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第五讲矩阵分块和初等变换

时间:2019-08-22

第五讲矩阵分块和初等变换

§2.4 矩阵的分块

1.分块矩阵:对于行数和列数较高的矩阵 A. ,运算时常采用分块法,是大矩阵

的运算化为小矩阵的运算;我们将矩阵 A. 用若干条纵线和横线分成许多个小矩

阵,每一个小矩阵称为 A. 的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

2.分块矩阵的运算:分块矩阵的运算规则与普通的矩阵的运算规则相类似,分

别说明如下:

(1)设矩阵 A 与 B 的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有

?? A11 A?? ?

?

A1r ??

?? B11

? ?, B ? ? ?

?

B1r ?

?? ?

,其中

Aij



Bij

的行数相同、列数相同,那么

?? As1 ? Asr ??

?? Bs1 ? Bsr ??

?? A11 ? B11 ? A1r ? B1r ??

A?B ?? ?

??

?? As1 ? Bs1 ? As1 ? Bsr ??

(2)



A

?

?? ?

A11 ?

?

A1r ?

?? ?



?

为数,那么

?A

?

?? ?

?A11 ?

?

?A1r ?? ??

?? As1 ? Asr ??

?? ?As1 ? ?Asr ??

(3)设 A 为 m?l 矩阵, B 为 l ? n 矩阵,分块成

?? A11 A?? ?

?

A1r ??

?? B11

? ?, B ? ? ?

?

B1t ?

?? ?

其中

Ai1 ,

Ai2 ,?

?

?,

Air

的列数分别等于

B1

j

,

B2

j

,?

?

?,

Brj



?? As1 ? Asr ??

?? Br1 ? Brt ??

行数,那么

AB

?

?? ?

c11 ?

?

c1r ?? ? ?,

?? cs1 ? csr ??

t
? 其中 Cij ? Aik Bkj (i ? 1,?, s; j ? 1,?, r) k ?1

(4) 设

?? A11 A?? ?

?

A1r ?

?? ?

,则

A

?

?? ?

A1T1 ?

?

AsT1 ?? ??

?? As1 ? Asr ??

? ?

A1Tr

?

AsTr

? ?

(5)设 A. 为 n 阶方程,若 A. 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子

1/5

第五讲矩阵分块和初等变换

?? A1

? ??

块都为零矩阵,且非零子块都是方块,即

A.

?

? ?

??? ?

A2

?

? ? As ???

其中 A.i (i ? 1,2,?, s) 都是方阵,那么称 A 为分块对角矩阵,其行列式具有下述性质:

A ? Ai A2 ? As ,若 Ai ? 0,(i ? 1,2,?, s) ,则 A ? 0 ,并有

?? A1?1

A?1

?

? ?

??? ?

? ??

A2?1

?

?

? As?1 ???

例3



A.

?

?? ?

3 0

0 3

0 1

?? ?

,求

A

?1

??0 2 1??

解:

A

?

?? ?

3 0

?? 0

0 3 2

0?? 1? 1 ??

?

????

A1 0

0 A2

????

A1 ? (3)

A2

?

????

A1 0

0 A2

????

A1?1

?

?? ?

1 ?? 3?

A2?1

?

????

1 ?2

?31????

?? 1 0 0 ??

所以

A ?1

?

?3 ?0

1

? ? 1?

? ??

0

?2

3

? ??

§2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵

矩阵的初等变换是一种十分重要的运算方法,它在解先行方程组、求逆矩阵及

矩阵理论的探讨中都有重要的作用

3.初等变换:下面三种变换称为矩阵的初等变换:

(1) 对调两行(两列)(对调i, j 两行,记作 r(i, j) ;对调i, j 两列,记作 c(i, j) );

(2) 以数 k ? 0 乘某一行(列中的所有元素(第 i 行乘 k ,记作 r(i(k)) ;第i 列乘 k ,

记作 c(i(k)))

(3) 把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应的元素上去(第 i 行 的 k 倍加到第 j 行,记作 r( j ? i(k)) ;第 i 列的 k 倍加到第 j 列,记作 r( j ? i(k)) )

初等变换都是可逆的,且其逆变换仍是同一类的初等变换

2/5

第五讲矩阵分块和初等变换

r(i, j) 的逆变换为 r(i, j) , r(i(k)) 的逆变换为 r(i( 1 )) , r( j ? i(k)) 的逆变换为 r( j ? i(?k))
k
4.等价:如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价,

记着 A ~ B 矩阵之间的等价关系满足下列性质:

(1) 反身性 A ~ A; (2) 对称性 若 A ~ B ,则 B ~ A ; (3) 传递性 若 A ~ B , B ~ C ,则 A ~ C .

