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等差数列定义

时间:2011-05-15


复习回顾

数列的定义
按一定次序排成的一列数叫做 数列。 数列。 一般写成a 一般写成 1,a2,a3,…,an,…,简记 , 为{an}。 。

通项公式
如果数列{ 的第n项 如果数列{an}的第 项an与n的关 的关 系可以用一个公式来表示, 系可以用一个公式来表示,那么这 个公式就叫做这个数列的通项公式 通项公式。 个公式就叫做这个数列的通项公式。

递推公式
如果已知数列{a 的第 的第1项 如果已知数列 n}的第 项(或前几 ),且任一项 与它的前一项a 且任一项a 项),且任一项 n与它的前一项 n或前几项) 1(或前几项)间的关系可以用一个公 式来表示, 式来表示,那么这个公式叫做这个数 列的递推公式 递推公式。 列的递推公式。

10,15, ① 0,5,10,15,20 53,58, ② 48 ,53,58,63

请同学们思 考,这四个 数列有何共 同特点?

③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5 18,15.5,13,10.5, 10072,10144,10216,10288, ④ 10072,10144,10216,10288,10360

等差数列的定义
? 一般地,如果一个数列{an},从第2项起每 一般地,如果一个数列 从第2 从第 一项与它的前一项的差等于同一个常数, 一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列, 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数 叫做等差数列的公差。 叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 表示。 定义的符号表示是: 定义的符号表示是:

an - an-1=d(n≥2,n∈N*),

an+1-an=d(n∈N*) *
这就是数列的递推公式。 这就是数列的递推公式。

练 习 一

判断下列各组数列中哪些是等差数列, 判断下列各组数列中哪些是等差数列, 哪些不是?如果是, 和公差d, 哪些不是?如果是,写出首项a1和公差d, 如果不是,说明理由。 如果不是,说明理由。 (1)1,3,5,7,… 是 ) , , , , (2)9,6,3,0,-3… 是 ) , , , ,
a1=1,d=2 a1=9,d=-3

(3)-8,-6,-4,-2,… 是 a1=-8,d=2 ) , , , , (4)3,3,3,3,… 是 ) , , , ,
a1=3,d=0

1 1 1 1 ( 5 )1, , , , , K 2 3 4 5
(6)15,12,10,8,6,… ) , , , , ,

不是

不是

通 项 公 式 的 推 导1 设等差数列{ 的首项是a 公差是d, d,则 设等差数列{an}的首项是 1,公差是d,则 a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d 迭代法 an=a1+(n-1)d +(n所以等差数列的通项公式是: 所以等差数列的通项公式是:

an=a1+(n-1)d(n∈N*) ( ∈

通 项 公 式 的 推 导2

累加法

a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d, … an-an-1=d

(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3) +…+(an-an-1)=(n-1)d

∴an-a1=(n-1)d
即an=a1+(n-1)d

例题

求等差数列8 例1 (1)求等差数列8,5,2,…的 20项 第20项; 判断-401是不是等差数列 (2)判断-401是不是等差数列 – 5,- ,-13…的项 如果是, 的项? 5,-9 ,-13…的项?如果是,是第几 如果不是,说明理由。 项,如果不是,说明理由。

练习二

(1)求等差数列3,7,11…的第4项与 求等差数列3,7,11…的第4 3,7,11…的第 10项 第10项; 判断100是不是等差数列`2 100是不是等差数列`2, (2)判断100是不是等差数列`2,9, 16, 的项?如果是,是第几项, 16,…的项?如果是,是第几项, 如果不是,说明理由。 如果不是,说明理由。

例题

在等差数列{ 例2 在等差数列{an}中,已知 a5=10, 12=31,求首项 1与公差d . =10,a =31,求首项a 与公差d 求首项

解:由题意得:?a5 = a1 + 4d =10 由题意得:

解之得: 解之得: a = ? 2 ? 1 ? ? d = 3 这个数列的首项a ∴这个数列的首项 1是-2,公差 =3. ,公差d

? ?a12 = a1 +11d = 31

练习三

已知等差数列{a 中 已知等差数列 n}中,a4=10,a7=19,求 求 a1和d.

? 解:依题意得: a 依题意得:

? ? a1 + 6 d = 1 9

1

+ 3d = 10

? a1 = 1 解之得: 解之得: ? ? d = 3
∴这个数列的首项是1,公差是 。 这个数列的首项是 ,公差是3。

思考:已知数列中任意两项, 思考:已知数列中任意两项, 可求出首项和公差, 可求出首项和公差,主要是联 立二元一次方程组。 立二元一次方程组。这种题型 有简便方法吗? 有简便方法吗? 请同学们思考并做以下练习。 请同学们思考并做以下练习。

思考练习 =9,a 1、已知等差数列{an}中,a3=9, 9=3, 已知等差数列{ 求a12,a3n. 2、已知等差数列{an}中,am、公差 、已知等差数列 公差d 中 是常数,试求出a 的值。 是常数,试求出 n的值。

所以等差数列的通项公式是: 所以等差数列的通项公式是: an=a1
变形
*) +(n-1)d(n∈N ( ∈

an=am +(n-m)d(n,m∈N*)

课时小结 ? 等差数列的定义: 等差数列的定义: ? an+1-an=d(n≥1且n∈N*); 且 ∈ ; ? 等差数列的通项公式 ? an=a1+(n-1)d( n≥1) . ? 重要关系式 ? an=am+(n-m)d


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