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高中数学 2.5等比数列的前n项和(1)导学案新人教版必修5

时间:2019-01-03

§2.5 等比数列的前 n 项和(1)
【学习目标】 1. 掌握等比数列的前 n 项和公式; 2. 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题.

预习案 【使用说明及学法指导】 认真研读教材,进行础知识梳理,并勾画课本,写上提示语,标注序号等等 。 1. 完成预习自测题目或某 几个题目 2. 将预习中不能解决的问题标识出来,并写道“我的疑问”处。 3. 限时 5 分钟,独立完成。 【自主学习】 复习 1:什么是数列前 n 项和?等差数列的数列前 n 项和公式是什么? 复习 2:已知等比数列中, a3 ? 3 , a6 ? 81 ,求 a9 , a10 . 探究任务: 等比数列的前 n 项和 故事: “国王对国际象棋的发明者的奖励” 新知:等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?an ? 它的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ,公比为 q≠0, 公式 的推导方法一: ?S ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?a1q n ? 2 ? a1q n ?1 ? 则? n ? ?qSn ? ? (1 ? q)Sn ? 当 q ? 1 时, Sn ? 当 q =1 时, Sn ? ① 或 Sn ? ②

试试:求等比数列

1 1 1 , , ,?的前 8 项的和. 2 4 8

我的疑问

请将预习中不能解决的问题写下来,供课堂解决。

探究案

【学习建议】 请同学们用 5 分钟时间认真思考这些问题,并结合预习中自己的疑问开始下面的探究学习。 1 例 1 已知 a1=27,a9= ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243 变式: a1 ? 3 , a5 ? 48 . 求此等比数列的前 5 项和.

例 2 等比数列中,已知 a1 ? ?1, a4 ? 64, 求q及S4 .

例 3 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33, a2 ?a5 ? 32 ,求 S6 .

※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和公式; 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 3. “ 知三求二”问题,即:已知等比数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其 余的两个. ※ 知识拓展 1. 若 q ? ?1 , m ? N * ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ??? 构成新的等比数列,公比为 qm . a 2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为 , a , aq . 若四个同符号的数成等比数列,可 q a a 设这四个数为 3 , , aq, aq 3 . q q 3. 证明等比数列的方法有: a (1)定义法: n ?1 ? q ; (2)中项法: an ?12 ? an ?an ? 2 . an
?S ? a1 4. 数列的前 n 项和构成一个新的数列,可用递推公式 ? 1 表示. ?Sn ? Sn ?1 ? an (n ? 1)

1.。 我的收获 (反思静悟,体验成功)

训练案

1. 完成书后习题

1. 数列 1, a , a 2 , a 3 ,?, a n ?1 ,?的前 n 项和为( ). 1 ? an 1 ? a n ?1 A. B. 1? a 1? a n?2 1? a C. D. 以上都不对 1? a 2. 等比数列中,已知 a1 ? a2 ? 20 , a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 ? ( ). A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3. 设 {an } 是由正数组成的等比数列,公比为 2,且 a1a2 a3 ??? a30 ? 230 ,那么 a3a6 a9 ??? a30 ? (

).

A. 210 B. 2 20 C. 1 D. 260 4. 等比数列 的各项都是正数,若 a1 ? 81, a5 ? 16 ,则它的前 5 项和为 2. 5. 等比数列的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则 a= §2.5 等比数列的前 n 项和(2) 一、课前准备 (预习教材 P57 ~ P62,找出疑惑之处) 复习 1: 等比数列的前 n 项和公式. 当 q ? 1 时, Sn ? = 当 q=1 时, Sn ? .

.

复习 2:等比数列的通项公式. an ? =

.

探究任务:等比数列的前 n 项和与通项关系 问题:等比数列的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? an ,
S n ?1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 (n≥2) ,



Sn ? Sn?1 ?

, .

当 n=1 时, S1 ?

反思: 等比数列前 n 项和 Sn 与通项 a n 的关系是什么?

※ 典型例题 例 1 数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? an ? 1 (a≠0,a≠1) ,试证明数列 {an } 是等比数列.

变式:已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,且 Sn ?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1 ,设 bn ? an ?1 ? 2an ,求证:数列 {bn } 是 等比数列.

例 2 等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn , S2 n , S3n ,求证: Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2n 也成 等比. 变式:在等比数列中,已知 Sn ? 48, S2n ? 60 ,求 S3n . ※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和与通项关系; 2. 等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn , S2 n , S3n ,则数列 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2n 也 成为等比数列. ※ 当堂检测 1. 等比数列 {an } 中, S3 ? 3 , S6 ? 9 ,则 S9 ? ( ). A. 21 B. 12 C. 18 D. 24 2. 在等比数列中, a1 ? 4 ,q=2 ,使 Sn ? 4000 的最小 n 值是( A. 11 B. 10 C. 12 D. 9

).

3. 在等比数列中,若 2S3 ? a3 ? 2S2 ? a4 ,则公比 q= 4. 在等比数列中, a1 ? 1 , an ? ?512 , Sn ? ?341 ,则 q= 5. 等比数列 {an } 中, S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,求 S20 .

. ,n= .

6. 等比数列的前 n 项和 s n ? 2 ? 1 ,求通项 a n .

n

7. 设 a 为常数,求数列 a,2a ,3a ,?,na ,?的前 n 项和;

2

3

n


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