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2,第二章 习题解答b

时间:2013-06-01

第二章

能量守恒

动量守恒

14

第二章
选择题

能量守恒

动量守恒

2-1 有一劲度系数为 k 的弹簧(质量忽略不计),垂直放置,下端悬挂一质量为 m 的小 球.现使弹簧为原长,而小球恰好与地面接触.今将弹簧上端缓慢地提起,直到小球刚脱离地面 为止,在上提过程中外力做的功为 ( A ) (A)

m2 g 2 ; 2k m2 g 2 ; 4k

(B)

2m2 g 2 ; k 4m2 g 2 . k

(C)

(D)

2-2 一弹簧长 l0 ? 0.5 m ,劲度系数为 k ,上端挂在天花板上,当下端吊一小盘后,长度 变为 l1 ? 0.6 m .然后在盘中放一物体,使弹簧长度变为 l2 ? 0.8 m .放物后,在弹簧伸长的过 程中,弹性力所做的功为 (A) ? (C) ? ( C ) (B) (D)

? ?

0.8

0.6 0.3

kxdx ; kxdx ;

? ?

0.8

0.6 0.8

kxdx ; kxdx .

0.1

0.1

2-3 如图所示,一单摆在点 A 和点 A? 之间往复运动,就点 A 、点 B 和点 C 三位置比较, 重力做功的功率最大位置为 ( B ) (A) 点 A ; (B) 点 B ; (C) 点 C ; (D) 三点都一样.

2-4 今有质量分别为 m1 、m2 和 m3 的三个质点,彼此相距分别为 r12 、r23 和 r31 .则它之 间的引力势能总和为 (A) ?G ? ( A ) (B) G ?

? m1m2 m2 m3 m3 m1 ? ? ? ?; r23 r31 ? ? r12

? m1m2 m2 m3 m3m1 ? ? ? ?; r23 r31 ? ? r12

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能量守恒

动量守恒

15

(C) ?2G ?

? m1m2 m2 m3 m3m1 ? ? ? ?; r23 r31 ? ? r12

(D) 2G ?

? m1m2 m2 m3 m3m1 ? ? ? ?. r23 r31 ? ? r12

2-5 有下列几种情况: (1) 物体自由落下,由物体和地球组成的系统; (2) 使物体均匀上升,由物体和地球组成的系统; (3) 子弹射入放在光滑水平面上的木块,由子弹和木块组成的系统; (4) 物体沿光滑斜坡向上滑动,由物体和地球组成的系统. 机械能守恒的有 ( C ) (A) (1)、(3); (B) (2)、(4); (C) (1)、(4); (D) (1)、(2). 2-6 质量分别为 m 和 4m 的两个质点,沿一直线相向运动.它们的动能分别为 E 和 4E , 它们的总动量的大小为 ( B ) (A) 2 2mE ; (C) 5 2mE ; (B) 3 2mE ; (D) (2 2 ?1) 2mE .

2-7 质量为 m 的小球,以水平速度 v 与竖直的墙壁作完全弹性碰撞.以小球的初速度 ( D ) v 的方向为 Ox 轴的正方向,则此过程中小球动量的增量为 (A) mvi ; (B) 0 ; (C) 2m vi ; (D) ?2mvi . 2-8 如图所示,质量为 1 kg 的弹性小球,自某高度水平抛出,落地时与地面发生完全弹 性碰撞.已知在抛出 1 s 后又跳回原高度,而且速度的大小和方向和刚抛出时相同.在小球与地 面碰撞的过程中,地面给它的冲量的大小和方向为 (A) 9.8 kg ? m ? s ,垂直地面向上; (B)
?1

( A )

2 ? 9.8 kg ? m ? s?1 ,垂直地面向上;
?1

(C) 19.6 kg ? m ? s ,垂直地面向上; (D) 4.9 kg ? m ? s ,与水平面成 45 角.
o

?1

2-9 一炮弹由于特殊原因,在弹道最高点处突然炸成两块,如果其中一块做自由落体 下落,则另一块的着地点 ( A ) (A) 比原来更远; (B) 比原来更近; (C) 仍和原来一样; (D) 条件不足,不能判定. 2-10 在下列陈述中,正确的是 ( A ) (A) 物体的动量不变,动能也不变; (B) 物体的动能不变,动量也不变; (C) 物体的动量变化,动能也一定变化; (D) 物体的动能变化,动量却不一定也变化. 2-11 如图所示,一光滑圆弧形槽 m? 放置于光滑的水平面上,一滑块 m 自槽的顶部由 静止释放后沿槽滑下,不计空气阻力,对这一过程,下列陈述正确的为 ( C ) (A) 由 m 和 m? 组成的系统动量守恒;

