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2012年丰台初三数学期末试题附答案

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丰台区 2011-2012 学年度第一学期期末练习 初 三 数 学
一、选择题 1.已知 2 x = 3 y ( xy ≠ 0) ,则下列比例式成立的是

A.

x 3 = 2 y

B.

x y = 3 2

C.

x 2 = y 3

D.

y 3 = x 2

2.二次函数 y = ( x + 1) ? 2 的最小值是
2

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 3cm 和 5cm,若 O1O2=8cm,则⊙O1 和⊙O2 的位置关系是? C.内切 D.内含?? A.外切 B.相交 4.若 △ ABC ∽△DEF ,相似比为 1∶2,且△ABC 的面积为 4,则△DEF 的面积为 A.16 B.8 C.4 D.2

5.将∴α 放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则 tanα 的值是

α
A.

1 2

B.2

C.

5 2

D.

2 5 5
A

C E O
y P M O N x

6.如图,⊙O 的半径为 5,AB 为弦,半径 OC⊥AB,垂足为点 E,若 CE=2,则 AB 的长是 A.4 B.6 C.8 D.10

B

7. 如图, 若点 P 在反比例函数 y =

k (k ≠ 0) 的图象上, 过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M , x PN⊥y 轴于点 N,若矩形 PMON 的面积为 6,则 k 的值是
A.-3 B. B.3 C.-6 D.6

8.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4cm,AD=2cm,动点 M 自点 A 出发沿 A→B 的方向,以每秒 1cm 的速度运动, 同时动点 N 自点 A 出发沿 A→D→C 的方向以每秒 2cm 的速度运动,当点 N 到达点 C 时,两点同时停止运 动,设运动时间为 x(秒) ,△AMN 的面积为 y(cm2) ,则下列图象中能反映 y 与 x 之间的函数关系的是
y 3 2 1 –1 O –1 1 2 3 x

y 3 2 1 –1 O –1 1 2 3 x

y 3 2 1 –1 O –1 1 2 3 x

y 3 2 1 –1 O –1 1 2 3 x

D N

C

A

M

B

二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)

1

9.在 Rt△ABC 中,∴C=90°,若 sinA=

3 ,则∴A=__________. 2
D B

A

10. 如图, 在△ABC 中, D、 分别在 AB、 边上, DE∥BC, AD∶DB=3∶2, 点 E AC 且 若 AE=6,则 EC 的长等于 . cm .

E C
D

11.若扇形的圆心角为 60°,它的半径为 3cm,则这个扇形的弧长是

12.如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,∠ABC=20°,点 D 是弧 CAB 上 一点,若∠ABC=20°,则∠D 的度数是______. 13.已知二次函数 y=ax +bx+c,若 x 与 y 的部分对应值如下表: x y 则当 x=4 时,y= 0 -5 . 1 -8 2 -9 3 -8
2

A O C B

14.我们定义:“四个顶点都在三角形边上的正方形是三 角形的内接正方形” . 已知:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=3.
(1)如图 1,四边形 CDEF 是△ABC 的内接正方形,则正 方形 CDEF 的边长 a1 是 ;

B F C D E

B F I A C D E H G A

(2)如图 2,四边形 DGHI 是(1)中△EDA 的内接正方形,

图1

图2

则第 2 个正方形 DGHI 的边长 a2= 以此类推,则第 n 个内接正方形的边长 an= 三、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 解答题( 15.计算:2cos30°+sin45°-tan60°. 16.已知二次函数 y = x 2 ? 2 x ? 3 .

; 继续在图 2 中的△HGA 中按上述方法作第 3 个内接正方形; … . 为正整数) (n

(1)求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标; (2)求出这个函数图象与 x 轴、y 轴的交点坐标.

17.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∴ABC=90°,联结 BD,过点 C 作 CE⊥BD 于交 AB 于点 E,垂足 为点 H,若 AD=2,AB=4,求 sin∴BCE.

