nbhkdz.com冰点文库

2012沈阳市高三年级教学质量监测(三)数学理科(答案)

时间:2012-05-21


年沈阳市高中三年级教学质量监测( 2012 年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)

数学(理科 参考答案及评分标准 数学 理科)参考答案及评分标准 理科
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1. A; 2. C; 3.A; 4. B; 5.A; 6.C; 7. D; 8.C; 9. C; 10. C; 11.A; 12.B. ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 填空题:

13. 0.477; 14. ;

3a 2 6 6 , ] ; 16. ①①①①. ; 15. [ ? 2 2 2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (Ⅰ)Q m ⊥ n ,∴ ( c ? 2a ) cosB + b cos C = 0 , Ⅰ

ur

r

………………………2 ……………………… 分

∴ ( 2sin A ? sin C ) cos B = sin B cos C ,
∴ 2sin A cos B = sin B cos C + cos B sin C ,∴ 2sin A cos B = sin A .
在 △ABC 中,∵ A, B ∈ ( 0, π ) ,∴ sin A > 0 , cos B = (Ⅱ)Q B = ………4 ……… 分

π 1 …………6 ,∴ B = .………… 分 ………… 2 3

π
3

,∴ A + C =

2π 3 cos 2 x ,∴ f ( x ) = 2 sin x cos x cos ( A + C ) ? 3 2

1 3 π? ? = ? sin 2 x ? cos 2 x = ? sin ? 2 x + ? . 2 2 3? ?

……………………………………9 …………………………………… 分

∴ f ( x ) 的最小正周期为 π .
3π π 7π ≤ x ≤ kπ + ,得 k π + (k ∈ Z) , 2 3 2 12 12 π 7π ? ? ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ? kπ + , kπ + …………………………12 ………………………… ( k ∈ Z ) .………………………… 分 12 12 ? ? ? 3 18. (Ⅰ) Q 在全部 50 人中随机抽取 1 人的概率是 , Ⅰ 5 ∴ 喜欢体育活动的男女员工共 30 人,其中,男生 20 人,列联表补充如下 其中,
由 2 kπ +

π

≤ 2x +

π

≤ 2 kπ +

喜欢体育运动 男生 女生 合计 20 10 30
1

不喜欢体育运动 5 15 20

合计 25 25 50

…………………………3 ………………………… 分 (Ⅱ)∵ K =
2

50(20 × 15 ? 10 × 5) ≈ 8.333 > 7.879, 30 × 20 × 25 × 25
2

∴ 有 99 %的把握认为喜欢体育运动与性别有关 的把握认为喜欢体育运动与性别有关. 的把握认为喜欢体育运动与性别有关
(Ⅲ) ξ 所有可能取值为 0,1, 2,3.

………………………………6 ……………………………… 分

ξ 的分布列为

1 1 3 1 P(ξ = 0) = ; P(ξ =1) = ; P(ξ = 2) = ; P(ξ = 3) = . ……………………………… 分 ……………………………… ……9 6 2 10 30

ξ
P

0
1 6

1
1 2

2
3 10

3
1 30

………………………………………………………………………… ………………………………………………………12 ∴ E (ξ ) = 1.2 . ………………………………………………………………………… 分 为正方形, 的中点, 19. (Ⅰ)证明:∵底面 ABCD 为正方形, PD = AB = 2 , E 为 PC 的中点, 证明: Ⅰ 证明 ∴ DE ⊥ PC . …………………………………………………………………2 ………………………………………………………………… 分 ∵ PD ⊥ 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,∴ PD ⊥ BC . 为正方形, ∵ ABCD 为正方形,∴ BC ⊥ CD , ∵ PD ∩ DC = D ,∴ BC ⊥ 平面 PCD , ∴ BC ⊥ DE ,Q BC ∩ PC = C ,∴ DE ⊥ 面PBC . 证明如下: (II)棱 BC 中点 G 使得 PA // 面 EFG . 证明如下:取 AD 中点 H ,连接 FH , ) 中点, ∵ E 、 F 分别为 PC 、 PD 中点,∴ EF ∥ CD 中点, ∵在正方形 ABCD 中, G 、 H 分别为 BC 、 AD 中点, 四点共面. ∴ GH ∥ CD ,∴ EF ∥ GH ,∴ E 、 F 、 H 、 G 四点共面 ∵在△ PAD 中, PA // FH , 且 FH ? 面 EFG, PA ? 面 EFG , ∴ PA // 面 EFG . ………………………………8 ……………………………… 分