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能量守恒

动量守恒

16

(B) 由 m 和 m? 组成的系统机械能守恒; (C) 由 m 、 m? 和地球组成的系统机械能守恒; (D) m 对 m? 的正压力恒不作功.

2-12

如图所示,质量为 20 g 的子弹,以 400 m ? s

?1 的速率沿图示方向射入一原来静
( A )

止的、 质量为 980 g 的摆中.摆线不可伸缩,质量忽略不计.子弹射入后,摆的速度为 (A) 4 m ? s?1 ; (C) 2 m ? s?1 ; 计算题 2-13 用力推物体,使物体沿 Ox 轴正方向前进,力在 Ox 轴上的分量为 (B) 8 m ? s?1 ; (D) 1.79 m ? s?1 .

Fx ? 5 ? 10 x
式中 x 的单位为 m , Fx 的单位为 N .求当物体由 x ? 0 移到 x ? 4 m 时,力所做的功. 解 在物体由 x ? 0 移到 x ? 4 m 的过程中,力所做的功为

A ? ? Fx dx ? ? ? 5 ? 10 x ? dx ? 100 J
x2 4 x1 0

2-14 一个不遵守胡克定律的弹簧,它的弹性力 F 与形变 x 的关系为

F ? ?kx ? bx3
式中, k ? 1.16 ?104 N ? m?1 , b ? 1.6 ?105 N ? m?3 ,求弹簧变形由 x1 ? 0.2 m 到 x2 ? 0.3 m 时,弹性力所做的功. 解 在弹簧变形由 x1 到 x2 的过程中,弹性力所做的功为
x2 x2 1 1 2 4 A ? ? Fdx ? ? ?(kx ? bx 3 )dx ? ? k ( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x14 ) x1 x1 2 4

将 x1 ? 0.2 m 和 x2 ? 0.3 m 代入上式,可得

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能量守恒

动量守恒

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1 1 2 4 A ? ? k ( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x14 ) 2 4 1 ? 1 ? ? ? ? ?1.16 ? 104 ? (0.32 ? 0.22 ) ? ?1.60 ? 105 ? (0.34 ? 0.24 ) ? J ? ?550 J 4 ? 2 ?
2-15 如果子弹穿入墙壁时,所受的阻力与穿入的深度 h 成正比,证明当子弹的初速度 增大为原来的 2 倍时,子弹进入墙壁的深度也增大 2 倍. 证 在穿进墙壁后,子弹所受的阻力 F ? ? kh ,式中 k 为常数.设子弹进入墙壁的最大深 度为 hm ,则在子弹穿入过程中,阻力对子弹所做的功为
hm 1 2 A ? ? ?khdh ? ? khm 0 2

子弹在最大深度 hm 时的速度为零.设子弹的初速度 v0 ,根据动能定理,有

1 2 1 2 ? khm ? 0 ? mv0 2 2
由此可得

hm ?

m v0 k

上式中的 k 和子弹质量 m 均为常数,因此子弹的初速度 v0 和子弹进入墙壁的最大深度

hm 成正比.若子弹的初速度增大为原来的 2 倍,则子弹进入墙壁的最大深度也增大为原来的
2 倍.
2-16 如图所示,一质量为 4 kg 的小球,从高度 h ? 3 m 处落下,使弹簧受到压缩.假定 弹簧的质量与小球相比可以略去不计,弹簧的劲度系数 k ? 500 N ? m?1 .求弹簧被压缩的最 大距离. 解 小球从开始下落,到弹簧达到最大压缩 x 量为止,下落 距离为 h ? x .这期间, 对于由小球、弹簧和地球组成的系统, 只有保守力做功,因此系统的机械能守恒.以弹簧未被压缩时的 上端为势能零点,有

1 2 kx ? mgx ? mgh 2


x2 ?

