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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-1练习:2.3 第2课时 抛物线的几何性质]

时间:2015-03-25


第二章

2.3

第 2 课时

一、选择题 1.P(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p≠0)上任一点,则 P 到焦点的距离是( p A.|x0- | 2 C.|x0-p| [答案] B [解析] 利用 P 到焦点的距离等于到准线的距离,当 p>0 时,p 到准线的距离为 d=x0 p p p + ;当 p<0 时,p 到准线的距离为 d=- -x0=| +x0|. 2 2 2 2.若抛物线 y2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,且|AB|=4 2,则抛物线的焦点到直线 AB 的 距离为( A.1 C.3 [答案] A [解析] 由题意知 AB 垂直于 x 轴,且|AB|=4 2,可设 A 点纵坐标为 2 2,代入抛物线 方程得其横坐标为 2,即直线 AB 为 x=2,且焦点坐标为(1,0),则焦点到直线 AB 的距离为 1. 3.已知抛物线的准线方程为 x=-7,则抛物线的标准方程为( A.x2=-28y C.y2=-28x [答案] B [解析] =14. 4.抛物线 y2=-4px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,则 p 表示( A.F 到 l 的距离 C.F 点的横坐标 [答案] B p′ [解析] 设 y2=-2p′x(p′>0),p′表示焦点到准线的距离,又 2p′=4p,p= , 2 故 p 表示焦点到 y 轴的距离. 5.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,灯口直径为 60 cm,灯深为 40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是( ) B.F 到 y 轴的距离 1 D.F 到 l 的距离的 4 ) 由题意,知抛物线的标准方程为:y2=2px(p>0),又准线方程为 x=-7,∴p B.y2=28x D.x2=28y ) ) B.2 D.5 p B.|x0+ | 2 D.|x0+p| )

A.11.25 cm C.20 cm [答案] B

B.5.625 cm D.10 cm

[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,

∵灯口直径|AB|=60,灯深|OC|=40, ∴点 A 的坐标为(40,30). 设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则 900=2p×40, 90 45 解得 p= = , 8 4 45 ∴焦点 F 与抛物线顶点,即光源与反射镜顶点的距离为 =5.625(cm). 8 6.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点(-5,2 5)到焦点的距离是 6, 则抛物线的方程为( A.y2=-2x C.y2=2x [答案] B [解析] 由题意,设抛物线的标准方程为: y2=-2px(p>0), p 由题意,得 +5=6,∴p=2, 2 ∴抛物线方程为 y2=-4x. 二、填空题 7.抛物线 y2=2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为 10 和 6,则该点的 横坐标是________. [答案] 1 或 9 [解析] 设抛物线上一点 M 坐标为(x0,y0) p 由题意,得 y0=6,x0+ =10, 2 又 y2 0=2px0,解得 x0=1 或 9. 8.抛物线 y2=16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________. [答案] (2,± 4 2) ) B.y2=-4x D.y2=-4x 或 y2=-36x

[解析] 设抛物线 y2=16x 上的点 P(x,y) 由题意,得(x+4)2=x2+y2=x2+16x, ∴x=2,∴y=± 4 2. 三、解答题 9.已知抛物线的方程为 x2=ay,求它的焦点坐标和准线方程. a [解析] (1)当 a>0 时,∵2p=a,∴p= . 2 a a ∴焦点坐标为 F(0, ),准线方程为 y=- . 4 4 (2)当 a<0 时,x2=-(-a)y.∵2p=-a, a ∴p=- . 2 a a a ∴焦点坐标为 F(0,-(- )),即 F(0, ),准线方程为 y=- . 4 4 4 a a 综上所述,抛物线的焦点坐标为 F(0, ),准线方程为 y=- . 4 4

一、选择题 1.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( 1 A. 2 C.2 [答案] C [解析] 本题考查抛物线的准线方程,直线与圆的位置关系. p p 抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程是 x=- ,由题意知,3+ =4,p=2. 2 2 2. 直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、 B 两点, 若 AB 中点的横坐标为 2, 则 k=( A.2 或-2 C.2 [答案] C [解析] 则
?y2=8x ? 由? 得 k2x2-4(k+2)x+4=0, ?y=kx-2 ?

