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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程课件理_图文

时间:2017-07-21

§2.8 函数与方程

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使函数y= f(x) 的值为0的实数x叫做函数y= f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系

方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点?函数y=f(x)有
零点 .

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如 果 函 数 y = f(x) 在 区 间 [a , b] 上 的 图 象 是 一 条 不 间 断 的 曲 线 , 且
有 f(a)· f(b)<0 ,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 上有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是方程f(x)=0的根. 2.二分法

f(b)<0 的函数 y = f(x) ,通过不断地 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·
把函数 f ( x ) 的零点所在的区间 一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近 零点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数y=ax2+ Δ=0 Δ<0

bx+c(a>0)的图象

与x轴的交点

(x1,0),(x2,0) ______________ 2 ___

(x1,0) _______ 1 ___

无交点 0 ___

零点个数

知识拓展 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2) 函 数 y = f(x) 在 区 间 (a , b) 内 有 零 点 ( 函 数 图 象 连 续 不 断 ) , 则 f(a)· f(b)<0.( × )

(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × )
(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( √ )

(5)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)· f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有
一个零点.( √ )

考点自测

1.(教材改编)函数f(x)= x -(
答案 解析

1 2

1 x ) 的零点个数为 1 . 2

1 f(x)是增函数,又f(0)=-1,f(1)= , 2 ∴f(0)f(1)<0,∴f(x)有且只有一个零点.

2.(教材改编)已知f(x)=ax2+bx+c的零点为1,3,则函数y=ax2+bx+c的 对称轴是 x=2 .
答案 解析

∵y=a(x-1)(x-3)=a(x-2)2-a,
∴对称轴为x=2.

1 1 3.(2016· 长春检测)函数 f(x)=2ln x+x-x -2 的零点所在的区间是 1 ①(e ,1);
答案 解析

③ .

②(1,2);

③(2,e);

④(e,3).

1 1 1 1 1 1 因为 f( e)=-2+ e-e-2<0, f(1)=-2<0, f(2)=2ln 2-2<0, f(e)=2+ 1 e- e-2>0,
1 1 所以 f(2)f(e)<0,所以函数 f(x)=2ln x+x-x-2 的零点所在区间是(2,e).

4.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值 范围是
?1 ? ? ? ? ,1? ?3 ?

.

答案

解析

∵函数f(x)的图象为直线,由题意可得 f(-1)f(1)<0,

1 ∴(-3a+1)· (1-a)<0,解得 <a<1, 3
∴实数a的取值范围是
?1 ? ? ? , 1 ? ? ?3 ?

.

5.(教材改编)已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上 有零点,则实数a的取值范围是 (-2,0) .
答案 解析

结合二次函数f(x)=x2+x+a的图象知
?a<0 ?f?0?<0 ? ,故? ,所以-2<a<0. ?f?1?>0 ?1+1+a>0

题型分类

深度剖析

题型一 函数零点的确定 命题点1 确定函数零点所在区间 例1 (1)(2016· 盐城调研)已知函数f(x)=ln 在的区间是 ③ ①(0,1); .(填序号) 答案 ②(1,2);
解析
?1? ? x-2 x- ? 的零点为x0,则x0所 ? ? ?2?

③(2,3);

④(3,4).

∵f(x)=ln

?1? ?x-2 x-? 在 (0 ,+ ∞ ) 为增函数, ? ? ?2?
?1? ?-1 1-? ? ? =ln ?2?

又 f(1)=ln
f(3)=ln

1-2<0,f(2)=ln

?1? ?0 2-? ? ? <0, ?2?

?1? ?1 3-? ? ? >0,∴x0∈(2,3). ?2?

(2)设函数y=x3与y=( 1 )x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1), 2 n∈N,则x0所在的区间是 (1,2) .
答案 解析

1 x-2 ) , 2 则f(x0)=0,易知f(x)为增函数,
令f(x)=x3-(

且f(1)<0,f(2)>0,∴x0所在的区间是(1,2).

命题点2 函数零点个数的判断

例2

2 ? x ? -2,x≤0, (1)函数f(x)= ? ? ?2x-6+ln x,x>0

的零点个数是 2 .

答案

解析

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,
则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是 4 .
答案 解析

由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.

在同一坐标系内作出函数y=f(x)及
y=log3|x|的图象,如图,

观察图象可以发现它们有4个交点,
即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.

思维升华
(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法: ①解方程法; ②零点存在性定理、结合函数的性质; ③数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数.

跟踪训练1 (1)已知函数f(x)= 6 -log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的 x 区间是 ③ .(填序号) ①(0,1); ②(1,2);

③(2,4);
答案 解析

④(4,+∞).

3 1 因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=2-log24=-2<0,
所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).

(2)(教材改编)已知函数f(x)=2x-3x,则函数f(x)的零点个数为 2 .
答案 解析

令f(x)=0,则2x=3x,
在同一平面直角坐标系中分别作出y=2x和y=3x的图象,

如图所示,由图知函数y=2x和y=3x的图象有2个交点,
所以函数f(x)的零点个数为2.

题型二 函数零点的应用 例3 (1)函数f(x)=2x- 2 -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值 x 范围是 (0,3) .
答案 解析

因为函数f(x)=2x- 2 -a在区间(1,2)上单调递增, x 又函数f(x)=2x- 2 -a的一个零点在区间(1,2)内, x 则有f(1)· f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,

即a(a-3)<0.所以0<a<3.