2mg 2mg x? h?0 k k



2mg 2 ? 4 ? 9.8 ? ? 0.157 , h ? 3 代入上式,可解得 k 500

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能量守恒

动量守恒

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x ? (0.078 ? 0.691) m
因为弹簧压缩的最大距离为正数,所以 x ? 0 的根是增根.弹簧被压缩的最大距离为

x ? (0.078 ? 0.691) m ? 0.769 m
2-17 测定矿车的阻力因数 ? (即阻力与矿车对轨道正压力的比值)的设施如图所示.

测定时使矿车自高度 h 处从静止开始下滑,滑过一段水平距离 l2 后停下.已知坡底的长度为 l1 , 证明 ? ?

h . l1 ? l2



设矿车质量为 m ,则矿车沿坡道下滑时所受的正压力为 mgcos? ,在平面上前进时

所受的正压力为 mg .式中 ? 为斜面与水平面的夹角.矿车所受的外力有重力、摩擦力和正压 力.根据动能定理,外力对矿车所做的功等于其动能的增量,而在始末二状态,矿车的动能均为 零,于是有

mgh ? ? mg cos ?
由此可得

l ? ? mgl2 ? 0 cos ?

??

h (l1 ? l2 )

2-18 一颗子弹由枪口射出时速率为 v0 ,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合外力为

F ? a ? bt
式中 a 、 b 为常量. (1) 设子弹走到枪口处,所受的合力刚好为零,求子弹走完枪筒全长所需的时间; (2) 求子弹所受的冲量; (3) 求子弹的质量. 解 (1) 设子弹在时刻 t 0 受力为零,即

F ? a ? bt0 ? 0
由此可得

t0 ?
此即子弹走完枪筒全长所需的时间.

a b

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能量守恒

动量守恒

19

(2) 在时间 t 0 内,子弹所受的冲量为
t0 1 2 a 1 a a2 I ? ? (a ? bt )dt ? at0 ? bt0 ? a ? b( ) 2 ? 0 2 b 2 b 2b

(3) 根据动量原理, I ? ?mv ,且子弹的初速度为零,有

I ? mv0
由此可得,子弹的质量为

m?

I a ? v0 2bv0

2-19 一质量为 m 的质点,在 Oxy 平面上运动,其位置矢量为

r ? a cos ?ti ? b sin ?tj
求从 t ? 0 到 t ?

π 时间内,质点所受的合外力的冲量. 2?

解 质点的速度为

v?
t ? 0 时, 质点的速度为

dr ? ?a? sin ?ti ? b? cos ?tj dt

v1 ? b? j
t? π 时, 质点的速度为 2?

v2 ? ?a? sin ?
根据动量定理,在 t ? 0 到 t ?

π π i ? b? cos ? j ? ?a? i 2? 2?

π 时间内,质点所受的合外力的冲量为 2?

I ? mv2 ? mv1 ? ?ma?i ? mb? j
2-20 有一横截面积为 S ? 0.2 m 的直角弯管,水平放置,如图所示.管中流过流速为
2

v ? 3.0 m ? s?1 的水.求弯管所受力的大小和方向.
解 如图所示,在 dt 时间内,弯管中

1 4

圆弧长的水体 ABCD 运动到 A?B?C ?D? ,其动量的

增量等于质量均为为 dm ? ? S vdt 的 CC ?D?D 和 AA?B?B 的水体的动量之差.设弯管对水体

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能量守恒

动量守恒

20

ABCD 的作用力为 F ,根据动量定理,有

Fdt ? dm ? v j ? dm ? vi ? ? S v2dtj ? ? S v2dti
由此可得

F ? ? S v 2 j ? ? S v2 i
水对弯管的作用力 F ? 是 F 的反作用力,为

F ? ? ? S v2 i ? ? S v2 j
F ? 的大小为

F ? ? 2 ? S v2 ? 2 ?1?103 ? 0.20 ? 3.02 N ? 2.55 ?103 N
F ? 与 Ox 夹角为

? ? arctan
即 F ? 与水平成 45 ,斜向下.
o

Fy? ? arctan(?1) ? ?45o Fx?

