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山东省济南市2011届高三教学质量调研数学(理工类)试题(A)

时间:2010-11-25


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高三教学质量调研 数学(理工类)试题(A)
命题人:山东省实验中学 山东师范大学附中 王学红 庄增臣

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页.共 150 分.测试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(共 60 分)
注意事项: 注意事项: 1. 此卷内容主要涉及集合与简易逻辑、函数与导数、三角函数、数列内容. 2. 此卷提供给高三第一轮复习的数学基础较好的(理工类)学生选择使用. 3. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡 上. 4. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案.不能答在测试卷上. 一、选择题:本大题共 12 个小题 每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 选择题: 个小题,每小题 在每小题给出的四个选项中, 选择题 共 在每小题给出的四个选项中 是符合题目要求的. 是符合题目要求的 1. 设 集 合 U = {?2,?1,0,1,2} , A = {1,2} , B = {?2,?1,2} , 则 A U (CU B ) 等 于 ( ) A. {1} B. {1,2} C. {2} ) B. ?x ∈ R, e x ≥ x D. ?x ∈ R, e x > x 中 , D. {0,1,2}

2. 命题“ ?x ∈ R, e x < x ”的否定是( A. ?x ∈ R, e x > x C. ?x ∈ R, e x ≥ x 3. ( ) A. 数 列

{a n }

a1 = 1, a n =

1 a n ?1

+1





a4





5 3

B.

4 3

C.1

D.

2 3

4. “ a = 1 ” 是 “ 函 数 f ( x) = x 2 ? 4ax + 3 在 区 间 [ 2,+∞) 上 为 增 函 数 ” 的 ( ) A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

5. 设 f (x ) 为奇函数,对任意 x ∈ R,均有 f ( x + 4) = f ( x ) ,若 f ( ?1) = 5 ,则 f (?3) 等
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于(

) B. 6 知 C. ? 5 , 则 D. 5

A. ? 6 6. 已

tan α = 2

cos(π + α ) cos(

π







2

+α)

(

) A. ? 7 .

1 2
已 知 等

B. ? 2 差 数 列

C.

1 2


D. 2

{a n }



a5 + a9 = 2,



S13





(

) A. 13 B. 12 C. 11 D.不确定

8. 已 知 点 P (tan α , sin α ) 在 第 二 象 限 , 则 角 ( ) A.第一象限 9. 函数 f ( x ) = B.第二象限

α 的终边所在的象限是

C.第三象限

D.第四象限 ( )

1 [(1 + 2 x )? | 1 ? 2 x |] 的图像大致为 2

10. 已 知 S n 是 非 零 数 列 {a n } 的 前 n 项 的 和 , 且 S n = 2a n ? 1 , 则 S 2010 等 于 ( ) A. 1 ? 2 2010 B. 2
2010

?1

C. 2

2011

?1

D. 2

2009

?1

11. 若 f ( x ) = ? x 2 + a ln( x + 2) 在 (?2,+∞) 上 是 减 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( ) A. [ ?2,+∞) B. (?2,+∞) C. (?∞,?2) D. ( ?∞,?2]

?a ? x 2 ? 2 x, ( x < 0) 12. 已知 f ( x) = ? , 且函数 y = f ( x) ? x 恰有 3 个不同的零点, 则实数 ? f ( x ? 1), ( x ≥ 0)
a 的取值范围是 ( )

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A. (0,+∞)

B. [?1,0)

C. [ ?1,+∞ )

D. [ ?2,+∞)

高三教学质量调研

数学(理工类)试题(A)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 注意事项: 1. 第Ⅱ卷共 6 页, 用钢笔或蓝圆珠笔直接写在试题卷中; 作图时,可用 2B 铅笔, 要字体工 整,笔迹清晰.在草稿纸上答题无效. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题号 二 17 分数 18 19 三 20 21 22 总分

得分

评卷人

个小题, 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题 填空题: 将答案填在题 中横线上. 中横线上

13. 已知函数 f ( x) = x 3 ? 3 x ,则 f ( x ) 的极大值是

. .

14. 已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a2 ? a6 = 9a4 , a2 =1,则 a1 = 15.



