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2011年全国高考文科数学试题及答案-全国

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修+选修 II)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号 填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 .......... 3.第Ⅰ卷共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 一、选择题

= 1.设集合 U= ?1,2,3,4? , M ? ?1,2,3? , N ? ?2,3,4? , 则 ?(M ? N)
A. ?1 , 2? B. ?2, 3? C. ?2,4? D. ?1 ,4?

2.函数 y ? 2 x ( x≥0) 的反函数为 A. y ?

x2 ( x ? R) 4
2

B. y ?

x2 ( x≥0) 4
2

C. y ? 4 x ( x ? R ) 3.权向量 a,b 满足 | a |?| b |? 1, a ? b ? ? A. 2 B. 3

D. y ? 4 x ( x≥0)

1 ,则 a ? 2b ? 2
C. 5 D. 7

?x ? y ? 6 ? 4.若变量 x、y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 ?x ? 1 ?
A.17 B.14 C .5 5.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b
2 2

D.3

D. a ? b
3

3

6.设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差为 d ? 2, Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k= A.8 B.7 C.6 D.5
1

7.设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 原图像重合,则 ? 的最小值等于 A.

? 个单位长度后,所得的图像与 3
D. 9

1 3

B. 3

C. 6

8.已知二面角 ? ? l ? ? ,点 A ?? , AC ? l , C 为垂足,点 B ? ? , BD ? l ,D 为垂足,若 AB=2, AC=BD=1,则 CD= A.2 B. 3 C. 2 D.1

9.4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 10.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x ) = 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) = A.-

5 2

1 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

11.设两圆 C1 、 C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,则两圆心的距离 C1C2 = A.4 B. 4 2 C.8
0

D. 8 2

12.已知平面 ? 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 60 ,二面角的平面 ? 截该球面得圆 N,若 该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为 A. 7? B. 9? C. 11? D. 13?

第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号 填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 在试题卷上作答无效。 3.第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上(注意:在试卷上作 ..... 答无效 ) ... 13. (1- x )10 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为: 14.已知 a∈( ? , .

3? a t ? 2 , ?o c s 则 ) ,n 2

?=

15.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 。

2

16.已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

x2 y 2 =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0) , 9 27

AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 l0 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, 求 an 和 Sn

18. (本小题满分 2 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B, (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A ? 750 , b ? 2, 求a与c

19. (本小题满分 l2 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 根据以往统计资料, 某地车主购买甲种保险的概率为 0.5, 购买乙种保险但不购买甲种保 险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种概率; (II)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

20. (本小题满分 l2 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........

3

如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? CD , BC ? CD ,侧面 SAB 为等边三角形,

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.
(I)证明: SD ? 平面 SAB; (II)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。

21. (本小题满分 l2 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知函数

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? (3 ? 6a) x ?12a ? 4?a ? R?

(I)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0 处的切线过点(2,2) ; (II)若 f ( x)在x ? x0 处取得极小值, x0 ? (1,3) ,求 a 的取值范围。

22. (本小题满分 l2 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点, 过 F 且斜率为 - 2 2

的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (II)设点 P 关于 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上。

??? ? ??? ? ??? ?

4

参考答案
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度, 可视影响的程度决定后继部分的给力, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数,选择题不给中间分。 一、选择题 1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题 13.0 14. ? 三、解答题 17.解:设 {an } 的公比为 q,由题设得

5 5

15.

2 3

16.6

?a1q ? 6, ? 2 ?6a1 ? a1q ? 30.
解得 ?

…………3 分

?a1 ? 3, ?a1 ? 2, 或? ?q ? 2, ?q ? 3.

…………6 分

当 a1 ? 3, q ? 2时, an ? 3? 2n?1, Sn ? 3? (2n ?1); 当 a1 ? 2, q ? 3时, an ? 2 ? 3n?1, Sn ? 3n ?1. 18.解: (I)由正弦定理得 a ? c ? 2ac ? b .
2 2 2

…………10 分

…………3 分

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B.
2 2 2

故 cos B ?

2 ,因此B ? 45?. 2

…………6 分

(II) sin A ? sin(30? ? 45?)

?sin 3 ?0 c o ? s?4 5 ? 2? 6 . 4

c ?os 3? 0 sin 45
…………8 分

5

故 a ? b?

sin A 2? 6 ? ? 1 ? 3, sin B 2
…………12 分

c ? b?

sin C s i n? 6 0 ? 2? ? 6. sin B s i n? 4 5

19.解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买。 (I) P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.3, C ? A ? B, …………3 分

P( C )? P( A ? B )? P ( A ) ?

P ( B ? )

0.8.

…………6 分 …………9 分 …………12 分

(II) D ? C, P(D) ? 1 ? P(C) ? 1 ? 0.8 ? 0.2,
1 P( E) ? C3 ? 0.2 ? 0.82 ? 0.384.

? ?

20.解法一: (I)取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2, 连结 SE,则 SE ? AB, SE ? 3. 又 SD=1,故 ED ? SE ? SD ,
2 2 2

所以 ?DSE 为直角。 由 AB ? DE, AB ? SE, DE ? SE ? E , 得 AB ? 平面 SDE,所以 AB ? SD 。 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 SD ? 平面 SAB。 (II)由 AB ? 平面 SDE 知, 平面 ABCD ? 平面 SED。 作 SF ? DE , 垂足为 F,则 SF ? 平面 ABCD,

…………3 分

…………6 分

SF ?

