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直线与平面的位置关系——平行与垂直

时间:2014-01-04


编号 054

高三数学一轮复习资料

高三数学备课组

直线与平面的位置关系——平行与垂直
一、考点要求: 内 立体几何 二、知识要点: 1.直线和平面的位置关系 直线在平面内,有 直线和平面相交,有 直线和平面平行,有 2.直线和平面平行的判定定理 如果平面外 符号表示: (记忆口诀:线线平行 线面平行) 3.直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 符号表示: (记忆口诀:线面平行 线线平行) 4.直线和平面垂直的定义: 如果一条直线和一个平面的 5.直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的 符号表示: 6.直线和平面垂直性质 若 a⊥ ? ,b ? ? 则 若 a⊥ ? ,b⊥ ? 则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 7.点到平面距离 过一点作平面的垂线 8.直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离. 三、课前热身: A 1. 已知:空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB, AD 的中点, 求证: EF // 平面BCD .
B E D F



要 A

求 B √ √ C

直线与平面平行的判定及性质 直线与平面垂直的判定及性质 、 公共点. 公共点. 公共点. 、 .

直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外. 和这个平面内 平行,那么这条直线和这个平面平行.

,经过

平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.

直线垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直. 直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

若 a⊥ ? ,a⊥ ? 则

叫做点到平面的距离.

A
C

2.已知:空间四边形 ABCD , AB ? AC , DB ? DC , 求证: BC ? AD

B E C

D

四、典型例题:

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例 1: (1)已知直线 a ∥直线 b,直线 a ∥平面α ,b ? α , 求证:b∥平面α

变式训练 1:已知直线 a ∥平面 ? ,直线 a ∥平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? = b ,求证 a // b .

变式训练 2:如图,正方形 ABCD 与 ABEF 不在同一平面内, M 、 N 分别在 AC 、 BF 上,且 AM ? FN 求证: MN // 平面 CBE .
王新敞
奎屯 新疆

C
T

M D B
H

E

例 2:已知直线 l ? 平面 ? ,垂足为 A ,直线 AP ? l ,求证: AP 在平面 ? 内.

N A F

变式训练 1:如图 SA⊥面 ABC,∠ABC=90° ,AE⊥SB,且 SB∩AE=E,AF⊥SC,且 AF∩SC=F, 求证:(1) BC⊥面 SAB;(2) AE⊥面 SBC;(3) SC⊥EF. S F E A B 变式训练 2:已知:四面体 S ? ABC 中, SA ? 平面ABC , ?ABC 是锐角三角形, H 是点 A 在面 SBC 上 的射影,求证: H 不可能是 ?SBC 的垂心.
S

C

H A C

五、课堂小节: 六、课堂检测: 1. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. 证明:PA∥平面 EDB;

P E C D A

B

B

P

2.平行四边形 ABCD 所在平面?外有一点 P,且 PA=PB=PC=PD,
D C O B

?

A

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求证:点 P 与平行四边形对角线交点 O 的连线 PO 垂直于 AB、AD.

七、课后练习: 1.以下命题(其中 a ,b 表示直线,?表示平面)中正确命题的是 ①若 a ∥b,b ? ?,则 a ∥? ②若 a ∥?,b∥?,则 a ∥b ③若 a ∥b,b∥?,则 a ∥? ④若 a ∥?,b ? ?,则 a ∥b 2.已知 a ∥?,b∥?,则直线 a ,b 的位置关系①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂 直且不相交. 其中可能成立的有 3.若 a ? ?,b ? ?, a ∥?,条件甲是“ a ∥b” ,条件乙是“b∥?” ,则条件甲是条件乙的 条件 4. “直线 l 垂直于平面?内的无数条直线”是“ l ⊥?”的 条件 5.如图 BC 是 Rt⊿ABC 的斜边,过 A 作⊿ABC 所在平面?垂线 AP,连 PB、PC,过 A 作 AD⊥BC 于 D,连 PD,那么图中直角三角形的个数是 6.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点. (1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.
P H N
P

A B D

?
C

D A B

C

M

7.已知:点 O 是 ?ABC 的垂心, PO ? 平面ABC ,垂足为 O ,求证: PA ? BC .
_ P

_ A

_ O _ B

C
_ _ D

S
8.如图,已知 ABCD 是矩形,SA⊥平面 ABCD,E 是 SC 上一点. 求证:BE 不可能垂直于平面 SCD.

E D C B

A

8.如下图,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,侧棱 PA⊥底

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面 ABCD,侧面 PBC 内有 BE⊥PC 于 E,且 BE=

6 a,试在 AB 上找一点 F,使 EF∥平面 PAD 3

9.在三棱锥 P-ABC 中,三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,H 是△ABC 的垂心 求证: (1) PH?底面 ABC (2)△ABC 是锐角三角形.

P

A H B E

C

10.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. ( 1 ) 求证:AC⊥BC1; (2) 求证:AC1∥平面 CDB1; C B (3) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. 1 1 A
1

C A D

B


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