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数列通项公式的求法教案

时间:2019-06-28



题:数列通项公式的求法

课题类型:高三第一轮复习课 授课教师:孙海明 1、知识目标:使学生掌握数列通项公式的基本求法:(1)利用公式求通项(2)累加法 求通项(3)累乘法求通项,并能灵活地运用。 2、能力目标:通过例题总结归纳数列通项公式基本求法,培养学生观察、辨析、运用的 综合思维能力,掌握由特殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想, 提高学生数学素质。 3、情感目标:通过本节的学习,进一步培养学生的“实践—认识—再实践”的辨证唯物主 义观点。 教学重点、难点: 重 难 点:数列通项公式的基本求法 点:复杂问题的化归转化

教学方法与教学手段: 教学方法:引导发现法(注重知识的发生过程,培养学生创新精神和实践能力) 教学手段:多媒体辅助教学 教学过程: 一、创设情境,引出课题: 1、数列在历年的高考中都占有非常重要的地位。以近三年的高考为例:每年都出一道选 择或填空、一道解答题,总分值为 17 分,占高考总成绩的百分之十。所以,希望同学们认真 总结归纳基本方法,灵活运用解题。请同学们思考解决数列问题的关键是什么?(同学们一 起回答:通项公式),那么这节课我们就来总结一下数列通项公式的基本求法。 《板书标题:数列通项公式的求法》 [设计意图] 使学生掌握数列在高考中的地位,从而使学生对数列的学习引起足够的 重视,提高学习的积极性。 二、启发诱导、总结方法 1、利用公式求通项 《先给出例题,分析总结方法》
例、 07 高考卷一 ) 设 ?a n ?为等差数列 ( , ?b n ?是各项都为正数的等比 数列 , 且 a 1 ? b1 ? 1, a 3 ? b 5 ? 21 , a 5 ? b 3 ? 13 , 求 ?a n ?, ?b n ?的通项公式

师生互动:

请同学分析叙述解题过程,老师板书。
解:设等差数列

?a n ?的公差为
4

d , 等比数列

?b n ?的公比为
2

q , q ? 0 依题得
2

a 3 ? b5 ? 1 ? 2 d ? q

? 21 , a 5 ? b 3 ? 1 ? 4 d ? q

? 13 , 解得 q
n ?1

? 4或 q

2

7 ? ? (舍)因为 2

q ? 0

所以 q ? 2 , 所以 d ? 2,则 a n ? 1 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n , b n ? 2

教师引导学生分析例题题干,总结特点:“明确数列是等差还是等比数列”得出方法: 利用公式求通项,并板书标题,再次强调使用类型。 《多媒体》给出同类的练习让学生巩固方法及解题过程。
练 : ( 06 高考卷一 ) 等比数列 求通项公式 an

?a n ?中,

a3 ? 2, a 2 ? a 4 ?

20 3

,

解 : 设等比数列 ? a2 ? a3 q ? 2 q

{ a n }的公比为 q , 则 q ? 0 , a4 ? a3q ? 2q ?
n?3

2 q

? 2q ?

20 3

解得 q ? 3 或 q ?

1 3

当 q ? 3时 , a n ? a 3 q 当q ? 1 3

? 2?3

n?3

时 , an ? a3q

n?3

? 2?3

3? n

2、累加法求通项 回忆等差数列定义式及通项公式的推导过程,引出“累加法求通项”,并板书标题。引 导学生分析条件,得出已知给出了数列相邻两项之差等于常数的结构,老师提出新问题:差 值不是常数此法是否适用?给出例题让学生动手体会。
例、数列 { a n }中, a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? n ? 1, 求通项公式 an

解:由 a n ? 1 ? a n ? n ? 1得: a 2 ? a1 ? 2 a3 ? a2 ? 3 a4 ? a3 ? 4 ? a n ? a n ?1 ? n

左边各式等号两边分别

相加得:

a n ? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 因 a 1 ? 1,则 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ( n ? 1) 2

学生通过亲身验会发现也可以用,从而总结得到:已知数列相邻两项之差的结构,可以 使用累加法。 《多媒体》给出练习让学生进一步巩固此法的解题过程。
练 : 已知数列 求通项公式

?a n ?满足
an

a 1 ? 1, a n ? 3

n ?1

? a n ? 1 ( n ? 2 ),

3、累乘法求通项 回忆等比数列定义及通项公式的推导过程,引出“累乘法求通项”,并板书标题。利用 类比的方法引导学生自己总结累乘法所适合的结构类型:已知数列相邻两项之比。给出例题 让学生分析叙述解题过程。并用多媒体展示解题过程,让同学对比找出不足。
例、已知数列 { a n }中 , a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 3 a n , 求通项公式
n

an

a n n 解:由 a n ? 1 ? 3 a n 得: n ? 1 ? 3 an 则 a2 a 1 a 2 a 3 n ?1 ? 3 , 3 ? 3 , 4 ? 3 ,? , n ? 3 a1 a2 a3 a n ?1 相乘得:
n ( n ?1 ) 2

