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高三数学第一轮复习 第30课时—三角函数的性质(一)教案

时间:2012-11-23


一.课题:三角函数的性质(一)
二.教学目标:掌握三角函数的定义域、值域的求法;理解周期函数与最小正周期的意义, 会求经过简单的恒等变形可化为 y ? A sin(? x ? ? ) 或 y ? A tan(? x ? ? ) 的三角 函数的周期. 三.教学重点:求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提. 四.教学过程: (一)主要知识: 三角函数的定义域、值域及周期如下表: 函数 定义域 值域 周期

y ? sin x y ? cos x

R R

[?1,1] [?1,1]

2? 2?

y ? tan x

{ x | x ? k? ?

?
2

, k ? Z}

R

?

(二)主要方法: 1.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组).一般可用三角函数的图象或三角函数 线确定三角不等式的解.列三角不等式,既要考虑分式的分母不能为零;偶次方根被开方数 大于等于零;对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1,又要考虑三角函数本身的定义域; 2. 求三角函数的值域的常用方法: ①化为求代数函数的值域; ②化为求 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的值域;③化为关于 sin x (或 cos x )的二次函数式; 3.三角函数的周期问题一般将函数式化为 y ? Af (? x ? ? ) (其中 f ( x) 为三角函数,

? ? 0 ).
(三)例题分析: 例 1.求下列函数的定义域: (1) f ( x) ?

3 ? tan x ;(2) f ( x) ? tan(sin x) ;(3) f ( x) ?

解:(1)由 3 ? tan x ? 0 ,得 tan x ? ∴ f ( x) 的定义域为 (k? ? (2)∵ ?

3 ,∴ k? ?

?
2

? x ? k? ?

?
3

2 cos x ? 1 . tan x ? 1
(k ? Z ) .

?

?
2

, k? ? ](k ? Z ) . 2 3

?

? ?1 ? sin x ? 1 ?

?

2

,∴ x ? R .即 f ( x) 的定义域为 R .

1 ? cos x ? ?2 cos x ? 1 ? 0 ? 2 ?lg(tan x ? 1) ? 0 ? ? tan x ? 0 ? ? (3)由已知 ? tan x ? 1 ? 0 ,得 ? , ? ? tan x ? ?1 ? x ? k? ? ? ( k ? Z ) ? ? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 k? ? 3 ? x ? 2 k? ? 3 ? ∴ ? x ? k? (k ? Z ) , ? ? ? ? k? ? ? x ? k? ? 4 2 ?
用心 爱心 专心 -1-

, 2k? ) ? (2k? , 2k? ? )( k ? Z ) . 4 3 2 2sin x cos x 3 ? sin x 1 ? sin x 例 2. 求下列函数的值域:1) ? ( y ( y ;2) ? log 2 ( y ;3) ? . 1 ? sin x 3 ? sin x 3 ? cos x 解:由题意 1 ? sin x ? 0 , 2sin x(1 ? sin 2 x) 1 1 ∴y? ? 2sin x(1 ? sin x) ? ?2(sin x ? ) 2 ? , 1 ? sin x 2 2 1 1 ∵ ?1 ? sin x ? 1 ,∴ sin x ? 时, ymax ? ,但 sin x ? ?1 ,∴ y ? ?4 , 2 2 1 ∴原函数的值域为 (?4, ] . 2
(2) ?1 ? sin x ? 1 , ∵ 又∵ ∴函数 y ? log 2

∴原函数的定义域为 (2k? ?

?

?

3 ? sin x 的值域为 [?1,1] . 3 ? sin x

3 ? sin x 6 1 3 ? sin x ∴ ? ∴ ? ? 1, ? 2 , ?1 ? y ? 1 , 3 ? sin x 3 ? sin x 2 3 ? sin x

1 ? sin x 得 sin x ? y cos x ? 3 y ? 1 ,∴ y 2 ? 1sin( x ? ? ) ? 3 y ? 1 , 3 ? cos x 1 ?y 这里 cos ? ? , sin ? ? . 1? y2 1? y2 3 ∵ | sin( x ? ? ) |? 1 ,∴ | 3 y ? 1|? y 2 ? 1 .解得 0 ? y ? , 4 3 ∴原函数的值域为 { y | 0 ? y ? } . 4
(3)由 y ? 例 3.求下列函数的周期:

sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? cos 4 x ? sin 4 x 3 ; (1)y ? (2)y ? 2sin( x ? ) sin x ; (3)y ? . ? 2 cos 4 x ? sin 4 x cos 2 x ? cos(2 x ? ) 3 ? 1 3 3 sin(2 x ? ) sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 6 ? tan(2 x ? ? ) ,∴周期 2 2 解:(1) y ? ? ? 6 1 3 3 cos(2 x ? ) cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 6 2 2 ? T? . 2 (2) y ? ?2sin x cos x ? ? sin 2 x ,故周期 T ? ? . 1 ? tan 4 x ? ? (3) y ? ? tan(4 x ? ) ,故周期 T ? . 1 ? tan 4 x 4 4 n? 例 4.若 f (n) ? sin , ( n ? N * ) ,试求: f (1) ? f (2) ? ? ? f (102) 的值. 6 n? 解:∵ f (n) ? sin , ( n ? N * ) 的周期为 12, 6
用心 爱心 专心

?

-2-

而 f (1) ? f (2) ? ? ? f (12) ? sin

?
6

? sin

∴ f (1) ? f (2) ? ? ? f (96) ? 0 ,

2? 12? ? ? ? sin ? 0, 6 6

∴原式 ? f (97) ? f (98) ? ? ? f (102) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (6) ? 2 ? 3 . (四)巩固练习: 1.函数 y ? sin x ? 16 ? x 的定义域为 [?4, ?? ] ? [0, ? ] .
2

2.函数 y ? sin 6 x ? cos 6 x 的最小正周期为

?
2



五.课后作业:《高考 A 计划》考点 30,智能训练 2,5,12,14.

用心 爱心 专心

-3-


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