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山东省济南市2011届高三教学质量调研数学(理工类)试题(B)

时间:2010-11-25


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高三教学质量调研 数学(理工类)试题(B)
命题人:济南 二中 济南教研室 陈学东 常传洪

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页.共 150 分.测试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(共 60 分)
注意事项: 注意事项: 1. 此卷内容主要涉及集合与简易逻辑、函数与导数、三角函数、数列内容. 2. 此卷提供给高三第一轮复习的数学基础中等的 中等的(理工类)学生选择使用. 中等的 3. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡 上. 4. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案.不能答在测试卷上. 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 个小题, 在每小题给出的四个选项中, 选择题 项是符合题目要求的. 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U = { ,2,3,4} ,其子集 A = 1, a ? 3 , CU A = {2,3},则实数 a 的值为 1 A.7或1 B.7或-1 C.-7或-1 D.-7或1

{

}

2.函数 y = ( x + 1) 2 在x = 1处的导数等于 A.1 B.2 C.3 D.4

1 3.已知 tan( β ? ) = , 则 tan β = 4 4 3 5 3 A. B. C. ? 5 3 5

π

D. ?

5 3

4. 如果命题“ p ∧ q ”是假命题,则下列说法中正确的是的是

A. p 、 q 均为真命题 C. p 、 q 均为假命题
5.下列结论中不正确的是

B. p 、 q 中至少有一个真命题 D. p 、 q 中至少有一个假命题

A.若 y = f ( x ) = x 4 , 则f ' ( 2) =32 C.若 y = f ( x ) =

B.若 y = f ( x ) = sin x, 则 f ' ?
'

?π ? 1 ?= ?3? 2

1 , 则f ' (1) = ?2 x2

D.若 y = f ( x ) = cos x, 则f ( ) = ?1

π

4

6.在 ?ABC中 , cos A ? cos B + cos A ? sin B + sin A cos B + sin A ? sin B = 2 ,则 ?ABC是
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A.等边三角形 C.非等腰的直角三角形

B.等腰非等边的锐角三角形 D.等腰直角三角形

高三数学(理工类 B)试题 第 1 页(共 8 页) 7.为得到函数 y = cos 2 x 的图像,只需将函数 y = sin 2 x 的图像

π 个长度单位 2 π C.向左平移 个长度单位 4
A.向左平移
x ?x

B.向右平移个 D.向右平移

π 长度单位 2

π 个长度单位 4

8.若函数 f ( x) = a ? a ( a > 0, a ≠ 1) 在 (?∞,+∞) 上是增函数,则 g ( x) = log a ( x + 1) 的图 像是

A.

B.

D. 9.首项为 ?20 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是 A. d >

C.

20 9

B. d ≤

5 2

C.

20 5 <d ≤ 9 2

D.

20 5 ≤d < 9 2

10.在等比数列 {an } , a 3 = 2, a 7 = 8 ,则 a 5 = A. ± 4 B.4 C. ? 4 D.5

11.函数 f ( x ) = x 2 + bx + c 对任意实数 x 均有 f (1 + x ) = f (1 ? x ) ,那么 f (0), f ( ?1), f (1) 的大 小关系是 A. f (1) < f (0 ) < f (? 1) C. f (1) < f (? 1) < f (0 )
3 2

B. f (0 ) < f (? 1) < f (1) D. f (0 ) < f (0 ) < f (1)

12.方程 x ? 6 x + 9 x ? 10 = 0 的实根个数是

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A.3

B.2

C.1

D.0

高三数学(理工类 B)试题 第 2 页(共 8 页)

高三教学质量调研 数学(理工类)试题(B)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 注意事项: 1. 第Ⅱ卷共 6 页, 用钢笔或蓝圆珠笔直接写在试题卷中;作图时,可用 2B 铅笔,要字体 工整,笔迹清晰.在草稿纸上答题无效. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 得分 评卷人 个小题, 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题 填空题: 中横线上. 中横线上 ⒔ 函数 y=sin3xcon3x 的最小正周期是 14. .

∫ (? 2 x + 4)dx =
3 1

. .

