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2006年高考数学常用公式及结论

时间:2010-08-22


高考数学常用公式及结论 高考数学常用公式及结论 公式及
2011 江苏高考数学备考交流:keren.dreamweaver@163.com 江苏高考数学备考交流: 1. A ∩ B = A A ∪ B = B A B CU B CU A A ∩ CU B = Φ CU A ∪ B = R .
n n n

3.从集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , , a n } 到集合 B = {b1 , b2 , b3 , , bm } 的映射有 m 个.
n

2.若 A = {a1 , a 2 , a 3 , , a n } ,则A的子集有 2 个,真子集有 2 -1 个,非空真子集有 2 -2 个. 4.真值表 p q 非p 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 真 5.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 6.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p p或q 真 真 真 假 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立 p且q 真 假 假 假 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n 1 )个 至少有( n + 1 )个

p 或q p 且q

p 且 q p 或 q

7.充要条件 (1)充分条件:若 p q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p q ,且 q p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 8.二次函数的解析式的三种形式: ①一般式 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ;

b 4ac b 2 ②顶点式 f ( x ) = a x + ; + 2a 4a ③零点式 f ( x ) = a ( x x1 )( x x2 )( a ≠ 0) .
2

9.函数的的单调性: (1)设 x1 x2 ∈ [a, b], x1 ≠ x2 那么
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f ( x1 ) f ( x2 ) > 0 f ( x)在[a, b]上是增函数; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 ) ] < 0 < 0 f ( x)在[a, b ] 上是减函数. x1 x2 (2)设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导,如果 f ′( x ) > 0 ,则 f (x ) 为增函数; 如果 f ′( x ) < 0 ,则 f (x ) 为减函数. 10.函数 y = f ( x) 的图象的对称性: ① y = f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称 f ( a + x ) = f (a x ) f (2a x ) = f ( x ) ; a+b 对称 f (a + x) = f (b x) f (a +b x) = f (x) ; ② y = f ( x) 的图象关于直线 x = 2 ③ y = f ( x) 的图象关于点 (a, 0) 对称 f ( x ) = f (2a x ) f (a + x ) + f (a x ) = 0 ,

( x1 x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 ) ] > 0

y = f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称 f ( x ) = 2b f (2a x ) f (a + x ) + f (a x ) = 2b .

11.两个函数的图象的对称性: ①函数 y = f ( x) 与函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称; ②函数 y = f ( x a ) 与函数 y = f ( a x) 的图象关于直线 x = a 对称; ③函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称的解析式为 y = f (2a x ) ; ④函数 y = f ( x) 的图象关于点 (a, 0) 对称的解析式为 y = f (2a x) ; ⑤函数 y = f ( x ) 和函数 y = f
1

( x) 的图象关于直线 y = x 对称.

12.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关 于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶 函数.

+ + a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x ) 是奇函数 P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 14.若将函数 y = f (x ) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y = f ( x a ) + b 的图象;若将 曲线 f ( x, y ) = 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x a, y b) = 0 的图象.
n

13.多项式函数 P ( x ) = an x + an 1 x

n 1

15.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x ) = cx , f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 f ( x ) = a x , f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 . (3)对数函数 f ( x ) = log a x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f ( a ) = 1( a > 0, a ≠ 1) . (4)幂函数 f ( x ) = xα , f ( xy ) = f ( x ) f ( y ), f ' (1) = α . (5) 余 弦 函 数 f ( x ) = cos x , 正 弦 函 数 g ( x ) = sin x , f ( x y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g ( y) ,

f (0) = 1, lim
x →0

g ( x) =1. x

16.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x ) = f ( x + a ) ,则 f (x ) 的周期 T=a; (2) f ( x ) = f ( x + a ) = 0 ,

1 ( f ( x ) ≠ 0) , f ( x) 1 或 f ( x + a) = ( f (x) ≠ 0) , f (x)
或 f ( x + a) =

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1 + 2

f ( x) f 2 ( x) = f ( x + a ), ( f ( x) ∈ [ 0,1]) ,则 f (x) 的周期 T=2a;

(3) f ( x) = 1

1 ( f ( x) ≠ 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f ( x + a) f ( x1 ) + f ( x2 ) (4) f ( x1 + x2 ) = 且 f ( a ) = 1( f ( x1 ) f ( x2 ) ≠ 1, 0 <| x1 x2 |< 2a ) , f (x ) 则 1 f ( x1 ) f ( x2 )

的周期 T=4a; (5) f (x) + f (x + a) + f (x + 2a) f (x + 3a) + f (x + 4a)

= f (x) f (x + a) f (x + 2a) f (x + 3a) f (x + 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x + a ) = f ( x ) f ( x + a) ,则 f (x ) 的周期 T=6a.
17.分数指数幂: a
b
m n

= a ;a
n m



m n

=

1 a
m n

(以上 a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).