A E H

D

2

B

C

18.已知:在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y = x 绕点 O 顺时针旋转 90°得到直线 l,反比例函数 y = 象与直线 l 的一个交点为 A(a,2),试确定反比例函数的解析式.
y 4 3 2 1 1 2 3

k 的图 x

y=x

–4 –3 –2 –1O –1 –2 –3 –4 解答题( 、 四、解答题(本题共 22 分,第 19、 22 题每小题 5 分,第 21、 22 题每小题 6 分) 、

x

19. 如图, 天空中有一个静止的热气球 A, 从地面点 B 测得 A 的仰角为 30°, 从地面点 C 测得 A 的仰角为 60°. 已 知 BC=50m,点 A 和直线 BC 在同一垂直平面上,求热气球离地面的高度.

A

30°

60°

20.如图,在 Rt△ABC 中,∴C=90°,AD 是∴BAC 的平分线,以 AB 上一点 O 为圆心,AD 为弦作⊙O. A (1)求证:BC 为⊙O 的切线; (2)若 AC= 6,tanB=

B

C

3 ,求⊙O 的半径. 4

O

B
21.某工厂设计了一款产品,成本为每件 20 元.投放市场进行试销,得到如下数据: 售价 x (元?件) 日销售量 y (件) …… …… 30 500 40 400 50 300 60 200

D

C

…… ……

(1)若日销售量 y (件)是售价 x (元∕件)的一次函数,求这个一次函数的解析式; (2)设这个工厂试销该产品每天获得的利润为 W(元) ,当售价定为每件多少元时,工厂每天获得的利润最大? 最大利润是多少元?

22.小明喜欢研究问题,他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点 O 处,两条直角边与抛物线

3

y = ax 2 (a < 0) 交于 A 、 B 两点.
(1)如图 1,当 OA = OB = 2 时,则 a = 测得 OC = 1 ,求出此时点 A 的坐标; (3)对于同一条抛物线,当小明将三角板绕点 O 旋转任意角度时,他惊奇地发现,若三角板的两条直角边 与抛物线有交点,则线段 A B 总经过一个定点,请直接写出该定点的坐标.
y



(2)对同一条抛物线,当小明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示的位置时,过点 B 作 BC ⊥ x 轴于点 C ,

y

O A B

x

O

C B

x

A

图1

图2

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 解答题(

、 23.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = mx 2 + nx ? 2 与直线 y=x-1 交于 A(-1,a) B(b,0)两点,与 y
轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)求△ABC 的面积; (3)点 P (t,0) 是 x 轴上的一个动点.过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 M,交抛物线于点 N.当点 M 位 于点 N 的上方时,直接写出 t 的取值范围.

4

y 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 x

24.在 Rt△ABC 中,∴ACB=90 o ,AC=BC,CD⊥AB 于点 D,点 E 为 AC 边上一点,联结 BE 交 CD 于点 F,过 点 E 作 EG⊥BE 交 AB 于点 G, (1) 如图 1,当点 E 为 AC 中点时,线段 EF 与 EG 的数量关系是 (2) 如图 2,当



CE 1 = ,探究线段 EF 与 EG 的数量关系并且证明; AE 2 CE 1 (3) 如图 3,当 = ,线段 EF 与 EG 的数量关系是 . AE n

图1

图2
2

图3

25.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C1: y1 = ? x + 2 x. (1)将抛物线 C1 先向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,得到抛物线 C2,求抛物线 C2 的顶点 P 的坐 标及它的解析式. (2)如果 x 轴上有一动点 M,那么在两条抛物线 C1、C2 上是否存在点 N,使得以点 O、P、M、N 为顶点的 四边形是平行四边形(OP 为一边)?若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. y 3 2 1 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5
5

1

2 3

4

5

6

7 8

x

丰台区 2011—2012 学年度第一学期期末练习

初三数学试题答案及评分参考
一、选择题(本题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分) 选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 A 5 B 6 C 7 C 8 D

二、填空题(本题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 填空题 题 号 答 案 9 60° 10 4 11 π 12 13 70° 2 14

