锥 并说明理由. 和三棱锥

分别为



(图中未画出)的体积大小,

(18) (本小题 13 分) 已知椭圆 ,点

(Ⅰ)求椭圆 的短轴长和离心率; (Ⅱ)过 与 的直线 与椭圆 相交于两点 ,设 的中点为 ,判断

的大小,并证明你的结论.

(19) (本小题 14 分) 已知函数 (Ⅰ)求曲线 . 在点处的切线方程;

(Ⅱ)当 (Ⅲ)当

时,求证:函数 时,写出函数

有且仅有一个零点; 的零点的个数.(只需写出结论)

(20) (本小题 13 分) 无穷数列 中等于 (Ⅰ)若 满足: 为正整数,且对任意正整数 , 的项的个数. ,请写出数列 的前 7 项; ,必存在 ,当 ,使得 时,恒有 ; 成立”的充 为前 项 , , ,

(Ⅱ)求证:对于任意正整数 (Ⅲ)求证:“ 要条件。 ”是“存在

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 2018.1 数学(理科)
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题 号 选 项 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.(有两空的小题第一空 3 分) (9) (13) (10)5050 (14)① (11)2 ② (12)6 A D B A D C D C 1 2 3 4 5 6 7 8

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题 13 分) 解: (Ⅰ)如图所示, 故 , ,????????.1 分 ?????????.2 分

设 在

,则 , 中,由余弦定理

. ?????????.3 分

即 解得 ,即

,?????????.4 分 .?????????.5 分

(Ⅱ)方法一.在

中,由

,得

,故

……………………….6 分 在 中,由正弦定理

……………………….7 分



,故

,……………………….9 分



,得

,……………………….11 分

?????????13 分 方法二. 在 中,由余弦定理

……………………….7 分

由 故

,故

……………………….9 分 ……………………….11 分

故 ?????????13 分 16. (本小题 13 分) (Ⅰ)从品牌 的 12 次测试中,测试结果打开速度小于 7 的文件有: 测试 1、2、5、6、9、10、11,共 7 次

设该测试结果打开速度小于 7 为事件 (Ⅱ)12 次测试中,品牌

,因此

……………………….3 分

的测试结果大于品牌

的测试结果的次数有:

测试 1、3、4、5、7、8,共 6 次 随机变量 所有可能的取值为:0,1,2,3

……………………….7 分 随机变量 的分布列为 0 1 2 3

……………………….8 分

……………………….10 分 (Ⅲ)本题为开放问题,答案不唯一,在此给出评价标准,并给出可能出现的答案情况, 阅卷时按照标准酌情给分. 给出明确结论,1 分; 结合已有数据,能够运用以下 8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由,2 分. ???????13 分. 标准 1: 会用前 6 次测试品牌 A、 品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A、 品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述 (这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测 试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值; 这两种品牌的处理器 打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度) 标准 2: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差与后 6 次测试品牌 A、 品牌 B 的测试结果的方差进行阐述 (这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试 结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差; 这两种品牌的处理器打开 含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动) 标准 3:会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值与品牌 B 前 6 次测试结果的平均值、 后 6 次测试结果的平均值进行阐述 (品牌 A 前 6 次测试结果的平 均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值, 品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值,品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌 B,品牌 A 打开含 有文字和图形的文件的速度快于品牌 B) 标准 4:会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前 6 次测试结果的方差、 后 6 次测试结果的方差进行阐述 (品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品 牌 B 前 6 次测试结果的方差, 品牌 A 后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方 差,品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌 B,品牌 A 打开含有文字和图形

的文件的速度波动小于品牌 B) 标准 5: 会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试结果的平均值 进行阐述(品牌 A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次测试结果的平均值,品牌 A 打开文件的平均速度快于 B) 标准 6: 会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方差进行 阐述 (品牌 A 这 12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差, 品牌 A 打开文件 速度的波动小于 B) 标准 7:会用前 6 次测试中,品牌 A 测试结果大于(小于)品牌 B 测试结果的次数、 后 6 次测试中,品牌 A 测试结果大于(小于)品牌 B 测试结果的次数进行阐述(前 6 次测试 结果中, 品牌 A 小于品牌 B 的有 2 次, 占 1/3. 后 6 次测试中, 品牌 A 小于品牌 B 的有 4 次, 占 2/3. 故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于 B,品牌 A 打开含有文字和图片的 文件的速度快于 B) 标准 8:会用这 12 次测试中,品牌 A 测试结果大于(小于)品牌 B 测试结果的次 数进行阐述(这 12 次测试结果中,品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次,占 1/2.故品牌 A 和品牌 B 打开文件的速度相当) 参考数据 期望 品牌 A 品牌 B 品牌 A 与品牌 B 前6次 5.50 4.33 4.92 后6次 9.83 11.83 10.83 12 次 7.67 8.08

方差 品牌 A 品牌 B 品牌 A 与品牌 B

前6次 12.30 5.07 8.27

后6次 27.37 31.77 27.97

12 次 23.15 32.08

17. (本小题 14 分) (Ⅰ)证明:因为 , , , , 平面 ……………..1 分 所以 因为 平面 平面 ……………..2 分 ,所以平面 平面 ……………..3 分

(Ⅱ)解:在平面 由 平面

内作 ,建系如图.