以上各式等号左右分别 an a1 ?3
1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ?1 )

则 an ? 2 ? 3

《多媒体》给出练习让学生进一步巩固此法的解题过程。
练:在数列

?a n ?中,

a n a 1 ? 2, n ? 1 ? ,求通项 a n an n ?1

[设计意图]

通过例题培养学生发现问题,总结规律的能力,利用对比方式提高学生举 一反三的能力,通过练习巩固结论,从而达到培养学生“实践——认识——再 实践”的辩证唯物主义观点。

三、知识拓展

发散思维

深化目标

《用多媒体展示四道习题》
1、08 高考)已知数列 (

?a n ?中,

a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 2 ,设 b n ?
n

an 2
n ?1

,

(1)求证: ?b n ?是等差数列 ( 2)求数列
2、在数列

?a n ?的通项公式
?a n ?中,
a 1 ? 1, a n ? 1 ? an 1 ? na n , 求通项 a n

3、已知数列 求通项 a n 4、已知数列

?a n ?中 , a 1

? 2 , a n ? 0 , a n ?1 ? a n ? 2 a n ?1 ? a n ,

{ a n }的递推关系为

a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? a n ? 4,

且 a 1 ? 1, a 2 ? 3,求通项 a n

浅析:1、3 两题通过等式两边分别某个量,从而构造出等差数列,转化为利用公式求通 项。2 题通过两边取倒数的方法,从而构造出数列相邻两项之差的结构,转化为累加法求通 项。4 题较难,需先通过重新分组结合,从而构造等差数列,求得通项后又出现数列相邻两 项之差的结构,再用累加法求通项。 [设计意图] 给出几个有深度难度的题,分析总结几种重要的变形方法,从而深化学习 目标,培养学生发散思维,展示化归转化的数学思想,提高运用知识解决问题的能力。 四、总结本节主要内容 学生总结老师补充,并用多媒体展示。

小结: 数列通项公式的求法: 一、利用公式求通项 二、累加法求通项 三、累乘法求通项
五、布置作业
1、06 高考卷 )已知等比数列 ( 求数列

?a n ?的前

n 项和为 S n , S 4 ? 1, S 8 ? 17 ,

?a n ?的通项公式 ?a n ?的公比 q ? 1, 前 n 项和为 ?a n ?的通项公式
Sn,

2、07 高考卷二 ) 设等比数列 ( 已知 a 3 ? 2 , S 4 ? 5 S 2 , 求数列
3、06 高考福建 )已知数列 ( a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n , 求数列

?a n ?满足 a 1 ? 1, a 3 ? 3 , ?a n ?的通项公式 a n
n ?1 n a n ? 1 ( n ? 2 ), 求通项公式 an

4、 已知数列 { a n }, a 1 ? 1, a n ?

[设计意图] 板书:

作业选择高考题,主要让学生再次感受到本节内容的重要,增强高考应

变能力,提高学生的高考意识。 通项公式的求法 一、利用公式求通项 (明确数列等差还是等比)
例、 07 高考卷一 ) 设 ?a n ?为等差数列 ( , ?b n ?是各项都为正数的等比 数列 , 且 a 1 ? b1 ? 1, a 3 ? b 5 ? 21 , a 5 ? b 3 ? 13 , 求 ?a n ?, ?b n ?的通项公式

解:设等差数列

?a n ?的公差为
4

d , 等比数列

?b n ?的公比为
2

q , q ? 0 依题得
2

a 3 ? b5 ? 1 ? 2 d ? q

? 21 , a 5 ? b 3 ? 1 ? 4 d ? q

? 13 , 解得 q
n ?1

? 4或 q

2

7 ? ? (舍)因为 2

q ? 0

所以 q ? 2 , 所以 d ? 2,则 a n ? 1 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n , b n ? 2

二、累加法求通项 (已知数列相邻两项之差)

例、数列 { a n }中, a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? n ? 1, 求通项公式

an

解:由 a n ? 1 ? a n ? n ? 1得: a 2 ? a1 ? 2 a3 ? a2 ? 3 a4 ? a3 ? 4 ? a n ? a n ?1 ? n

左边各式等号两边分别

相加得:

a n ? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 因 a 1 ? 1,则 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ( n ? 1) 2

三、累乘法求通项 (已知数列相邻两项之比)
例、已知数列 { a n }中 , a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 3 a n , 求通项公式
n

an

a n n 解:由 a n ? 1 ? 3 a n 得: n ? 1 ? 3 an 则 a2 a 1 a 2 a 3 n ?1 ? 3 , 3 ? 3 , 4 ? 3 ,? , n ? 3 a1 a2 a3 a n ?1 相乘得:
n ( n ?1 ) 2

以上各式等号左右分别 an a1 ?3
1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ?1 )

则 an ? 2 ? 3

[设计意图]

展示本节课所学的主要内容,突出各个方法及具体解题过程。


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