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高二数学 第三章 导数及其应用B组测试题 新人教A版选修1-1

时间:2011-06-18


(数学选修 1-1)第三章 导数及其应用 [综合训练 B 组] 一、选择题
1.函数 y = x - 3 x - 9 x (- 2 < x < 2)有( A.极大值 5 ,极小值 ?27 B.极大值 5 ,极小值 ?11 C.极大值 5 ,无极小值 D.极小值 ?27 ,无极大值 2.若 f ( x0 ) = ?3 ,则 lim
'

3

2



h →0

A. ?3 C. ?9

B. ?6 D. ?12

f ( x0 + h) ? f ( x0 ? 3h) =( h



3.曲线 f ( x) = x 3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 ,则 p0 点的坐标为 ( ) A. (1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4) B. (2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4)

4. f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x ) , g ( x ) 满足 f ' ( x ) = g ' ( x ) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A. f ( x ) = g ( x ) C. f ( x ) = g ( x ) = 0 5.函数 y = 4 x +
2

) B. f ( x ) ? g ( x ) 为常数函数 D. f ( x ) + g ( x ) 为常数函数 )

1 单调递增区间是( x
B. (?∞,1)
用心

A. (0,+∞)

C. ( ,+∞)
爱心 专心

1 2

D. (1,+∞)
-1-

6.函数 y = A. e
?1

ln x 的最大值为( x
B. e

) C. e
2

D.

10 3

二、填空题
1.函数 y = x + 2 cos x 在区间 [0,
3

π
2

] 上的最大值是



2. 函数 f ( x) = x + 4 x + 5 的图像在 x = 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________。 3.函数 y= x ?x 的单调增区间为 ___________________。
2 3
3 2

,单调减区间为

4 . 若 f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a > 0) 在 R 增 函 数 , 则 a, b, c 的 关 系 式 为 是 。

5.函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + a 2 , 在 x = 1 时有极值 10 ,那么 a, b 的值分别为________。 三、解答题 1. 已知曲线 y = x 2 ? 1 与 y = 1 + x 3 在 x = x 0 处的切线互相垂直,求 x 0 的值。

2.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

3. 已知 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 的图象经过点 (0,1) , 且在 x = 1 处的切线方程是 y = x ? 2 (1)求 y = f ( x ) 的解析式; (2)求 y = f ( x ) 的单调递增区间。

4.平面向量 a = ( 3, ?1), b = ( ,

r

r

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

r r r r r r r r x = a + (t 2 ? 3)b , y = ? ka + tb , 且 x ⊥ y ,试确定函数 k = f (t ) 的单调区间。
用心 爱心 专心 -2-

(数学选修 1-1)第三章
一、选择题 1.C
y' < 0

导数及其应用

[综合训练 B 组]答案

y ' = 3 x 2 ? 6 x ? 9 = 0, x = ?1, 得x = 3 ,当 x < ?1 时, y ' > 0 ;当 x > ?1 时,

当 x = ?1 时, y极大值 = 5 ; x 取不到 3 ,无极小值 2.D 3.C
lim
h →0

f ( x0 + h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 + h) ? f ( x0 ? 3h) = 4 lim = 4 f ' ( x0 ) = ?12 h →0 h 4h

设切点为 P0 (a, b) , f ' ( x) = 3 x 2 + 1, k = f ' (a ) = 3a 2 + 1 = 4, a = ±1 ,

把 a = ?1 , 代入到 f ( x) = x 3 + x - 2 得 b = ?4 ; a = 1 , 把 代入到 f ( x) = x 3 + x - 2 得 b = 0 ,所以 P0 (1, 0) 和 (?1, ?4) 4.B 5.C
f ( x) , g ( x) 的常数项可以任意 1 8 x3 ? 1 1 令 y = 8x ? 2 = > 0, (2 x ? 1)(4 x 2 + 2 x + 1) > 0, x > 2 x x 2
'

6.A

令 y' =

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x = = 0, x = e ,当 x > e 时, y ' < 0 ;当 x < e 2 2 x x 1 ,在定义域内只有一个极值,所以 e

时, y ' > 0 , y极大值 = f (e) =
ymax = 1 e

二、填空题 1.

π
6

+ 3 6 + 3

y ' = 1 ? 2sin x = 0, x =

π
6

, 比 较 0,

π π

ymax =

π

, 处的函数值,得 6 2

2. ?

3 7

f ' ( x) = 3 x 2 + 4, f ' (1) = 7, f (1) = 10, y ? 10 = 7( x ? 1), y = 0时, x = ? y ' = ?3 x 2 + 2 x = 0, x = 0, 或x =
用心 爱心 专心

3 7

2 2 3. (0, ) (?∞, 0), ( , +∞) 3 3

2 3
-3-

4. a > 0, 且b 2 ≤ 3ac

f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 恒成立,

?a > 0 则? , a > 0, 且b 2 < 3ac 2 ?? = 4b ? 12ac < 0
5. 4, ?11 f ' ( x) = 3 x 2 + 2ax + b, f ' (1) = 2a + b + 3 = 0, f (1) = a 2 + a + b + 1 = 10

? 2 a + b = ?3 ? a = ?3 ?a = 4 ,? ,或 ? ,当 a = ?3 时, x = 1 不是极值点 ? 2 ?b = ?11 ?a + a + b = 9 ?b = 3
三、解答题 1.解: y ' = 2 x, k1 = y ' |x = x0 = 2 x0 ; y ' = 3x 2 , k2 = y ' |x = x0 = 3x0 2
k1k2 = ?1, 6 x03 = ?1, x0 = ?
3

36 。 6

2.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2x ,宽为 5 ? 2x
V = (8 ? 2 x)(5 ? 2 x) x = 4 x3 ? 26 x 2 + 40 x
V ' = 12 x 2 ? 52 x + 40, 令V ' = 0, 得x = 1, 或x = 10 10 , x = (舍去) 3 3

V极大值 = V (1) = 18 ,在定义域内仅有一个极大值, ∴V最大值 = 18

3.解: (1) f ( x) = ax 4 + bx 2 + c 的图象经过点 (0,1) ,则 c = 1 ,
f ' ( x) = 4ax3 + 2bx, k = f ' (1) = 4a + 2b = 1,

切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) = ax 4 + bx 2 + c 的图象经过点 (1, ?1)
5 9 得 a + b + c = ?1, 得a = , b = ? 2 2 5 4 9 2 f ( x) = x ? x + 1 2 2

(2) f ' ( x) = 10 x3 ? 9 x > 0, ?

3 10 3 10 < x < 0, 或x > 10 10
爱心 专心 -4-

用心

单调递增区间为 (?

3 10 3 10 , 0), ( , +∞) 10 10

r 1 3 r r r r r 4.解:由 a = ( 3, ?1), b = ( , ) 得 a b = 0, a = 2, b = 1 2 2
r r r r r r r r r r [a + (t 2 ? 3)b ] (? ka + tb ) = 0, ? ka 2 + ta b ? k (t 2 ? 3)a b + t (t 2 ? 3)b 2 = 0

?4k + t 3 ? 3t = 0, k =

1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) = (t 3 ? 3t ) 4 4 3 3 3 3 f ' (t ) = t 2 ? > 0, 得t < ?1, 或t > 1; t 2 ? < 0, 得 ? 1 < t < 1 4 4 4 4

所以增区间为 (?∞, ?1), (1, +∞) ;减区间为 (?1,1) 。

用心

爱心

专心

-5-


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