, ……………..4 分











.

, 设平面 的法向量为

, ,则

……………..7 分

,即 所以 是平面

,令

得,



的一个方向量. ……………..9 分

……………..10 分

所以

与平面

所成角的正弦值为

.

……………..11 分

(Ⅲ)解:三棱锥 理由如:

和三棱锥

的体积相等.……………..12 分

方法一:由 因为 故点 平面 、 到平面

, ,所以

,知 平面 .

,则 ……………..13 分 和 同底等高, ……………..14 分

的距离相等,有三棱锥

所以体积相等.

方法二:如图,取 因为在 因为在正方形 因为 所以平面 因为 故点 所以体积相等. 中,

中点 , 中, ,

,连接 分别是 ,

, ,



.

的中点,所以 , , 的中点,所以 , 平面

分别是 平面



平面 平面 、 到平面 ,所以 平面 ……………..13 分 和 同底等高,

的距离相等, 有三棱锥

……………..14 分

法二法三 方法三:如图,取 中点 ,连接 , , .

因为在

中,

, 分别是



的中点, 所以



因为在正方形 所以 因为 故点 所以体积相等. 平面 且 ,

中,



的中点,所以

且 是平行四边形,故 平面 和 . ……………..13 分 同底等高, ……………..14 分

,故四边形 平面 ,所以

、 到平面

的距离相等, 有三棱锥

18. (本小题 13 分)

解: (Ⅰ)



,故











.

……………..3 分

椭圆

的短轴长为

,离心率为 . ……………..6 分 , ,

.……………..5 分

(Ⅱ)结论是: 设直线 :

,整理得:

……………..8 分





……………..10 分

……………..11 分

……………..12 分 故 ,即点 在以 为直径的圆内,故 ……………..13 分

19. (本小题 14 分) (Ⅰ)因为函数 所以 故 曲线 (Ⅱ)当 ……………..6 分 故 由 是 上的增函数. ,故当 即当 故 函数 由 (Ⅲ)当 在 时, 时, ,当 ,当 时, 时, ……………..7 分 . . , 在 时,令 ……………..2 分 ……………..4 分 处的切线方程为 ,则 ……………..5 分

单调递减,在 的最小值为 ,故

单调递增.……………..9 分

…………….10 分 有且仅有一个零点. …………….12 分

时,

有一个零点;当



时,

有两个零点.

……………..14 分 20. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)2,1,1,2,2,3,1 ……………..3 分 (Ⅱ)假设存在正整数 ,使得对任意的 , . 由题意,

考虑数列

的前

项: , , ,?,

其中至少有

项的取值相同,不妨设

此时有: 故对于任意的正整数

,矛盾. ,必存在 ,使得 . ………….. 8 分

(Ⅲ)充分性: 当 特别地, 故对任意的 (1)若 为偶数,则 时,数列 , 为 , , , , , , ,?, , , , ,?

(2)若 为奇数,则 综上, 必要性: 方法一:假设存在 立” 则数列 , , , , , , , ,?, , , , , , ,?, , , , ,?, , , , , , 的前 项为 ( ) ,使得“存在 ,当 时,恒有 成 恒成立,特别地,取 有当 时,恒有 成立

………….11 分

, ,

, ,

, ,





后面的项顺次为 , , , , , , …… 对任意的 ,当 ………….. 13 分 方法二:若存在 ,当 时, ,使得 恒成立,记 (由 s 的定义知 ) 均小于等于 s. 且 为正整数,所以 中恰有 t 项等于 1. , . . ,总存在 时,恒有 ,使得 , ,这与 矛盾,故若存在 , ,…, , ,…, , ,…, , , ,

成立,必有

由第(2)问的结论可知:存在 不妨设 则 记 假设 是数列 .因为 ,由数列 ,则可设

中第一个 大于等于 ... ,所以

的项,即 ,即

的定义可知,在 ,其中 , ,所以

考虑这 t 个 1 的前一项,即 因为它们均为不超过 s 的正整数,且 将其记为 a,则数列

中一定存在两项相等,

中相邻两项恰好为(a,1)的情况至少出现 2 次,但根据数列

的定义可知:第二个 a 的后一项应该至少为 2,不能为 1,所以矛盾! 故假设 综上,“ 不成立,所以 ”是“存在 ,即必要性得证!………….. 13 分 ,当 时,恒有 成立”的充要条件.


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