18.① a = N log a N = b ; ③ log a

② log a (MN ) = log a M + log a N ;

M n = log a M log a N ; ④ log am b n = log a b . N m log m N log N .对数恒等式: a a = N . 19.对数的换底公式: log a N = log m a
20.数列 {an } 的前 n 项和为 sn = a1 + a2 + + an ,则 an =

n =1 s1 , . sn sn 1 , n ≥ 2
an am . nm

21.①等差数列 {a n } 的通项公式: a n = a1 + (n 1)d ,或 a n = a m + ( n m) d d = ②前 n 项和公式: sn =

n(a1 + an ) n(n 1) d 1 = na1 + d = n 2 + (a1 d )n . 2 2 2 2 22.对于等差数列 {a n } ,若 n + m = p + q (m、n、p、q 为正整数),则 a n + a m = a p + a q .
*

23.若数列 {a n } 是等差数列, S n 是其前 n 项和, k ∈ N ,那么 S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 成等 差数列,其公差 D = k d ,如下图所示:
2

S3k

a1 + a 2 + a3 + + ak + ak +1 + + a2 k + a2 k +1 + + a3k
Sk S2k Sk S3k S 2 k

.
2

24.数列 {a n } 是等差数列 an = kn + b ;数列 {a n } 是等差数列 S n = An + Bn . ①前 n 项的和 S n = S 奇 + S 偶 ; ②当 n 为偶数时, S 偶 S 奇 = ③当 n 为奇数时,则 S 奇
n d ,其中 d 为公差; 2 S n +1 n 1 n +1 S 偶 = a中 , S 奇 = a中 , S 偶 = a中 , 奇 = , 2 2 S偶 n 1

25.设数列 {a n } 是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项的和, S n 是前 n 项的和,则

S + S偶 Sn = 奇 = n (其中 a中 是等差数列的中间一项) S奇 S偶 S 奇 S 偶

26.若等差数列 {a n } 和 {bn } 的前 2n 1 项的和分别为 S 2 n 1 和 T2 n 1 ,则

a n S 2 n 1 = . bn T2 n 1

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27.①等比数列 {a n } 的通项公式: a n = a1 q

n 1

=

a a1 n q ;或 a n = a m q n m q n m = n . am q

28.对于等比数列 {a n } ,若 n + m = u + v (n、m、u、v 为正整数),则 a n a m = a u a v . 列,其公比为 Q = q . 30.分期付款(按揭贷款)
k

a1 (1 q n ) a1 an q ,q ≠1 ,q ≠1 ②前 n 项和公式: sn = 1 q ,或 sn = 1 q . na , q = 1 na , q = 1 1 1

29.数列 {a n }是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ∈ N * ,那么 S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 成等比数

ab(1 + b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 + b)n 1 1 1 1 1 1 1 1 31.裂项法:① = ; ② = ; n(n + 1) n n + 1 (2n 1)(2n + 1) 2 2n 1 2n + 1 n 1 1 1 1 = ③ = a b ;④ . (n + 1)! n ! (n + 1)! a + b a b
每次还款 x =

(

)

32.常见三角不等式 (1)若 x ∈ (0, (2) 若 x ∈ (0,

π

2

) ,则 sin x < x < tan x .

) ,则 1 < sin x + cos x ≤ 2 . 2 (3) | sin x | + | cos x |≥ 1 .
2 2

π

33.同角三角函数的基本关系式:① sin θ + cos θ = 1 , 1 + tan α = sec α ,
2 2

1 + cot 2 α = csc 2 α ; ② tan θ =
34.正弦、余弦的诱导公式:

sin θ ; ③ tan θ cotθ = 1 . cosθ

n n 2 nπ nπ (1) sin α , n为偶数 (1) 2 co s α , n为偶数 sin( + α ) = +α) = ; co s( . n 1 n +1 2 2 (1) 2 co s α , n为奇数 (1) 2 sin α , n为奇数

即:“奇变偶不变,符号看象限”.如 cos α +



π

= sin α , cos(π α ) = cos α . 2

35.和角与差角公式 ① sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β ;

tan(α ± β ) =

tan α ± tan β . 1 tan α tan β

② sin(α + β ) sin(α β ) = sin 2 α sin 2

β ; cos(α + β ) cos(α β ) = cos 2 α sin 2 β .

③ a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ) (其中,辅助角 所在象限由点 (a, b) 所在的象限决 定, tan =

b ). a

36.二倍角公式: ① sin 2α = 2 sin α cos α . ② cos 2α = cos α sin α = 2 cos α 1 = 1 2sin α (升幂公式).
2 2 2 2

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1 + cos 2α 1 cos 2α , sin 2 α = (降幂公式). 2 2 2 tan α 1 tan 2 α 2 tan α 37.万能公式: sin 2α = ; 2α = cos ; 2α = tan (正切倍角公式) . 2 2 1 + tan α 1 + tan α 1 tan 2 α α sin α 1 cos α 38.半角公式: tan = = . 2 1 + cos α sin α cos 2 α =
39.三函数的周期公式: ①函数 y = A sin(ω x + ) 及 y = A cos(ω x + ) 的周期 T = ②函数 y = A tan (ωx + φ ) 的周期 T =