?5

4 3

2n 3 n ?1

三、解答题(共 20 分,每小题 5 分) 解答题 15.解:原式= 2 × 3 + 2 ? 3
2 2

------3 分

= 3+

2 ? 3 ------4 分 2

=

2 ------5 分 2

16.解: (1)∵ y = x 2 ? 2 x ? 3 = ( x ? 1) 2 ? 4 , ∴对称轴是 x = 1 ,顶点坐标是(1, ? 4 ) .------2 分 (2)令 y=0,则 x ? 2 x ? 3 = 0 ,解得 x1 = ?1 , x2 = 3 ;
2

令 x=0,则 y = ?3 . ∴图象与 x 轴交点坐标是(-1,0)、(3,0),与 y 轴的交点坐标是 (0,?3) . ------5 分

6

17.解:∵CE⊥BD,∴∴1+∴3=90°. ∵∴ABC=90°,∴∴2+∴3=90°,∴∴1=∴2.------1 分 ∵AD∥BC,∴ABC=90°,∴∴A=90°. 在 Rt△ABD 中,AD=2,AB=4, 由勾股定理得,BD= 2 5 . ------2 分 ∴sin∴2= AD = 2 = 5 .------4 分 BD 2 5 5 ∴sin∴BCE =
B A E
2 H 3 1

D

C

5 .------5 分 5

18.解:根据题意,直线 l 的解析式为 y = ? x .------1 分 ∵反比例函数 y =

k 的图象与直线 l 交点为 A(a,2),∴ ? a = 2 . ∴ a = ?2 . x
------4 分

------2 分

∴A(-2,2). ------3 分 ∴2 =

k . ∴ k = ?4 . ?2

∴反比例函数的解析式为 y = ? 4 .------5 分 x 19.解:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,∴∴ADC=90°.------1 分 ∵∴B=30°,∴ACD=60°,∴∴1=30°.------2 分 ∴∴1=∴B, ∴CA=CB=50.------3 分 在 Rt△ACD 中,sin∴ACD=
1

A

AD ,------4 分 AC

30°

60°

B

C

D

∴ 3 = AD , AD = 25 3 . 2 50 答: 热气球离地面的高度是 25 3 米. ------5 分

20. (1)证明:联结 OD,∵AD 是∴BAC 的平分线,∴∴1=∴2. ∵OA=OD,∴∴1=∴3.∴∴2=∴3.∴OD∥AC.------1 分
O A 12 3

∴∴C=∴ODB =90°, 即 OD ⊥BC.------2 分 又点 D 在⊙O 上,∴BC 为⊙O 的切线.------3 分 (2)解:∵∴C=90°,tanB=
B D

C

3 AC 3 ,∴ = .∵AC=6,∴BC=8.------4 分 4 BC 4

在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,AB=10. 设⊙O 的半径为 r,则 OD=OA= r,OB=10-r . ∵OD∥AC,∴△BOD∽△BAC.------5 分 ∴

15 r 10 ? r OD OB 15 ,即 = ,解得 r = . 所以,⊙O 的半径为 .------6 分 = 4 AC AB 6 10 4
7

? 30 k + b = 500 , 21.解: (1)设 y=kx+b(k≠0).∴ ? ? 40 k + b = 400 .
? k = ? 10 , ------2 分 解得 ? ? b = 800 .

------1 分

(2) W = y ( x ? 20) = ( x ? 20)( ?10 x + 800) ------4 分

∴y= ? 10 x + 800 .------3 分

= ?10( x ? 50) 2 + 9000 .------5 分
∴当售价定为 50 元时,工艺厂每天获得的利润 W 最大,最大利润是 9000 元.------6 分 22.解: (1) a = ?