15.已知等比数列 {an } 的各项均为正数,若 a1 = 3 ,前三项的和为 21,则有 a4 + a5 + a6 =

16. ?ABC中 , ∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为 a, b, c ,如果 a : b : c = 3 : 5 : 7 ,则该三角形的最大内 角 的余弦值= .

个小题. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题: 得分 评卷人 ⒘(本小题满分 12 分)

已知集合 A = x ?1 ≤ x < 5 , B = x 2 < x < 7 , C = x x > a . (1).求 A

{

}

{

}

{

}

U B, AI B ; I C = φ ,求实数 a 的取值范围.

(2)如果 A

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高三数学(理工类 B)试题 第 3 页(共 8 页)

得分

评卷人 18. (本小题满分 12 分)

已知点 P (1, 2) 在角 α 的终边上. 求: (1) sin 2α 的值; (2) tan

α

2

的值.

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高三数学(理工类 B)试题 第 4 页(共 8 页) 得分 评卷人 ⒚(本小题满分 12 分) 已知 sin( x ? 2π ) ? cos(π ? x ) = (1)分别求 sin x, cos x 的值; (2)求角 x 的集合.

1? 3 , x 是第二象限角. 2

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高三数学(理工类 B)试题 第 5 页(共 8 页) 得分 评卷人 ⒛(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) = lg( x + 1 + x 2 ) . (1)证明: 函数 f ( x ) 是奇函数; (2)若 f ( x ) = lg(1 + 2) ,求 x 的值;

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高三数学(理工类B)试题 第 6 页(共 8 页) 得分 评卷人 21. 21.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 中, a 2 = 9, a8 = 21 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn = 3
an

,求数列 {bn } 的前 n 项的和 sn .

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高三数学(理工类B)试题 第 7 页(共 8 页) 得分 评卷人 22. 22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = ? x 3 ? 2mx 2 ? m 2 x + 1 ? m (其中 m )—2)的图像在 x=2 处的切线与直线

y = ?5 x + 12 平行。
(1)求 m 的值和该切线方程; (2)求函数 f (x ) 的单调区间; (3)证明:对任意的 x1 , x 2 ∈ [0,1], 有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ≤

4 . 27

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高三数学(理工类B)试题 第 8 页(共 8 页)

高三数学( 试题参考答案(2010.11 .11) 高三数学(理工类 B)试题参考答案(2010.11) 数学
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一、选择题:⒈B ⒉D ⒊B ⒋D ⒌D ⒍D ⒎C ⒏C ⒐C ⒑B ⒒A ⒓C 选择题: 二、填空题:⒔ 填空题: 三、解答题: 解答题: 17. ) . A . (1) ( …………………………4 U B = {x ? 1 ≤ x < 5}U{x 2 < x < 7} = {x ? 1 ≤ x < 7}…………………………4 分

π
3

⒕ 0

⒖ 168

⒗?

1 2

AI B = {x ? 1 ≤ x < 5} I

{x 2 < x < 7}= {x 2 < x < 5}…………………………8 分 …………………………8
…………………………12 分 …………………………12

( 2) Q A

IC =φ
2 2 = 5 5 5 1 1 = 5 5 5

∴a ≥ 5

18.( P(1,2)在角 18.(1) Q 点 P(1,2)在角 α 的终边上

∴ sin α =

…………………………2 分

cos α =

…………………………4 …………………………4 分

∴ sin 2α = 2 sin α cos α = 2 ×

2 5 5 4 × = 5 5 5 1?

…………………………7 …………………………7 分

1 ? cos α =± (2) tan = ± 2 1 + coaα

α

5 5 = ± 5 ? 5 = ± 30 ? 10 5 …………10 分 …………10 20 5 5+ 5 1+ 5
……………………………………………………12 ……………………………………………………12 分



5 ?1 2

19.( 19.(1)由已知得 sin x + cos x =

1? 3 2

Q x 是第二象限角

∴ sin x > 0, cos x < 0
1 3 ∴ sin x = , cos x = ? 2 2
(2)当 x ∈ [0,2π ] 时, x = ) 分

…………………………2 …………………………2 分

…………………………6 …………………………6 分

5 π 6

…………………………8 …………………………8

高三数学(理工类 B)参考答案 第 1 页(共 3 页)

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? ? 5 ∴ 角 x 的集合为 ? x x = π + 2kπ , k ∈ Z ? 6 ? ?


