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运用几何画板对一道中考题进行探究与推广

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 运用几何画板对一道中考题进行探究与推广 作者:吴舒昊 来源:《中学教学参考· 理科版》2014 年第 12 期 中考试题是初中知识的“大杂烩”,它涵盖了初中阶段所学的各种知识,是对学生的知识与 能力的全面考查.纵观中考数学试题中的后几道大题,很多时候都需要综合运用各种知识,有 时甚至还要用到一些特别的技巧,才能把题目解答出来.而 2013 年广东省广州市中考数学试题 第 24 题就是综合考查圆、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等几何图形的相 关知识,还涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等.它既考查 了学生对知识的综合运用能力,也考查了学生对问题的分析、转化和推理能力.借助几何画板 对这道题进行深入的探究,能进一步挖掘题目的内在本质,从中发现极富趣味的规律,再进一 步进行推广,则能达到“举一反三”的效果. 一、原题及其解答思路 二、运用几何画板对原题进行探究 原题中,C 点的运动限制在 AB 的延长线上,而且 C 点与 B 点不重合.现在,作者去掉这 两个条件,改为:C 点在 AB 所在的直线上运动.下面运用几何画板对题目进行深入的探究.虽 然原题中 C 点在 AB 的延长线上运动,D 点在圆 O 上运动,但是 CD 始终与圆的半径 OA 相 等,即 CD 的长度一直保持不变,那么在几何画板中,可以画出以 C 点为圆心、CD 为半径的 圆,而 D 点则是圆 C 与圆 O 的交点;此时,D 点的运动随 C 点的运动的变化而变化,但是保 持 CD 的长度等于 OA 的长度,所以,这种做法并不偏离题目的本意.因为原题只是规 图 4 定 D 点在圆 O 上运动,并没有规定它一定是在直线 AC 的上方,那么从图 4 中可以看 出,在直线 AC 的下方还有一个点 D′,满足条件 CD′=OA,这个点与 D 点关于直线 AC 对称. 1.C 点在线段 AB 由 A 到 B 方向的延长线上 从题目的设问中,大家可以发现 D 点在运动过程中有三个关键位置:D 点为圆 O 的切 点、D 点是 CE 的中点以及 OD 与 EA 平行. (1)D 点为圆 O 的切点.由原题中的第一小问可知:当 OC=22 时,CD 是圆 O 的切线.如 图 4,由对称的性质得:CD′也是圆 O 的切线,且∠OD′C=∠ODC=90° .又因为两个圆的半径相 等,所以有 OD=OD′=CD=CD′,则四边形 ODCD′为菱形.在菱形 ODCD′中,因为 ∠OD′C=∠ODC=90° ,所以∠DOD′=∠DCD′= 90° .所以,菱形 ODCD′是一个正方形. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn (2)D 点是 CE 的中点.如图 5,当 D 点是 CE 的中点时,DE=CD=OD=OE=OA,则 △ OED 为等边三角形,△ OEA、△ DOC 为等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60° , ∠6=∠7=12∠4=30° .所以,∠5+∠6=90° ,则△ OEA 为等腰直角三角形,△ OEC 为直角三角形. 根据对称的性质,D 点关于直线 AC 的对称点 D′也是 CE′的中点,则 EE′=CE=CE′=2CD, 所以△ CEE′是一个等边三角形. (3)OD 与 EA 平行.如图 6,当 OD∥EA 时,∠2=∠5,∠1=∠6.又因为 OA=OE=OD=CD,所以△ OEA、△ DOC 为等腰三角形,则有:∠1=∠2,∠6=∠7.由这四个等 式,可得:∠5

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