法二:以 DA, DC , DP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系 , 法二: 则 D (0,0,0),A( 2,0,0), P (0,0,2), E (0,1,1), F (0,0,1), B ( 2,2,0), C (0,2,0) , 设 G ( x, y , z ) 设 CG = λ CB, 则( x, y ? 2, z ) = λ (1,0,0) ∴ G (λ ,2,0) . 则 面EFG 的法向量为 m = (1,0,1) .

Q PA ? m = 0,∴ PA // 面EFG . ……………………………………………………… 分 ………………………………………………………8
2

(Ⅲ)设 面EGC 的法向量为 n = (0,1,1) , ∴ cosθ =

1 的平面角为钝角, ,∵二面角 F ? EG ? C 的平面角为钝角, 2 1 ……………………………………12 ∴二面角 F ? EG ? C 的余弦值为 ? . …………………………………… 分 2

20.(1)(Ⅰ)Q 椭圆 C 的离心率 e = ( )Ⅰ

c 3 3 ,∴ = , 2 a 2

2 恰好是该椭圆的一个顶点, 又抛物线 y = 8 x 的焦点 ( 2, 0 ) 恰好是该椭圆的一个顶点,

∴ a = 2 ,∴ c =

3,b = 1 ,∴椭圆 C 的方程为

x2 + y2 = 1. 4

……………3 …………… 分

(Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率存在,由(Ⅰ)知 F

( (

3, 0 , 设 直 线 l 的 方 程 为 :

)

y =k x?

(

3 ,设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则点 P 0, ? 3k .

)

)

? x2 2 ? 4 + y =1 2 2 2 2 ,消去 y,得 (1 + 4 k ) x ? 8 3 k x + 12 k ? 4 = 0 , , 由? ?y = k x ? 3 ?

(

)

8 3k 2 12 k 2 ? 4 , x1 x 2 = . …………………………………6 ………………………………… 分 1 + 4k 2 1 + 4k 2 uuu r uuu uuu r r uuu r Q PA = λ1 AF , PB = λ2 BF ,∴ x1 , y1 + 3 k = λ1 3 ? x1 , ? y1 , ∴ x1 + x 2 =

(

)

(

)

∴ x2 , y 2 + 3k = λ2

(

)

(

3 ? x 2 , ? y 2 ,∴ λ1 =

)

x1 x2 , λ2 = . 3 ? x1 3 ? x2

……9 …… 分

∴ λ1 + λ2 =

3 ( x1 + x2 ) ? 2 x1 x2 x1 x2 ………………………12 + = = ?8 .……………………… 分 ……………………… 3 ? x1 3 ? x2 x1 x2 ? 3 ( x1 + x2 ) + 3
ax ab ? ax 2 ( a, b为常数 ) ,∴ f ′(x ) = x 2 + b 2 . x2 + b

21. Ⅰ)∵ f ( x ) = . (Ⅰ (

(

)

? ab ?a2 =0 ? (b+1) 1 ∵ f ′(1) = 0 及 f (1) = ,∴ ? a = 1 ,∴解方程组得 a = 1, b = 1 . 2 ? b+1 2 ?
3

…………2 ………… 分

(Ⅱ)∴ k = f ′ ( x0 ) =

(1 + x )
0

2

2 2

?

1 . 1 + x0 2

1


1 + x0

2

= t ,则 t ∈ (0,1] ,∴ k = f ′( x0 ) = 2t 2 ? t ,

当t =

1 1 ? 1 ? …………………6 时, k min = ? ;当 t = 1 时, kmax = 1 ,实数 k ∈ ? ? ,1? .………………… 分 ………………… 4 8 ? 8 ?