?? 2 ?1 ?1 1 2 ??

已知矩阵

A

?

?1 ???? 34

1 ?6 6

?2 1 2 ?2 ?9 7

4 4 9

? ? ???

对其做初等行变换

?1

?

A

r1 ?r2
?? r3 ??2 ?

?2 ?2

??? 3

1 ?2 1 ?1 ?1 1 ?3 1 ? 1 6 ?9 7

4?

?1

?

2 2 9

? ? ???

=

B1

r2 ?r3 r3 ?2r
?? r41??3r1 ?

?

?0

? ???

0 0

1 ?2 1 4 ?

?

2 ?2 2 ?5 5 ?3 3 ?3 4

0 ?6 3

? ? ???

=

B2

?1 1 ? 2 1 4 ?

?1 1 ? 2 1 4?

?1 0 ?1 0 4?

?

?

?

?

?

?

???

? ? ???

0 0 0

1 ?1 00 00

1 2 1

0? ??63????

= B3

???

?0

? ???

0 0

1 ?1 00 00

1 1 0

0? ?03????

=

B4

???

?0

? ???

0 0

1 ?1 00 00

0 1 0

3 ?3 0

? ? ???

=

B5

则 A ~ B4 , B4 为行阶梯型矩阵 5.行阶梯形矩阵:

①元素全为零的行位于非零行的下方;

②各非零行的首非零行元素的列标随着行标的增大而严格增大

?1 0 ? 1 0 4?

?

?

对矩阵 B4 再作初等行变换: B4

???

?0 ?0

1 0

?1 0

0 1

3 ?3

? ?

=

B5

???0 0 0 0 0 ???

则 A ~ B5 , B5 为行最简形矩阵

6.行最简形矩阵:

①是行阶梯形矩阵

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第五讲矩阵分块和初等变换

②各非零行的首非零行元素都是1 ③每个首非零元素所在列的其余元素都是0

对 矩 阵 B5 再 作 初 等 列 变 换 :

?1 0 ? 1 0 4?

?1 0 0 0 0 ?

?

?

?

?

?0

? ???

0 0

1 0 0

?1 0 0

0 1

3 ?3

? ?

=

B5

???

?0 ?0

0 0 ???

??? 0

1 0 0

0 1 0

0 0 0

0?

0 0

? ???

?

????

E 0

00???? ? D

矩阵 D 为矩阵 A 的等价标准形

7.定理:任何一个矩阵总可以经过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵,并进一

步化为行最简形矩阵

8.定理:任何一个矩阵都有等价标准形,两个矩阵等价,当且仅当它们有相同

的等价标准形

????

ER O

O?

O

?? ? m?n

9.初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

初等矩阵有3种: E(i, j); E(i(k));E( j ? i(k))

初等矩阵都是可逆的,它们的逆也是初等矩阵。

E(i, j)?1 ? E(i, j); E(i(k))?1 ? E(i( 1 ));E( j ? i(k))?1 ? E( j ? i(?k)) k
10.定理:对一个 m ? n 矩阵 A 进行一次初等行变换,相当于用相应的 m 阶初等矩 阵左乘 A ,对 A 进行一次初等列变换,相当于用相应的 n 阶初等矩阵右乘 A 11.定理:矩阵 A 与矩阵 B 等价的充要条件是:存在初等方阵 P1,?Ps ,Q1,?Qt ,使
A ? P1 ? Ps BQ1 ?Qt
小结与提问: 小结:1.矩阵的初等变换与初等矩阵;
2.利用分块矩阵求逆 课外作业:

P63 23(1)(3)

4/5

第五讲矩阵分块和初等变换 5/5


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