ω

(A、 ω、 为常数, A≠0). 且

π (A、ω、 为常数,且 A≠0). ω
π
2 , 2k π +

40. y = sin x 的单调递增区间为 2kπ



π
2

k ∈ Z ,单调递减区间为

π π 3π 2kπ + 2 , 2kπ + 2 k ∈ Z ,对称轴为 x = kπ + 2 (k ∈ Z ) ,对称中心为 ( kπ , 0 ) (k ∈ Z ) . 41. y = cos x 的单调递增区间为 [ 2kπ π , 2kπ ] k ∈ Z ,单调递减区间为 [ 2kπ , 2kπ + π ] k ∈ Z ,
, 0 (k ∈ Z ) . 2 π π kπ 42. y = tan x 的单调递增区间为 kπ , kπ + k ∈ Z ,对称中心为 ,0 (k ∈ Z ) . 2 2 2
对称轴为 x = kπ ( k ∈ Z ) ,对称中心为 kπ + 43.三角函数变换: ①相位变换: y = sin x 的图象 → y = sin ( x + φ ) 的图象;
向左(φ > 0 )或向右 (φ < 0 )平移 φ 个单位



π

②周期变换: y = sin x 的图象 ω → y = sin ωx 的图象; ③振幅变换: y = sin x 的图象 → y = A sin x 的图象.
纵坐标伸长 ( A>1)或缩短 ( 0< A<1)到原来的A倍

1 横坐标伸长 (0 <ω <1)或缩短 (ω >1)到原来的 倍

a b c = = = 2 R ( R 为 ABC 的外接圆的半径) ; sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ②余弦定理 a = b + c 2bc cos A ;b = c + a 2ca cos B ;c = a + b 2ab cos C . 1 1 1 45.三角形面积公式:① S = aha = bhb = chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高); 2 2 2 1 1 1 ② S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2
44.①正弦定理 46.在△ABC 中,有 ① A + B + C = π C = π ( A + B)

C π A+ B = 2C = 2π 2( A + B ) ; 2 2 2 ② a > b sin A > sin B (注意是在 ABC 中).

47.平面上两点间的距离公式: d A, B =

( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2 ,其中 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) .

48.向量的平行与垂直: 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0 ,则 ① a ∥ b b =λ a x 1 y2 x2 y1 = 0 ; ② a ⊥ b ( a ≠ 0 ) a b =0 x 1 x2 + y1 y2 = 0 .
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49.线段的定比分点公式:设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P P2 的分点, λ 是实数, 1 1 且 P P = λ PP2 ,则 1

x1 + λ x2 x = 1+ λ OP + λ OP2 1 OP = 1 OP = tOP + (1 t )OP2 (其中 t = ). 1 1+ λ 1+ λ y = y1 + λ y2 1+ λ
50.若 OA = xOB + yOB ,则 A 、 B 、 C 共线的充要条件是 x + y = 1 . 51.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ). 3 3 x' = x + h x = x' h 52.①点的平移公式 ' OP ' = OP + PP ' (图形 F 上的任意一点 ' y = y + k y = y k
则其重心的坐标是 G ( P(x,y)在平移后的图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的坐标为 ( h, k ) ); ②函数 y = f ( x ) 按向量 a = (h, k ) 平移后的解析式为 y k = f ( x h ) . 53.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P ( x + h, y + k ) .
' ' ' ' ' '

(2) 函数 y = f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为 y = f ( x h) + k .
' '

(3) 图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y = f ( x) ,则 C 的函数解析
' '

式为 y = f ( x + h) k . (4) 曲 线 C : f ( x, y ) = 0 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为 f ( x h, y k ) = 0 .
' '

(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 54. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 (1) O 为 ABC 的外心 OA = OB = OC . (2) O 为 ABC 的重心 OA + OB + OC = 0 . (3) O 为 ABC 的垂心 OA OB = OB OC = OC OA . (4) O 为 ABC 的内心 aOA + bOB + cOC = 0 . (5) O 为 ABC 的 ∠A 的旁心 aOA = bOB + cOC . 55.常用不等式:
2 2 2

a2 + b2 (1) a, b ∈ R a + b ≥ 2ab ab ≤ (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2
2 2

a+b a+b (2) a, b ∈ R ≥ ab ab ≤ (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 2
2
+

(3) a + b + c ≥ 3abc a + b + c ≥ 33 abc (当且仅当 a = b = c 时取“=”号).
3 3 3

(4) a b ≤ a ± b ≤ a + b ,(注意等号成立的条件). (5)

1 1 1 + a b

≤ ab ≤

a+b a 2 + b2 ≤ (a > 0, b > 0) . 2 2

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(6)柯西不等式: ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ( ac + bd ) 2 , a, b, c, d ∈ R. 56.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有 (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ; (2)如果和 x + y 是定值 s ,那么当 x = y 时积 xy 有最大值
2

1 2 s . 4

57.解一元二次不等式 ax + bx + c > 0(或 < 0) :若 a > 0 ,则对于解集不是全集或空集时,对应 的解集为“大两边,小中间”.如:当 x1 < x 2 , ( x x1 )( x x 2 ) < 0 x1 < x < x 2 ;

(x x1 )(x x 2 ) > 0 x > x2或x < x1 .
① x < a x < a a < x < a ;
2 2

58.含有绝对值的不等式:当 a > 0 时,有 ② x >a x >a x>a或x < a .
2 2

59.分式不等式: (1) (3)

f (x ) > 0 f (x ) g (x ) > 0 ; g (x )