π
2

?π 2

(sin x + cos x)dx =



16. 对于函数 f ( x ) = sin( 2 x + ②图象关于直线 x =
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π

π
6

) + 1 给出下列结论:①图象关于点 ( ,0) 成中心对称; 6 3

π

成轴对称;③图象可由函数 y = sin 2 x + 1 的图像向左平移

π

3

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个单位得到;④图像向左平移 其中的正确结论是

π
12

个单位后得到的函数为偶函数。



个小题.共 解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 6 个小题 共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 得分 评卷人 17.(本小题满分 12 分) (

设集合 P = x ( x + 1)( x ? a ) < 0 ,集合 Q = {x | x ? 1 |< 1} . (1)若 a = 3 ,求集合 P ; (2)若 a > 0 且 P U Q = P ,求实数 a 的取值范围.

{

}

得分

评卷人 18.(本小题满分 12 分) (

在锐角△ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,已知 S ?ABC = 6 3 ,

ab = 24, a ? b = 2 ,求 c .

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得分

评卷人 19.(本小题满分 12 分) (

已知函数 f ( x ) =

3 sin x cos x + cos 2 x

(1)求函数 f (x ) 的最小正周期和单调增区间;

(2)求 f (x ) 在区间 ?0,

? π? ? 上的最小值. ? 2?

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得分

评卷人 20.(本小题满分 12 分) (

已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a 2 + a 6 = 14, S 5 = 25 . (1)求 an 及 Sn ; (2)数列 {bn } 中,令 b1 = 1 , bn =

4 ( n ≥ 2 , n ∈ N*),求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

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得分

评卷人 21.(本小题满分 12 分) (

设函数 f ( x) = ax 2 + x + 1 (1)若 a = ?1 ,求 f (x ) 在区间 [?1,3] 上的值域; (2)如果当 x ∈ (0,2] 时, f ( x ) > 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 g ( x ) = f ( x) ? (b + 1) x ? 1 ,当 a > 1, b > 0 时,证明: ?x ∈ [0,1] , g ( x) ≤ 1 的充要条 件是

a ?1 ≤ b ≤ 2 a .

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得分

评卷人 22.(本小题满分 14 分) 本小题满分

设函数 f ( x) = xekx ( k ≠ 0) , (1)求曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (3) g ( x ) = x 2 ? 2bx + 4. , k = 1 时, 设 当 若对任意 x1 ∈ R , 存在 x2 ∈ [1, 2] , f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) , 使 求实数 b 取值范围.
w.w.w.k.

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高三数学( 高三数学(理工类 A)试题参考答案(2010.11) 数学 )试题参考答案( )
一、 选择题: ⒈D 二、填空题:⒔ 2 三、解答题: 17.解: (1)当 a = 3 时, P = x ? 1 < x < 3 分 (2) a > 0 时, = x ? 1 < x < a , = {x 0 < x < 2} 当 P Q 分 因为 P U Q = P ,所以 Q ? P 所 -----------------------------------12 分 18.解:因为 S ?ABC = 分 又因为是锐角△ABC, 所以 C = 分 因 为 以 ⒉B ⒕ ⒊A ⒋B ⒌C ⒗ ④ ⒍C ⒎A ⒏B ⒐A ⒑B ⒒D ⒓C

1 ⒖ 3

2

{

} }

-----------------------------------4

{

-------------8

a≥2

1 3 ab sin C = 6 3 ,且 ab = 24 ,所以 sin C = 2 2

--------------------4

π
3



--------------------6

ab = 24, a ? b = 2







a = 6, b = 4

--------------------8 分 由 余 弦 定 理

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C = 28

--------------------10 分 所
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c=2 7
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--------------------12 分 19.解: (1)因为 f ( x ) =

3 sin x cos x + cos 2 x =

3 1 1 sin 2 x + cos 2 x + 2 2 2
-

= sin(2 x +
-------------------4 分 所 以

π
6

)+

1 2
最 小 正 周 期 为

f (x)



π



--------------------6 分 因为 2kπ ? 所 以

π
2

≤ 2x +

π
6

≤ 2kπ +


π
2

,所以 kπ ? 增 区

π
3


≤ x ≤ kπ +


π
6

f (x)





[kπ ?

π
3

, kπ +

π
6

], k ∈ Z



--------------------9 分 (2)因为 x ∈ ?0,

π ? π 7π ? ? π? ? ,所以 2 x + 6 ∈ ? 6 , 6 ? , ? 2? ? ?
--------------------12

所以 sin( 2 x + 分

π

1 ? π? ) ∈ [ ? ,1] ,所以 f (x ) 在区间 ?0, ? 上的最小值为 0 6 2 ? 2?

