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2017年全国高中联合竞赛竞赛一试(A卷)数学试题 Word版 含答案

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2017 年全国数学联合竞赛一试(A 卷) 试 题 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对任意实数 x 有 f ( x ? 3) ? ? f ( x ? 4) ? ?1 .又当 0 ? x ? 7 时, f ( x) ? log2 (9 ? x) ,则 f (?100) 的值为________. 2.若实数 x , y 满足 x 2 ? 2 cos y ? 1 ,则 x ? cos y 的取值范围是________. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的方程为 x2 y2 ? ? 1 , F 为 C 的上焦点, A 为 C 的 9 10 右顶点, P 是 C 上位于第一象限内的动点,则四边形 OAPF 的面积的最大值为________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过 1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数 是________. 5.正三棱锥 P ? ABC 中, AB ? 1,AP ? 2 ,过 AB 的平面 ? 将其体积平分,则棱 PC 与平 面 ? 所成角的余弦值为________. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K ? ?x, y ? x, y ? ?1,0,1 ,在 K 中随机取出三个点,则 这三点中存在两点之间距离为 5 的概率为________. 7.在 ?ABC 中, M 是边 BC 的中点, N 是线段 BM 的中点.若 ?A ? ? ? π ,?ABC 的面积为 3 3 ,则 AM ? AN 的最小值为________. 8.设两个严格递增的正整数数列 ?an ?, ?bn ?满足: a10 ? b10 ? 2017,对任意正整数 n ,有 an?2 ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ,则 a1 ? b1 的所有可能值为________. 二、解答题 (本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.) 2 9. 设 k , m 为实数,不等式 x ? kx ? m ? 1 对所有 x ? ?a, b? 成立.证明: b ? a ? 2 2 . 10.设 x1 , x2 , x3 是非负实数,满足 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求 ?x1 ? 3x2 ? 5 x3 ?? x1 ? 值和最大值. ? ? x2 x3 ? ? ? 的最小 3 5? 2 2 11.设复数 z1 , z 2 满足 Re(z1 ) ? 0, Re(z2 ) ? 0 ,且 Re( z1 ) ? Re( z2 ) ? 2 (其中 Re(z ) 表示复 数 z 的实部). (1)求 Re( z1 z2 ) 的最小值; (2)求 z1 ? 2 ? z2 ? 2 ? z1 ? z2 的最小值. 2017 年全国数学联合竞赛一试(A 卷) 答 一、填空题 1.答案: ? 案 1 . 2 解:由条件知, f ( x ? 14) ? ? 1 ? f ( x) ,所以 f ( x ? 7) f (?100_ ? f (?100? 14? 7) ? f (?2) ? ? 1 1 1 ?? ?? . f (5) log2 4 2 2.答案: ? 1, 3 ? 1 . 解:由于 x 2 ?1 ? 2 cos y ? ??1,3? ,故 x ? ? 3, 3 ; 由 cos y ? 1? x2 1? x2 1 ? ( x ? 1) 2 ? 1 .因此当 x ? ?1 时, 可

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