(2)

f (x ) g (x ) ≥ 0 f (x ) g (x ) ≤ 0 f (x ) f (x ) ≥0 ; (4) ≤0 . g (x ) g (x ) g (x ) ≠ 0 g (x ) ≠ 0

f (x ) < 0 f (x ) g (x ) < 0 ; g (x )

60.指数不等式与对数不等式

f ( x) > 0 (1)当 a > 1 时, a >a f ( x) > g ( x) ; log a f ( x) > log a g ( x) g ( x) > 0 . f ( x ) > g ( x) f ( x) > 0 f ( x) g (x) (2)当 0 < a < 1 时, a >a f ( x) < g ( x) ; log a f ( x) > log a g ( x) g ( x) > 0 . f ( x) < g ( x)
f ( x) g (x)

61.斜率公式: k =

y2 y1 ,其中 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) . 1 x2 x1 b (a ≠ 0) . a

直线的方向向量 v = (a, b ) ,则直线的斜率为 k = 62.直线方程的五种形式

(1)点斜式: y y1 = k ( x x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式: y = kx + b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式: (4)截距式:

y y1 x x1 = ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ). 1 y2 y1 x2 x1

x y + = 1 (其中 a 、 b 分别为直线在 x 轴、 y 轴上的截距,且 a ≠ 0, b ≠ 0 ). a b (5)一般式: Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0).
63.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 ,则 ① l1 ∥ l 2 k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ; ② l1 ⊥ l2 k1k2 = 1 . (2)若 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 ,则
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① l1 // l 2 A1 B2 A2 B1 = 0 且 A1C 2 A2 C1 ≠ 0 ;② l1 ⊥ l2 A1 A2 + B1 B2 = 0 . 64.①夹角公式: tan α =|

k2 k1 | .( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 , k1k2 ≠ 1 ); 1 + k2 k1 k2 k1 ( l1 : y = k1 x + b1 ,2 : y = k 2 x + b2 , k1k2 ≠ 1 ). l 1 + k2 k1

(注意以下两种特殊情形下的夹角:① l1 ⊥ l2 ,② l1 或 l 2 的斜率不存在). ②到角公式:直线 l1 到 l2 的角是 tan α = 65.点到直线的距离 d =

(点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ). A2 + B 2 66.两条平行线间的距离:若直线 l1 : Ax + By + C1 = 0 ; l 2 : Ax + By + C 2 = 0 ,则 | C C1 | d= 2 . A2 + B 2 67. Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax + By + C = 0 ,则 Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平面区域是: 若 B ≠ 0 ,当 B 与 Ax + By + C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax + By + C 异 号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B = 0 ,当 A 与 Ax + By + C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax + By + C 异 号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 68. ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 或 < 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ( A1 A2 B1 B2 ≠ 0 ) ,则

| Ax0 + By0 + C |

( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 或 < 0 所表示的平面区域是: ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) < 0 所表示的平面区域上下两部分.
69.圆的方程的四种形式 (1)圆的标准方程: ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 . (2)圆的一般方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 4 F >0). (3)圆的参数方程:

x = a + r cos θ . y = b + r sin θ

(4)圆的直径式方程: ( x x1 )( x x2 ) + ( y y1 )( y y2 ) = 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、

B ( x2 , y2 ) ).
70.圆中有关重要结论: (1)若 P( x0 , y0 )是圆 x 2 + y 2 = r 2 上的点,则过点 P( x0 , y0 )的切线方程为 xx0 + yy0 = r .
2

(2) 若 P( x0 , y0 )是圆 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 上的点 ,则过 点 P( x0 , y0 )的切线 方程为

( x0 a )( x a ) + ( y0 b)( y b) = r 2 .
(3)若 P( x0 , y0 )是圆 x 2 + y 2 = r 2 外一点,由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切点分别为 A、B 则直线 AB 的方程为 xx0 + yy0 = r .
2

(4)若 P( x0 , y0 )是圆 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 外一点, 由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切点 分别为 A、B,则直线 AB 的方程为 ( x0 a )( x a ) + ( y0 b)( y b) = r .
2

71.圆的切线方程
2 2 (1)已知圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 .

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①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 + x) E ( y0 + y ) + + F = 0. 2 2 D( x0 + x) E ( y0 + y ) 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x + y0 y + + + F = 0 表示过两个切点的切 2 2 x0 x + y0 y +
点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y y0 = k ( x x0 ) , 再利用相切条件求 k, 这时必有两 条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y = kx + b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x 2 + y 2 = r 2 . ①过圆上的 P0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x + y0 y = r ;
2