2-21

水力采煤是利用水枪在高压下喷出来的强力水柱,冲击煤层而使煤层破裂.设所
?1

用水枪的直径为 30 mm ,水速为 60 m ? s ,水柱与煤层表面垂直,如图所示.水柱在冲击煤层 后,沿煤层表面对称地向四周散开.求水柱作用在煤层上的力. 解 设水在煤层表面均匀四散,则四散的水 沿煤层表面的动量之和在任何时刻都为零.因此 煤层对水柱的冲力沿煤层表面的分量为零. 在 ?t 时间内,有质量为 dm ? ? S v?t 的水 到达煤层表面并四散.式中 v 为水速, S 为水柱 截 面 积 . 煤 层 对 水 柱 冲 力 在 Ox 方 向 上 , 设 为

F ? Fx i ,则根据动量定理,有 Fx ?t ? 0 ? vdm ? ?? S v2?t ,
由此可得

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能量守恒

动量守恒

21

Fx ? ?? S v2
水柱对煤层的冲力 F ? 是 F ? Fx i 的反作用力,沿 Ox 轴的正向,即垂直指向煤层,大小为

F ? ? ? S v 2 ? 1?103 ?

π ? 3.02 ?10?4 ? 602 N ? 2 545 N 4

2-22 在铁轨上,有一质量为 40 t 的车辆,其速度为 1.5 m ? s?1 ,它和前面的一辆质量为

35 t 的静止车辆挂接.挂接后,它们以同一速度前进.求:
(1) 挂接后的速率; (2) 质量为 35 t 的车辆受到的冲量. 解 取 40 t 的车辆的前进方向为正方向. (1) 设两辆车一起前进的速度为 v ,则根据动量守恒定律,有

(m1 ? m2 )v ? m1v1 ? m2 v2
式中 v1 是质量为 m1 ? 40 t 的车辆的初速度,质量为 m2 ? 35 t 的车辆的初速度 v2 ? 0 .由此 可得,两辆车挂接后一起前进的速度为

v?

m1v1 40 ?103 ?1.5 ? m ? s?1 ? 0.8m ? s?1 3 m1 ? m2 (40 ? 35) ?10

(2) 根据动量定理,质量为 35 t 的车辆受到的冲量为

I ? m2 v ? 0 ? m2 v ? 35?103 ? 0.8N ? s ? 2.80 ?104 N ? s
2-23 一个质量为 60 kg 的人,以 2.0 m ? s?1 速率跳上一辆以 1.0 m ? s?1 的速率运动的

小车.小车的质量为180 kg . (1) 如果人从小车后面跳上去,求人和小车的共同速度 (2) 如果人从小车前面跳上去,求人和小车的共同速度. 解 取小车原来的前进方向为正方向.设人和小车的共同速度为 v ,则根据动量守恒定律, 有

(m1 ? m2 )v ? m1v1 ? m2 v2
式中 m1 和 v1 是人的质量和速度, m2 和 v2 是小车的质量和速度.由上式可得

v?

m1v1 ? m2 v2 m1 ? m2

(1) 如果人从小车后面跳上去,则人的速度 v1 ? 2.0 m ? s?1 ,人和小车的共同运动的速度

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能量守恒

动量守恒

22



v?

m1v1 ? m2 v2 60 ? 2.0 ? 180 ?1.0 ? m ? s?1 ? 1.25m ? s?1 m1 ? m2 (60 ? 180)

(2) 如果人从小车前面跳上去,则人的速度 v1 ? ?2.0 m ? s?1 ,人和小车的共同运动的速 度为

v?

m1v1 ? m2 v2 60 ? (?2.0) ? 180 ?1.0 ? m ? s?1 ? 0.25m ? s?1 m1 ? m2 (60 ? 180)

2-24 一炮弹竖直向上发射,初速度为 v0 .在发射后经过时间 t ,在空中自动爆炸.假定 炮弹爆炸后分成质量相等的 A 、 B 、 C 三块碎片.其中 A 块的速度为零, B 、 C 两块的速 度大小相同,且 B 块的方向与水平成 ? 角.求 B 、 C 两块碎片的速度大小和 C 块的方向.