S D? S E 3 ? . DE 2

作 FG ? BC ,垂足为 G,则 FG=DC=1。 连结 SG,则 SG ? BC , 又 BC ? FG, SG ? FG ? G , 故 BC ? 平面 SFG,平面 SBC ? 平面 SFG。 作 FH ? SG ,H 为垂足,则 FH ? 平面 SBC。 …………9 分

6

FH ?

21 S F? F G 3 ,即 F 到平面 SBC 的距离为 . ? 7 SG 7 21 . 7

由于 ED//BC,所以 ED//平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也有 设 AB 与平面 SBC 所成的角为α , 则 sin ? ?

d 21 21 ? , ? ? arcsin . EB 7 7

…………12 分

解法二: 以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C—xyz。 设 D(1,0,0) ,则 A(2,2,0) 、B(0,2,0) 。 又设 S ( x, y, z), 则x ? 0, y ? 0, z ? 0. (I) AS ? ( x ? 2, y ? 2, z), BS ? ( x, y ? 2, z) , DS ? ( x ?1, y, z) , 由 | AS |?| BS | 得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ,
故 x=1。 由 | DS |? 1得y 2 ? z 2 ? 1, 又由 | BS |? 2得x2 ? ( y ? 2)2 ? z 2 ? 4, 即 y ? z ? 4 y ? 1 ? 0, 故y ?
2 2

??? ?

??? ?

1 3 ,z ? . 2 2

…………3 分

于是 S (1, ,

? ? 1 3 ??? 3 3 ??? 3 3 ), AS ? (?1, ? , ), BS ? (1, ? , ) , 2 2 2 2 2 2

??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 3 ??? DS ? (0, , ), DS ? AS ? 0, DS ? BS ? 0. 2 2
故 DS ? AD, DS ? BS , 又AS ? BS ? S , 所以 SD ? 平面 SAB。 (II)设平面 SBC 的法向量 a ? (m, n, p) , 则 a ? BS , a ? CB, a ? BS ? 0, a ? CB ? 0. 又 BS ? (1, ? ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 3 3 ??? ), CB ? (0, 2, 0), 2 2
7

? 3 3 p ? 0, ?m ? n ? 故? 2 2 ?2n ? 0. ?
取 p=2 得 a ? (? 3,0, 2), 又AB ? (?2,0,0) 。

…………9 分

??? ?

??? ? ??? ? AB ? a 21 ? cos AB, a ? ??? ? . 7 | AB | ? | a |
故 AB 与平面 SBC 所成的角为 arcsin 21.解: (I) f '( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3 ? 6a.

21 . 7
…………2 分

由 f (0) ? 12a ? 4, f '(0) ? 3 ? 6a 得曲线 y ? f ( x)在x ? 0 处的切线方程为 由此知曲线 y ? f ( x)在x ? 0 处的切线过点(2,2) (II)由 f '( x) ? 0得x2 ? 2ax ? 1 ? 2a ? 0. (i)当 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 时, f ( x) 没有极小值; (ii)当 a ? 2 ?1或a ? ? 2 ?1 时由 , f '( x) ? 0 得 …………6 分

x1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1,
故 x0 ? x2 . 由题设知 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3. 当a ?

2 ? 1时,不等式 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 无解。
2

当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ?a ? a ? 2a ? 1 ? 3得 ? 综合(i) (ii)得 a 的取值范围是 ( ?

5 ? a ? ? 2 ? 1. 2
…………12 分

5 , ? 2 ? 1). 2

22.解: (I)F(0,1) , l 的方程为 y ? ? 2x ? 1 , 代入 x ?
2

y2 ? 1并化简得 2
…………2 分

4 x2 ? 2 2 x ?1 ? 0.
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ),

8

则 x1 ?

2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4 2 , y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 2 2 , y3 ? ?( y1 ? y2 ) ? ?1. 2

x1 ? x2 ?

由题意得 x3 ? ?( x1 ? x2 ) ? ?

所以点 P 的坐标为 (?

2 , ?1). 2 2 , ?1) 满足方程 2
…………6 分

经验证,点 P 的坐标为 ( ?

x2 ?

y2 ? 1, 故点 P 在椭圆 C 上。 2

(II)由 P ( ?

2 2 ,1) , ?1) 和题设知, Q( 2 2

PQ 的垂直一部分线 l1 的方程为

y??

2 x. 2



设 AB 的中点为 M,则 M (

2 1 , ) ,AB 的垂直平分线为 l2 的方程为 4 2


y?

2 1 x? . 2 4 2 1 , )。 8 8

由①、②得 l1 , l2 的交点为 N (?

…………9 分

9

| NP |? (?

2 2 2 1 3 11 ? ) ? (?1 ? ) 2 ? , 2 8 8 8 3 2 , 2

| AB |? 1 ? (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |? | AM |? 3 2 , 4

| MN |? (

2 2 2 1 1 2 3 3 ? ) ?( ? ) ? , 4 8 2 8 8 3 11 , 8

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ?

故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,NA 为半径的圆上 …………12 分

10


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