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y = kx ± r 1 + k .
2

72.椭圆

x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 . 2 a b y = b sin θ

73.(1)椭圆

x2 y2 a2 + 2 = 1(a > b > 0) 的准线方程为 x = ± ,焦半径公式 PF = a ± ex p ; a2 b c 2 2 x y a2 (2)椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的准线方程为 y = ± ,焦半径公式 PF = a ± ey p . b a c x2 y2 2b 2 74.(1)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为 ; a b a x2 y2 2b 2 (2) 双曲线 2 2 = 1( a > 0, b > 0) 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为 . a b a
75. 椭圆的切线方程

xx y y x2 y2 (1)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y + 2 = 1. a2 b x2 y2 2 2 2 2 2 (3)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A a + B b = c . a b x2 y2 a2 76.(1)双曲线 2 2 = 1( a > 0, b > 0) 的准线方程为 x = ± ,焦半径公式 PF = a ex p ; a b c x2 y 2 a2 (2)双曲线 2 2 = 1( a > 0, b > 0) 的准线方程为 y = ± ,焦半径公式 PF = a ey p . b a c x2 y2 b 77.(1)双曲线 2 2 = 1( a > 0, b > 0) 的渐近线方程为 y = ± x ; a b a 2 2 x y a (2)双曲线 2 2 = 1( a > 0, b > 0) 的渐近线方程为 y = ± x . b a b
78. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 02 = 1 . a b a b
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(2)过双曲线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a 2 b2

x0 x y0 y 2 = 1. a2 b
( 3 ) 双 曲 线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a 2 b2

A2 a 2 B 2 b 2 = c 2 . x2 y2 79.(1)P 是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点,F 1 、F 2 是它的两个焦点,∠F 1 P F 2 =θ,则 a b
△P F 1 F 2 的面积= b tan (2)P 是双曲线
2

θ

2

.

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点,F 1 、F 2 是它的两个焦点,∠F 1 P F 2 =θ,则 a2 b2
2

△P F 1 F 2 的面积= b cot
2

θ

2

.
2

y 80.抛物线 y = 2 px 上的动点 P ( x 0 , y 0 ) 可设为 P ( 0 , y 0 ) 或 P ( 2 pt 2 ,2 pt ) . 2p
81.(1)P( x0 , y0 )是抛物线 y 2 = 2 px 上的一点, F 是它的焦点,则 PF = x 0 +
2 (2)抛物线 y = 2 px 的焦点弦长 l =

p ; 2

2p ,其中 θ 是焦点弦与 x 轴的夹角; sin 2 θ (3) 抛物线 y 2 = 2 px 的通径长为 2 p .
82. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 = 2 px 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p ( x + x0 ) . (2)过抛物线 y 2 = 2 px 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y = p(x + x0 ) . (3)抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB 2 = 2 AC . 83.直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则

AB = ( x1 x2 )2 + ( y1 y2 ) 2 ,或 AB = x1 x 2 1 + k 2 , 或 AB = y1 y 2 1 +
84.圆锥曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 y ) = 0 . 85.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是:

1 . k2

F (x

2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2
2

86.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,用 x0 x 代 x ,用 y0 y 代 y 2 ,用

x0 y + xy0 x +x y +y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y + xy0 x +x y +y Ax0 x + B 0 + Cy0 y + D 0 + E 0 + F = 0 ,曲线的切线,切点弦,中点弦, 切线, 切线 切点弦,中点弦, 2 2 2
弦中点方程均是此方程得到. 弦中点方程
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87.共线向量定理:对空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ),有 a ∥ b 存在实数λ使 a =λ b . 88.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP = xOA + yOB + zOC , 则四点 P、A、B、C 共面 x + y + z = 1 . 89. 空 间 两 个 向 量 的 夹 角 公 式 : cos a, b =

a1b1 + a 2 b2 + a 3b3 a1 + a 2 + a3 b1 + b2 + b3
2 2 2 2 2 2

,其中度

a = (a1 , a 2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) .
90. 直 线 AB 与 平 面

α 所 成 的 角 : sin β = cos AB, m =

AB m AB m

, 故

β = arcsin

AB m AB m

,其中 m 为平面 α 的法向量.

91. 锐 二 面 角 α l β 的 平 面 角 : cos θ = cos m, n

, 故

θ = arccos

mn mn



θ = π arccos

mn mn

,其中 m 、 n 为平面 α 、 β 的法向量.

92.空间两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) B(x 2 , y 2 , z 2 ) ,则

d A, B =

(x2 x1 )2 + ( y 2 y1 )2 + (z 2 z1 )2 .
1 a
2

*93.点 Q 到直线 l 的距离: h =

(a b ) (a b)

2

,点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量

a = PA ,向量 b = PQ .
94.点 B 到平面 α 的距离: d =

AB n n

, n 为平面 α 的法向量, AB 是面 α 的一条斜线, A ∈ α .

95. (1)设直线 OA 为平面 α 的斜线,其在平面内的射影为 OB , OA 与 OB 所成的角为 θ1 , OC 在平面 α 内,且与 OB 所成的角为 θ 2 ,与 OA 所成的角为 θ ,则 cos θ = cos θ1 cos θ 2 . (2)若经过 ∠BOC 的顶点的直线 OA 与 ∠BOC 的两边 OB 、 OC 所在的角相等,则 OA 在 ∠BOC 所在平面上的射影为 ∠BOC 的角平分线;反之也成立. 96. 面积射影定理: S = 锐二面角的为 θ ). 97.体积公式: V锥 =

S' ' (平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成 cos θ

1 Sh ; V柱 = Sh . 3

98.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多 边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶 点到截面距离与棱锥高的平方比.
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99. 球的半径是 R,则其体积是 V =