炮弹爆炸过程中动量守恒.临爆炸前,炮弹的速度 v 在竖直方向.设炮弹的质量为 m ,

爆炸后瞬时 B 、 C 两块的速度分别为 vB 和 vC ,有

1 1 mvB ? mvC ? mv 3 3
爆炸前,炮弹可能竖直向上运动,也可能是指向下运动.图(a)是速度 v 竖直向上的情况,大小 为 v ? v0 ? gt ;图(b)是速度 v 是竖直向下的情况,大小为 v ? v0 ? gt .如图所示,取 Ox 轴沿 水平方向, Oy 轴沿竖直方向.在图(a)中, Oy 轴竖直向上,;在图(b)中, Oy 轴竖直向下.将上 式在各自的坐标系中分解,均有

1 1 mvB cos ? ? mvC cos ? ? 0 3 3 1 1 mvB sin ? ? mvC sin ? ? mv 3 3
将 vC ? vB 代入,即可求得 B 、 C 两块碎片的速度大小为

vB ? vC ?

3 v0 ? gt 3v ? 2sin ? 2sin ?

C 块的运动方向与水平面的夹角 ? 的余弦为

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能量守恒

动量守恒

23

cos ? ? ? cos ?
因此

? ? π ??
由此可见, C 块的运动与 B 块的运动对称,对称面为过 Oy 轴且垂直于 Ox 轴的竖直平面. 2-25 如图所示,有一空气锤,质量为 m ? 200 kg ,由高度 h ? 0.45 m 处受工作气缸中 压缩空气的压力及重力的作用而落下,摩擦阻力可以忽略.已知工作气缸内压缩空气对锤头的 平均压力 F ? 7.00 ?103 N ,锤头与工件的碰撞时间为 t ? 0.010 s ,求锤头锻打工件时的平均 冲力. 解 设锤头到达工件,与工件接触时的速度为 v ,则对锤头,根据动能定理,有

( F ? mg )h ?
由此可得

1 mv 2 ? 0 2

v? ?

2( F ? mg )h m

2 ? (7.00 ?103 ? 200 ? 9.8) ? 0.45 m ? s ?1 200 ?1 ? 6.35 m ? s
设锻打过程中,锤头受到的竖直向上的平均冲力的大小为 F1 ,以竖直向下为正方向,则对 锤头,根据动量定理,有

? ? F ? mg ? F ? ?t ? 0 ? mv
1

由此可得

? mv ? F1 ? ? ? mg ? F ? ? ?t ? ? 200 ? 6.35 ? ?? ? 200 ? 9.8 ? 7.00 ? 103 ? N ? 0.010 ? ? 1.35 ? 105 N
工件所受的打击力 F1? 是 F1 的反作用力,大小亦为1.35 ?10 N ,方向竖直向下.
5

2-26 两个形状相同质量均为 m? 弧形光滑导轨 A 和 B ,放在光滑地板上,且在同一竖 直平面内, A 和 B 的下端均和地板相切,如图所示.今有一质量为 m 的小物体,由静止从高度 为 h0 的 A 的顶端下滑,求 m 在 B 导轨上上升的最大高度. 解 在小物体下滑的过程中,小物体、 导轨 A 和地球组成的系统机械能守恒.设小物体下 滑至地面时,物体沿水平向右运动的速度大小为 v ,导轨 A 沿水平向左运动的速度大小为 vA , 以地面为势能零点,有

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能量守恒

动量守恒

24

1 1 2 mv 2 ? m?vA ? mgh0 2 2
在此过程中,小物体和导轨 A 组成的系统在水平方向动量守恒:

mv ? m?vA ? 0
联立解此二方程,可得

v?

2m?gh0 m ? m?

在小物体沿导轨 B 上升的过程中,小物体、 导轨 B 和地球组成的系统机械能守恒.设小物 体沿导轨 B 上升到最大高度 h 时,二者一起向右运动的速度为 vB ,以地面为势能零点,有

1 1 2 mgh ? (m ? m?) vB ? mv 2 2 2
在此过程中,小物体和导轨 B 组成的系统在水平方向动量守恒:

(m ? m?)vB ? mv
联立解此二方程,可得

m?v2 h? 2(m ? m?) g
将v ?

2m?gh0 代入上式,可得小物体上升的最大高度为 m ? m?

? m? ? h?? ? h0 ? m ? m? ?
2


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