2 .------1 分 2
2 2 x . 2

(2)由(1)可知抛物线的解析式为 y = ? ∵OC=1, ∴yB= ? 2 ,
2

∴B(1, ? 2 ) .------2 分
2
y

过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D, 又 BC⊥x 轴于点 C, ∴∴ADO=∴BCO =90°. ∴∴1+∴2 =90°. ∵AO⊥OB,∴∴1+∴3 =90°.∴∴2=∴3. ∴△DAO∽△COB.∴ OD = AD . ------3 分 BC OC 设点 A 坐标为( x,?
2

D
1O 3

C B

x

A

2 2 ,则 OD=-x,AD= 2 x 2 . x ) 2 2

2 2 x , 解得 x=-2, ∴yA= ? 2 2 , ∴ ?x = 2 1 2 2

故点 A 的坐标为(-2, ? 2 2 ).------4 分 (3)定点坐标是(0, ? 2 ) .------5 分

23.解: (1)∵抛物线与直线交于点 A、B 两点,∴ ? 1 ? 1 = a , b ? 1 = 0 .∴ a = ?2 , b = 1 . ∴A(-1,-2) B(1,0) , .------2 分

?m ? n ? 2 = ?2, ∴? ?m + n ? 2 = 0 .

m = 1, 解得 ? ? ? n = 1.

2 ∴抛物线的解析式为 y = x + x ? 2 .------4 分

8

(2)点 A(-1,-2) ,点 C(0, ? 2 ) ,∴AC∥x 轴,AC=1.------5 分 过点 B 作 AC 的垂线,垂足为点 D,则 BD=2. ∴S△ABC=

1 1 AC ? BD = × 1 × 2 = 1 .------ 6 分 2 2

(3) ? 1 <t< 1 .------7 分

24.解: (1) EF=EG ; (2)
EF 1 ; = EG 2

------1 分 ------2 分
E
23 1

C M F D B

证明:过点 E 作 EM⊥CD 于点 M,作 EN⊥AB 于点 N, ------3 分
A G N

∴∴ENA=∴CME=∴EMF=90 o . ∵CD⊥AB 于点 D ,∴∴CDA=90°. ∴EM∥AD.∴A=∴CEM. ∴△EMC ∽△ANE. ∴

CE EM = . AE AN

------4 分

∵EM∥AD,∴∴NEM=90 o .即∴2+∴3=90°. ∵ EG⊥BE ,∴∴3+∴2=90 o ,∴∴1=∴2. ∴△EFM ∽△EGN. ∴

EF EM = . ------5 分 EG EN
EN =1, ∴AN=EN. AN

∵∴ACB=90 o ,AC=BC ,∴∴A=45 o , ∴tan∴A= ∴ (3)

EF EM = , EG AN
EF 1 . = EG n



CE 1 = , AE 2



EF 1 = . ------6 分 EG 2

------7 分

25.解:(1) ∵ y1 = ? x 2 + 2 x = ?( x ? 1) 2 + 1 ,------1 分 ∴抛物线 C1 的顶点坐标是(1,1) , ∴平移后的抛物线 C2 顶点 P(3,2) .------2 分 ∴ y 2 = ?( x ? 3) 2 + 2 . (或者 y 2 = ? x 2 + 6 x ? 7 )------3 分 (2) 存在点 N(x,y)满足条件.------ 4 分 ∵以点 O、P、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,∴ y P = ? y N ,∴ y N = ?2 . 当点 N 在 C1 上时, y1 = ?2 ,即 ? ( x ? 1) 2 + 1 = ?2 ,解得 x = 1 ± 3 ; ∴N1(1 + 3,?2 ), N2( 1 ? 3 ,?2 );
9

当点 N 在 C2 上时, y 2 = ?2 ,即 ? ( x ? 3) + 2 = ?2 ,解得 x3 = 5,x4 = 1 ;
2

∴N3( 5,?2 ), N4( 1,?2 ) . ∴满足条件的点 N 有 4 个,分别是 N1(1 + 3,?2 ) 2(1 ? 3 ,?2 ) 3( 5,?2 ) 4( 1,?2 ) 、N 、N 、N .
------ 8 分 (说明: 每求出一个点 N 的坐标得 1 分)

10


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