4 3 π R ,其表面积是 S = 4π R 2 . 3

100.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4 101.分类计数原理: N = m1 + m2 + + mn .分步计数原理: N = m1 × m2 × × mn .
棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 102.排列数公式: An = n( n 1) ( n m + 1) =
m

n! * ( n , m ∈N ,且 m ≤ n ). N (n m)! n m m 1 m m 103.排列恒等式:① An = ( n m + 1) An ; ② An = Anm1 ; ③ Anm = nAn 1 ; 1 nm n n +1 n m m m 1 ④ nAn = An +1 An ; ⑤ An +1 = An + mAn .
m n =

104.组合数公式: C

Anm n(n 1) (n m + 1) n! * = = ( n , m ∈N ,且 m ≤ n ). N m Am 1× 2 × × m m!(n m)!
m nm

105.组合数的性质:① C n = C n 106.组合恒等式: (1) Cn =
m

;② C n + C n

m

m 1

= C n +1 ;③ kCn = nCn 1 .
m
k

k 1

n m + 1 m 1 n n m Cn ;(2) Cnm = Cnm1 ;(3) Cnm = Cn 1 ; 1 m nm m
= 2 n ;(5) C r + C r +1 + C r + 2 + + C n = C n +1 .
r r r r
1 2

(4)

∑C
r =0 0

n

r n

r +1

(6) C n + C n + C n + + C n + + C n = 2 .
r n n

(7) C n + C n + C n + = C n + C n + C n + 2
1 3 5 0 2 4

n 1

.

(8) C n + 2C n + 3C n + + nC n = n 2
1 2 3

n

n 1

.

(9) C m C n + C m C n + + C m C n = C m + n .
r
0 1 0r

r 1

r

r

(10) (C n ) + (C n ) + (C n ) + + (C n ) = C 2 n .
0 2 1 2 2 2

n 2

n

107.排列数与组合数的关系是: An = m Cn . !
m m

108.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” ①某 (特) 元必在某位有 An 1 种; (特) ②某 元不在某位有 An An 1(补集思想) An 1 An 1 =
m
1

m 1

m 1

m 1

(着眼位置) = An 1 + Am 1 An 1 (着眼元素)种.
m
1

m 1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: k ( k ≤ m ≤ n) 个元在固定位的排列有 Ak An k 种.
k mk

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②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An k +1 Ak 种.注:此类问题常用 捆绑法; ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组 ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ≤ h + 1 ) 互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah +1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 n > m + 1 时,无解;当 n ≤ m + 1 时,有
n Am +1 n = C m +1 种排法. n An n
h k

n k +1

k

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cm + n . 109.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配方法 数共有 N = C mn C mn n C mn 2 n C 2 n C n =
n n n n n

(mn)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分配 方法数共有
n n n n n Cmn Cmn n Cmn 2 n ... C2 n Cn (mn)! = . m! m!(n!) m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须 被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配

N=

nm n n 方法数共有 N = C p1 C p 2 n1 ...C n m m!=

p!m! . n1!n2 !...nm !

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、… 个相等,则其分配方法数有 N =

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5) (非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分为任意的 n1 ,n2 , …, =

nm n n C p1 C p 2 n1 ...Cnm m!

nm 件 无 记 号 的 m 堆 , 且 n1 , n2 , … , nm 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 , 则 其 分 配 方 法 数 有 p! N= . n1!n2!...nm! (6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等,则 p! 其分配方法数有 N = . n1!n2!...nm !(a!b!c!...) (7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p = n1 +n2 + +nm )个物体分给甲、 乙、丙, ……
等 m 个人, 物体必须被分完, 如果指定甲得 n1 件, 乙得 n2 件, 丙得 n3 件, …时, 则无论 n1 , 2 , n …,

nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
n n nm N = C p1 C p 2 n1 ...Cnm =

p! . n1!n2!...nm!

110. “错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为: 贝努利装错笺问题

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1 1 1 1 + + (1)n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 f (n) = n ![
1 2 3 4 f (n, m) = n ! Cm (n 1)!+ Cm (n 2)! Cm (n 3)!+ Cm (n 4)! p m + (1) p Cm (n p)!+ + (1)m Cm (n m)!
1 2 3 4 Cm C m C m Cm Cp Cm + 2 2 + 4 + (1) p m + + (1) m m ] . 1 An An An An Anp Anm

= n ![1

111.二项式定理: ( a + b) = C n a + C n a
n 0 n 1

n 1

2 r n b + C n a n 2 b 2 + + C n a nr b r + + C n b n ;

二项展开式的通项公式: Tr +1 = C n a
r

nr

b r (r = 0,2 ,n) . 1,

112.等可能性事件的概率: P ( A) = 个结果) 其中 m 个结果)

m 个结果等可能的出现, .(一次试验共有 n 个结果等可能的出现,事件 A 包含 n

个发生的概率: P ( A1 + A2 + + An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P ( An ) ;

113.①互斥事件 A 、 B 有一个发生的概率: P ( A + B ) = P( A) + P (B ) ; n 个互斥事件中有一 ② A 、 B 是两个任意事件,则 P ( A + B ) = 1 P A + B = 1 P A B . 发生的概率: P ( A1 A2 An ) = P( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) .
k k nk k 1