20. 解: (1)设等差数列 {a n } 的首项为 a1 ,公差为 d ,

由已知得 a 2 + a 6 = 2a1 + 6d = 14, S 5 = 5a1 + 10d = 25 所 --------------------3 分 所 以 以

a1 = 1, d = 2

a n = a1 + (n ? 1)d = 2n ? 1



Sn =

n(a1 + a n ) = n2 2

--------------------6 分 (2) n ≥ 2 时, n = 当 b 分

4 1 1 1 = = ? a ? 1 n(n ? 1) n ? 1 n
2 n

--------------------8

所以,Tn = b1 + b2 + L + bn = 1 + 1 ?
= 2?

1 1 1 1 1 + ? +L+ ? 2 2 3 n ?1 n

1 n

--------------------12 分

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21.解: (1) f ( x ) = ? x 2 + x + 1 = ?? x ? 所以 f ( x ) |max = 所 以

? ?

1? 3 ? + , 2? 4

2

3 , f ( x) |min = f (3) = ?5 4
在 区 间

f (x)

[?1,3]











3? ? ?? 5, 4 ? ? ?



-------------------------4 分 (2)①当 a ≥ 0 时, f (x ) 在区间 (0,2] 上递增, f ( x ) > f (0) = 1 > 0 ,符合题意; ②当 a < 0 时,只需 f ( 2) > 0 ,即 ? 所以, a 的取值范围是 ( ? 分 (2)证明:①必要性

3 <a<0 4
-------------------------8

3 ,+∞) 4

?x ∈ [0,1] , g ( x) ≤ 1 ? g ( x) ≤ 1 ,由此可以推出 g (1) ≤ 1 ,即 a ? b ≤ 1 ,∴ a ? 1 ≤ b

?x ∈ [0,1] , g ( x) ≤ 1 ? g ( x) ≥ ?1 , 因 为 a > 1 , 所 以

1 1 < 1 , 从 而 g ( ) ≥ ?1 , 即 a a

1?

b ≥ ?1 , a

所以 b ≤ 2 a . 所以 a ? 1 ≤ b ≤ 2 a ②充分性: 因为 a > 1, a ? 1 ≤ b , ?x ∈ [0,1] ,可以推出 ax 2 ? bx ≤ ax 2 ? (a ? 1)x = a ( x 2 ? x) + x ≤ x ≤ 1 因 为

a > 1, b ≤ 2 a



?x ∈ [0,1]











ax 2 ? bx + 1 ≥ ax 2 ? 2 a ? x + 1 = ( a ? x + 1) 2 ≥ 0 ,即 ax 2 ? bx ≥ ?1
所以 ? 1 ≤ g ( x ) ≤ 1 综上: ?x ∈ [0,1] , g ( x) ≤ 1 的充要条件是 a ? 1 ≤ b ≤ 2 a . 分 22.解: (1) f / ( x) = (1 + kx )e kx , ----------------------2 ----------------------12

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分 因为 f (0) = 0 ,且 f (0) = 1 ,
/

所 以 曲 线

y = f ( x)

在 点

(0, f (0))

处 的 切 线 方 程 为 :

y=x

----------------------4 分 (2)令 f / ( x ) = (1 + kx )e kx > 0 ,所以 1 + kx > 0 ,

1 , k 1 1 此时 f ( x ) 在 ( ?∞,? ) 上单调递减,在 ( ? ,+∞) 上单调递增; k k
当 k > 0 时, x > ? 分

----------------------6

1 , k 1 1 此时 f ( x ) 在 ( ?∞,? ) 上单调递增,在 ( ? ,+∞) 上单调递减. k k
当 k < 0 时, x < ? 分 (3)当 k = 1 时, f ( x ) 在 ( ?∞,?1) 上单调递减,在 ( ?1,+∞ ) 上单调递增, 所以对任意 x1 ∈ R ,有 f ( x1 ) ≥ f ( ?1) = ? 分 又已知存在 x2 ∈ [1, 2] ,使 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,所以 ? 即存在 x ∈ [1, 2] ,使 g ( x ) = x ? 2bx + 4 ≤ ?
2

----------------------8

1 , e 1 ≥ g ( x 2 ) , x2 ∈ [1, 2] , e

----------------------9

1 4 + e ?1 ,即 2b ≥ x + , e x

----------------------11

分 即因为当 x ∈ [1, 2] 所以 2b ≥ 4 + 分



x+

1 4 + e ?1 1 ∈ [4 + ,5 + ] , x 2e e
----------------------14

1 1 , 即实数 b 取值范围是 b ≥ 2 + . 2e 4e

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