…………………………12 …………………………12 …………………

20.(1)证明: 20.(1)证明:函数 f ( x) = lg( x + 1 + x ) 的定义域可由不等式 x + 1 + x >0 得 证明
2

2

Q 1+ x2 > x

x+ x ≥0

∴ x + 1 + x 2 >0 对任意实数都成立
……………………3 ……………………3 分

∴ 函数 f ( x) = lg( x + 1 + x 2 ) 的定义域为 R
而 f ( ? x) = lg(? x + 1 + x )
2

f ( x) + f (? x) = lg( x + 1 + x 2 ) + lg(? x + 1 + x 2 ) = lg(? x 2 + 1 + x 2 ) = lg1 = 0 ∴ 函数 f ( x) = lg( x + 1 + x 2 ) 是奇函数
2

……………………9 ……………………9 分

(2)由 lg( x + 1 + x 2 ) = lg(1 + 2 ) 得 x + 1 + x = 1 + 2

∴ x=1
21.(1) a8 ? a 2 = 21 ? 9 = 12 = 6d

……………………1 ……………………12 分 ……

∴d = 2

……………………3 ……………………3 分 ……………………6 ……………………6 分

a n = a 2 + ( n ? 2) d = 9 + 2( n ? 2) = 2 n + 5
(2) bn = 3
2 n +5

b1 = 37

bn+1 3 2 n+7 = 2 n +5 = 9 bn 3
……………………9 ……………………9 分

∴ 数列 {bn } 是首项为 37 公比为 9 的等比数列
37 (1 ? 9 n?1 ) 1 2 n+5 7 Sn = = (3 ?3 ) 1? 9 8
' 2 2 22. f ( x) = ?3 x ? 4mx ? m

……………………1 ……………………12 分

f ' (2) = ?12 ? 8m ? m 2
Q 函数 f ( x) = ? x 3 ? 2mx 2 ? m 2 x + 1 ? m 的图像在 x=2 处的切线与直线 y = ?5 x + 12 平行。

∴ f ' (2) = ?12 ? 8m ? m 2 =-5 ∴ m1 = ?1
Q m >?2

m 2 + 8m + 7 = 0

m2 = ?7
∴ m = ?1
f ( 2) = 0
……………………3 ……………………3 分

∴ f ( x) = ? x 3 + 2 x 2 ? x + 2

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高三数学(理工类 B)参考答案 第 2 页(共 2 页)

∴ 切点为(2,0) 所求切线方程为 5 x + y ? 10 = 0 切点为( , )
(2) f ( x) = ?3 x + 4 x ? 1
2

……………………5 ……………………5 分

由 f ( x) = ?3 x + 4 x ? 1 =0 得 3 x ? 4 x + 1 = 0
2
2

解得 x1 = 1

x2 =
2

1 3

函数 f ( x ) = ?3 x + 4 x ? 1 的图像是开口向下的抛物线 所以 f ( x ) = ? x 3 + 2 x 2 ? x + 2 在区间( ? ∞, ) 单调递减;在区间 ? ,1? 单调递增;在区间 3 3 (1 ,+∞) 单调递减. ……………………9 ……………………9 分

1

?1 ? ? ?

(3)证明:在区间 [0,1] 上时,由(2)可知函数在区间 ?0, ? 单调递减;在区间 ? ,1? 单调递 3 3 增

? 1? ? ?

?1 ? ? ?

1 50 ∴ 函数 f ( x) = ? x 3 + 2 x 2 ? x + 2 的最小值为 f ( ) = 3 27 50 4 而 f ( 0) = 2 f (1) = 2 2 ? = 27 27 4 所以在区间 [0,1] 上函数的最大值与最小值的差是 27 4 ∴ 对任意的 x1 , x 2 ∈ [0,1], 有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ≤ 27

……………………14 分 ……………………14

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高三数学(理工类 B)参考答案 第 3 页(共 3 页)

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