114.相互独立事件 A 、 B 同时发生的概率: P ( A B ) = P ( A) P (B ) ; n 个相互独立事件同时 115.独立重复试验中:①二项分布: Pn (k ) = C n p (1 p ) ②几何分布: g (k , p ) = (1 p )

(

)

(

)

= b(k ; n, p ) ;

p ,其中 k = 1,2,3,

*116.若离散型随机变量 ξ 的概率分布为

ξ
p

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

… …

其中 p1 + p 2 + + p n + = 1 ,则 ① Eξ = x1 p1 + x 2 p 2 + + x n p n + 为 ξ 的数学期望. ② Dξ = ( x1 Eξ ) p1 + ( x 2 Eξ ) p 2 + + ( x n Eξ ) p n + 为随机变量 ξ 的方差.
2 2 2

③数学期望与方差的性质: E (aξ + b ) = aEξ + b ; (aξ + b ) = a 2 Dξ ; ξ = Eξ 2 (Eξ ) . D D
2

①若 ξ ~ B (n, p ) ,则 Eξ = np, Dξ = np (1 p ) ; ②若 ξ ~ g (k , p ) ,则 Eξ =

1 1 p , Dξ = 2 ; p p

③若 ξ ~ 0 1 分布,则 Eξ = p, Dξ = p (1 p ) .
*117.正态分布密度函数 第 14 页 共 18 页

1 f ( x) = e 2π 6

( x )2
262

, x ∈ ( ∞, +∞ ) ,式中的实数μ, σ ( σ >0)是参数,分别表示个
y 标标标标标标标标 f( x) =

体的平均数与标准差. *118.标准正态分布密度函数

( )

1 e 2π

( )
x2 2

f ( x) =

x 1 e 2 , x ∈ ( ∞, +∞ ) . 2π 6

2

对于标准正态总体 N(0,1) Φ ( x 0 ) 是总体取值 , 小于 x 0 的概率,即

x

x

Φ( x0 ) = P ( x < x 0 ) ,
新疆 王新敞
奎屯

其中 x 0 > 0 , 图中阴影部分的面积表示为概率 P ( x < x0 ) 只要有标准正态分布表即可查表解决. 从图中不难发现:当 x 0 < 0 时, Φ ( x 0 ) = 1 Φ ( x 0 ) ;而当 x 0 = 0 时,Φ(0)=0.5
*119.对于 N ( , σ
新疆 王新敞 奎屯

x ) ,取值小于 x 的概率: F ( x ) = Φ . σ P ( x1 < x0 < x 2 ) = P ( x < x 2 ) P ( x < x1 )
2

= F ( x2 ) F ( x1 )

x x1 = Φ 2 Φ . σ σ
120. ①简单随机抽样:设一个总体中有有限个个体,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本, 且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样. ②系统抽样:当总体中的个体数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的 规则从每一部分抽取 1 个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样. ③分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分 所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样. 注:这三种抽样的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等; *121. lim C = C ( C 为常数) ;②如果 a < 1 ,那么 lim a = 0 ;
n
n →∞

n →∞

③无穷递缩等比数列所有项的和 S =

a1 ,其中 q < 1 , q ≠ 0 . 1 q

*122. lim f ( x ) = a lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = a
x → x0 x → x0 x → x0

*123.特殊数列的极限

0 (1) lim q = 1 n →∞ 不存在
n

| q |< 1 q =1 | q |< 1或q = 1
.

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0 ak n k + ak 1n k 1 + + a0 at (2) lim = n →∞ b n t + b n t 1 + + b t t 1 0 bk 不存在
(3) S = lim

(k < t ) (k = t ) . (k > t )

a1 1 q n 1 q
x → x0

(

n →∞

)=

a1 1 q

( S 无穷等比数列

{a q }
n 1 1

( | q |< 1 )的和).

*124.函数的极限定理
x → x0

lim f ( x) = a lim f ( x) = lim+ f ( x) = a .
x → x0

*125.函数的夹逼性定理

如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ; (2) lim g ( x) = a, lim h( x) = a (常数),则 lim f ( x) = a . 本定理对于单侧极限和 x → ∞ 的情况仍然成立. *126.几个常用极限 (1) lim
x → x0 x → x0 x → x0

1 = 0 , lim a n = 0 ( | a |< 1 ) ; n →∞ n →∞ n 1 1 (2) lim x = x0 , lim = . x → x0 x → x0 x x0

两个重要的极限

sin sin x (1) lim = 1 ; lim ( x →0 x x →0
(2) lim 1 +

(sin x) = lim = 1) x x
x →0 /

x

/

x →∞

1 = e (e=2.718281845…). x

x

*127.极限的四则运算法则: ①函数的极限:如果 lim f ( x ) = a, lim g ( x ) = b ,那么
x → x0 x → x0

x → x0

lim [ f ( x ) ± g ( x )] = a ± b ; lim [ f ( x ) g ( x )] = a b ; lim
x → x0

x → x0

f (x ) a = (b ≠ 0 ) . g (x ) b
n

n lim [Cf ( x )] = C lim f ( x ) ( C 为常数) lim [ f ( x )] = lim f ( x ) (n ∈ N ) . ; x → x0 x → x0 x → x0 x → x0