)

B.1 D.4

)

B.-1 D.3

4?k+2? =4,即 k=2. k2 )

3.与 y 轴相切并和圆 x2+y2-10x=0 外切的动圆圆心的轨迹为( A.圆 C.椭圆 B.抛物线和一条射线 D.抛物线

[答案] B [解析] 如图所示,

设动圆圆心坐标为(x,y),由题意得 y=0(x<0)或 y2=20x(x≠0). 4.已知 P 为抛物线 y2=4x 上一动点,记点 P 到 y 轴的距离为 d,对于定点 A(4,5),则 |PA|+d 的最小值为( A.4 C. 17-1 [答案] D [解析] 因为 A 在抛物线的外部,所以, 当点 P、A、 F 共线时,|PA|+|PF|最小,此时|PA| +d 也最小,|PA|+d=|PA|+(|PF|-1)=|AF|-1= ?4-1?2+52-1= 34-1. 二、填空题 5.抛物线 y2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若弦 AB 的长为 4 3,则焦点到 AB 的距离为 ________. [答案] 2 [解析] 由题意,设 A 点坐标为(x,2 3),则 x=3, 又焦点 F(1,0),∴焦点到 AB 的距离为 2. 6.已知 F 为抛物线 y2=2ax(a>0)的焦点,点 P 是抛物线上任一点,O 为坐标原点,以 下四个命题: (1)△FOP 为正三角形; (2)△FOP 为等腰直角三角形; (3)△FOP 为直角三角形; (4)△FOP 为等腰三角形. 其中一定不正确 的命题序号是________. ... [答案] (1)(2) [解析] ∵抛物线上的点到焦点的距离最小时,恰好为抛物线顶点,∴(1)错误. p 若△FOP 为等腰直角三角形,则点 P 的横、纵坐标相等都为 ,这显然不可能,故(2) 4 错误. 三、解答题 7.过抛物线 y2=-4x 的焦点,作倾斜角为 120° 的直线,交抛物线于 A、B 两点,求△ ) B. 74 D. 34-1

OAB 的面积. [解析] 由 y2=-4x 得 p=2,焦点(-1,0), 直线 AB 方程为 y=- 3(x+1).

?y =-4x 由? , ?y=- 3?x+1?
10 16 消去 y 得 x2+ x+1=0,易求得|AB|= . 3 3 又原点到直线 AB 的距离 d= 1 3 16 4 3 ∴S△AOB= × × = . 2 2 3 3 8.已知抛物线 y2=4x,直线 l 过定点 P(-2,1),斜率为 k,k 为何值时,直线 l 与抛物 线满足下列条件: (1)只有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)没有公共点. [解析] 由题意得直线 l 的方程为 y-1=k(x+2),
? ?y-1=k?x+2? 由? 2 , ?y =4x ?

2

3 2

消去 x 得 ky2-4y+4(2k+1)=0

①,

1 当 k=0 时,由方程①得 y=1,把 y=1 代入 y2=4x,得 x= ,此时,直线 l 与抛物线只 4 1 有一个公共点( ,1). 4 当 k≠0 时,方程①的判别式为 Δ=-16(2k2+k-1). 1 (1)当 Δ=0,即 2k2+k-1=0,解得 k=-1 或 k= ,此时方程①只有一解,方程组只 2 有一个解,直线 l 与抛物线只有一个公共点. 1 1 (2)当 Δ>0,即 2k2+k-1<0,解得-1<k< ,所以-1<k< 且 k≠0 时,直线 l 与抛物线有 2 2 两个公共点. 1 (3)当 Δ<0,即 2k2+k-1>0,解得 k> 或 k<-1, 2 此时,直线 l 与抛物线没有公共点. 1 综上所述,当 k=0 或 k=-1 或 k= 时,直线 l 与抛物线只有一个公共点; 2 1 当-1<k< 且 k≠0 时,直线 l 与抛物线有两个公共点; 2

1 当 k<-1 或 k> 时,直线 l 与抛物线没有公共点. 2 9.已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A、B 两点. (1)求证 OA⊥OB; (2)当△AOB 的面积等于 10时, 求 k 的值. [解析] (1)证明:如图所示,

2 ? ?y =-x ? 由方程组 消去 x 得 ky2+y-k=0, ?y=k?x+1? ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由根与系数的关系知 y1y2=-1. 因为 A、B 在抛物线 y2=-x 上,
2 2 2 所以 y2 1=-x1,y2=-x2,y1y2=x1x2,

y1 y2 y1y2 1 因为 kOA· kOB= · = = =-1, x1 x2 x1x2 y1y2 所以 OA⊥OB. (2)解:设直线 AB 与 x 轴交于点 N,显然 k≠0, 所以点 N 的坐标为(-1,0), 因为 S△OAB=S△OAN+S△OBN 1 1 1 = |ON||y1|+ |ON||y2|= |ON||y1-y2|, 2 2 2 1 所以 S△OAB= · 1· ?y1+y2?2-4y1y2 2 = 1 2 1 ? ?2+4, k 1 +4, k2

1 因为 S△OAB= 10,所以 10= 2 1 解得 k=± . 6


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