(2)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的 实数根,则实数a的取值范围是 (0,1)∪(9,+∞) .
答案 解析
几何画板展示

引申探究

9 (0,4) 本例(2)中,若f(x)=a恰有四个互异的实数根,则a的取值范围是 .
答案 解析

作出y1=|x2+3x|,y2=a的图象如下:
3 9 当 x=-2时,y1=4;

当x=0或x=-3时,y1=0, 由图象易知,当y1=|x2+3x|和y2=a的图象有四个交点时,0<a<

9 . 4

思维升华
已知函数零点情况求参数的步骤及方法
(1)步骤:①判断函数的单调性; ②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组); ③解不等式(组),即得参数的取值范围. (2)方法:常利用数形结合法.

跟踪训练2 (1)已知函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间(0,1)上有零点,则a的 取值范围为 (-2,0) .
答案 解析

∵-a=x2+x在(0,1)上有解,
12 1 又 y=x +x=(x+2) -4,
2

∴函数y=x2+x,x∈(0,1)的值域为(0,2),

∴0<-a<2,∴-2<a<0.

(2)(2016· 江苏前黄中学调研)若函数f(x)= |x| -kx2有4个零点,则实数k的 x-1 取值范围是 (-∞,-4) .
答案 解析
几何画板展示

题型三 二次函数的零点问题

例4

已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,

求实数a的取值范围.
解答

思维升华
解决与二次函数有关的零点问题

(1)利用一元二次方程的求根公式.
(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系. (3)利用二次函数的图象列不等式组.

跟踪训练3

(2016· 江苏泰州中学质检)关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x

+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值

21 (-∞,- 4 ) 范围是 .

答案

解析

设f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14,
? ?f?3?<0, 由题设可得? ? ?f?1?<0,

21 所以 m<- 4 .

思想与方法系列4

利用转化思想求解函数零点问题

典例

(1)若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值
几何画板展示

范围是 (1,+∞) .

(2) 若 关 于 x 的 方 程 22x + 2xa + a + 1 = 0 有 实 根 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

为 (-∞,2-2 2] . 思想方法指导

答案

解析

(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求 解参数范围.

(2)“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数y=f(x)的值域解决.

课时作业

2 ? x ? -x-1,x≥2或x≤-1, 1.(2016· 江苏东海中学期中)若函数f(x)= ? 则函数 ? ?1,-1<x<2,

g(x)=f(x)-x的零点为 1+ 2或 1 .
答案 解析

题目转化为求方程f(x)=x的根,
? ? ?x≥2或x≤-1, ?-1<x<2, 所以? 2 或? ? ? ?x -x-1=x ?1=x,

解得 x=1+ 2或 x=1,所以 g(x)的零点为 1+ 2或 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2. 若函数 f(x) = log3x + x - 3 的零点所在的区间是 (n , n + 1)(n∈Z) ,则 n = 2 .
答案 解析

由f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,

知f(x)=0的根在区间(2,3)内,
即n=2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

3.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a, b,c,则a,b,c的大小关系为 a<c<b .
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

4.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 2 .
答案 解析

(数形结合法) ∵a>0,∴a2+1>1. 而y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

2 ? x ? -1?x≤0?, 5.函数f(x)=? 的零点个数为 ? ?x-2+ln x?x>0?

2 .

答案

解析

当x≤0时,令f(x)=0,得x2-1=0,

∴x=-1,此时f(x)有一个零点;
当x>0时,令f(x)=0,得x-2+ln x=0,在同一个坐标系中画出 y=2

-x和y=ln x的图象(图略),
观察其图象可知函数y=2-x和y=ln x的图象在(0,+∞)上的交点个

数是1,所以此时函数f(x)有一个零点,所以f(x)的零点个数为2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6.已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)= [x]-a(x≠0) x
有且仅有3个零点,则实数a的取值范围是
答案 解析
?3 4? 4 3 ? ? ? , ?∪[ , ) 5? 3 2 ?4

.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

x ? ?2 -1,x≤1, 7.(2016· 徐州模拟)已知函数f(x)=? 则函数f(x)的零点 ? ?1+log2x,x>1,

为 x=0 .
答案 解析

当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;
1 当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x=2,

又因为x>1,所以此时方程无解. 综上,函数f(x)的零点只有0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3 ? x ? ,x≤a, 8.已知函数f(x)=? 2 若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个 ? ?x ,x>a.

零点,则a的取值范围是 (-∞,0)∪(1,+∞) .
答案 解析

令φ(x)=x3(x≤a),h(x)=x2(x>a),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,

即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点,
结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a),

即a<0或a3>a2,解得a<0或a>1,故a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2 ? ?x +?4a-3?x+3a,x<0, 9.(2016· 天津)已知函数f(x)=? (a>0,且a≠1)在R ? ?loga?x+1?+1,x≥0

x 上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解,则a 3 ?1 2? ? ? , ? ? 3 3 ? ? . 的取值范围是
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

*10.若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,函数g(x)=logax+x-4的
1 1 零点为n,则 + 的最小值为 1 . m n
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

11.(2016· 江苏淮阴中学期中)已知关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0
11 (2, 5 ) 的两个实根是α,β,且有1<α<2<β<3,则实数a的取值范围是 .
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

12.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的 取值范围. 解答

显然x=0不是方程x2+(m-1)x+1=0的解,
1 0<x≤2 时,方程可变形为 1-m=x+ x, 1 又∵y=x+x 在(0,1]上单调递减,[ 1,2] 上单调递增,
1 ∴y=x+x 在(0,2]上的取值范围是[2,+∞),

∴1-m≥2,∴m≤-1,故m的取值范围是(-∞,-1].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

13.已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,
求实数a的取值范围.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

*14.已知二次函数f(x)的最小值为-4, 关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1 ≤x≤3,x∈R}. (1)求函数f(x)的解析式; 解答

∵f(x)是二次函数且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},
∴设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a且a>0. 又∵a>0,f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,且f(1)=-4a, ∴f(x)min=-4a=-4,a=1. 故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

(2)求函数g(x)= f?x? -4ln x的零点个数. x
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14


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