②数列的极限:如果 lim a n = a, lim bn = b ,那么
n →∞ n →∞

n →∞ 0

lim (a n ± bn ) = a ± b ; lim(a n bn ) = a b ; lim
n →∞

an a = (b ≠ 0 ) . n →∞ b b n

*128.(1)函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续必须满足三个条件:①函数 f ( x ) 在点 x = x 0 处有意义; ② lim f ( x ) 存在;③ lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0 x → x0

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(2)如果函数 f ( x ) 在点 x0 处可导,那么 f ( x ) 在点 x0 处连续;如果函数 f ( x ) 在点 x0 处连续,

f ( x ) 在该点却不一定可导.
*129.最大值最小值定理:如果 f ( x ) 是闭区间 [a, b ] 上的连续函数,那么 f ( x ) 在闭区间 [a, b ] 上 有最大值和最小值. 130. f (x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ′( x0 ) = y′
*131.瞬时速度

x = x0

= lim

f ( x0 + x) f ( x0 ) y . = lim x → 0 x x → 0 x

υ = s′(t ) = lim
*132.瞬时加速度

t → 0

s s (t + t ) s (t ) = lim . t → 0 t t v v(t + t ) v(t ) = lim . t →0 t t

a = v′(t ) = lim

t →0

*133. f (x ) 在 (a, b) 的导数

dy df y f ( x + x) f ( x) = lim = lim . = x → 0 x x → 0 dx dx x 134. 函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数的几何意义: f ′( x) = y′ =
函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数是曲线 y = f (x ) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ′( x0 ) ,相应 的切线方程是 y y0 = f ′( x0 )( x x0 ) 135.导数与函数的单调性的关系 (1) f ′( x ) > 0 与 f ( x ) 为增函数的关系: f ′( x ) > 0 能推出 f ( x ) 为增函数,但反之不一定. 如函数 f ( x ) = x 3 在 (∞,+∞) 上单调递增,但 f ′( x ) ≥ 0 ,∴ f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 为增函数的 充分不必要条件. (2) f ′( x ) ≥ 0 与 f ( x ) 为增函数的关系: f ( x ) 为增函数,一定可以推出 f ′( x ) ≥ 0 ,但反之 不一定,因为 f ′( x ) ≥ 0 ,即为 f ′( x ) > 0 或 f ′( x ) = 0 .当函数在某个区间内恒有 f ′( x ) = 0 , 则 f ( x ) 为常数,函数不具有单调性.∴ f ′( x ) ≥ 0 是 f ( x ) 为增函数的必要不充分条件. 136.常见函数的导数:① C ′ = 0 ( C 为常数) ;② x ④ (cos x ) = sin x ; (ln x ) = ⑤





1 ,(log a x ′

( )′ = nx (n ∈ Q ) ;③ (sin x )′ = cos x ; ′ ′ ′ 1 x ) = log e ;⑥ (e ) = e ,(a ) = a ln a . x
n n 1
x x x x a

*137.可导函数四则运算的求导法则:① (u ± v ) = u ′ ± v ′ ;② (uv ) = u ′v + uv ′ , (Cu ) = Cu ′ ;





′ u u ′v uv ′ (v ≠ 0) . ③ = v2 v
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*138.复合函数的求导法则 设函数 u = ( x ) 在点 x 处有导数 u x = ( x ) , 函数 y = f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数
' ' ' ' ' yu ' = f ' (u ) , 则 复 合 函 数 y = f ( ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 yx = yu u x , 或 写 作

f x' ( ( x)) = f ' (u ) ' ( x) .
*139.复数的相等

a + bi = c + di a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R ) *140.复数 z = a + bi 的模(或绝对值) | z | = | a + bi | = a 2 + b 2 .
*141.复数的四则运算法则 (1) (a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d )i ; (2) (a + bi ) (c + di ) = ( a c ) + (b d )i ; (3) ( a + bi )(c + di ) = ( ac bd ) + (bc + ad )i ; (4) ( a + bi ) ÷ (c + di ) =

ac + bd bc ad i (c + di ≠ 0) . + c2 + d 2 c2 + d 2

*142.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ∈ C ,有 交换律: z1 z2 = z2 z1 . 结合律: ( z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3 ) . 分配律: z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 . *143.复平面上的两点间的距离公式

d =| z1 z2 |= ( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2 ( z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i ).
*144.向量的垂直 非零复数 z1 = a + bi , z2 = c + di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 ,则

OZ1 ⊥ OZ 2 z1 z2 的实部为零

z2 2 2 2 为纯虚数 | z1 + z2 | =| z1 | + | z2 | z1

| z1 z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2 | z1 + z2 |=| z1 z2 | ac + bd = 0 z1 = λ iz2 (λ为非零
实数). *145.对虚数单位 i ,有 i 4 n +1 = i, i 4 n + 2 = 1, i 4 n + 3 = i, i 4 n = 1 . *146.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.如

a + bi 与 a bi (a, b ∈ R ) 互为共轭复数.
*147. ω 3 = 1

(ω 1)(ω 2 + ω + 1) = 0 ω = 1 或 ω = 1 ±
2

3 i. 2

注:带*的仅理科生掌握! 的仅理科生掌握!

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