(Ⅲ) f ′( x ) =

1 ? x2 ′ (1 + x 2 )2 ,令 f (x ) > 0 ? x ∈ (? 1,1) f ( x 2 ) ? f ( x1 ) >0. x 2 ? x1

f ( x ) 的增区间为 (? 1,1) ,故当 0 < x1 < x 2 < 1 时,

…………………………………………………………………8 即 k > 0 ,故 x 0 ∈ (? 1,1) .………………………………………………………………… 分 ………………………………………………………………… (法一 由于 f ′( x0 ) = f ′(? x0) 故只需要证明 x 0 ∈ (0,1) 时结论成立 法一)由于 法一 , 由k =

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ,得 f ( x 2 ) ? kx 2 = f ( x1 ) ? kx1 , x 2 ? x1

记 h( x ) = f ( x) ? kx ,则 h( x 2 ) = h( x1 ) .

h ′( x) = f ′( x) ? k ,则 h ′( x0 ) = 0 ,
设 g (x ) =

(1 + x )

1? x

2

, x ∈ (0,1) , g ′( x ) =

x ?3 < 0, (1 + x) 3

g ( x ) 为减函数,故 f ′( x ) 为减函数, ………………………………………………… 分 为减函数, 为减函数, …………………………………………………10
= 为减函数; 故当 x > x 0 时,有 f ′( x ) < f ′( x 0) k ,此时 h ′( x ) < 0 , h( x ) 为减函数;
为增函数, 当 x < x 0 时, h ′( x ) > 0 , h( x ) 为增函数, 的唯一的极大值, 所以 h( x 0 ) 为 h(x ) 的唯一的极大值,因此要使 h( x 2 ) = h( x1 ) ,必有 x1 < x 0 < x 2 . 综上,有 x1 < x 0 < x 2 成立. 综上, 成立 ……………………………………………………12 分 ……………………………………………………

4

(法二) 由已知得 法二) 由已知得

(x

1 ? x0
2 0

2 2

+ 1 x0 + 1

)(

) (x

=

1 ? x1 x 2
2

1

+ 1 x2 + 1
2

)(

)



下面以反证法证明结论: 下面以反证法证明结论: 假设 x0 ≥ x 2 > x1 ,则 x0 > x1 x 2 ,
2

因为 x0 ∈ (? 1,1) , x1 , x 2 ∈ (0,1) ,所以 0 < 1 ? x0 < 1 ? x1 x 2 ,
2

又0 <

(x

1
2

0

+1

) (
2

<

1 ? x0 1 ? x1 x 2 1 < 2 ,故 2 2 2 2 2 x1 + 1 x2 + 1 x0 + 1 x0 + 1 x1 + 1 x 2 + 1
2

)(

)

(

)(

) ( )(

)(

)

与①式矛盾. 式矛盾

………………………………………………………………10 ……………………………………………………………… 分

假设 x0 ≤ x1 < x 2 ,同理可得 综上, 成立. 综上,有 x1 < x 0 < x 2 成立

(x

1 ? x0
2 0

2 2

+ 1 x0 + 1

)(

) (x

>

1 ? x1 x 2
2 2

1

+ 1 x2 + 1

式矛盾. ) ,与①式矛盾

……………………………………………………12 …………………………………………………… 分

22. 证明: Ⅰ)连结 AD,BC,因为 AB 为圆的直径, 证明: (Ⅰ 为圆的直径, ( , , 所以∠ 所以∠ADB=90°. ………………………………………………………………2 ……………………………………………………………… 分 ……………………4 …………………… 分

又∵EF⊥AB,∠EFA=90°,∴A、D、E、F 四点共圆, ⊥ , , 、 、 、 四点共圆, ∴∠DEA=∠DFA. ∠ ∴∠

………………………………………………………………5 ……………………………………………………………… 分

…………………………………………… …………………………………6 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BD?BE=BA?BF. …………………………………………… 分 AB AC ∵△ABC∽△ ∽△AEF,∴ ……………………8 又∵△ ∽△ , = ,∴AB?AF=AE?AC, , …………………… 分 AE AF ………………………………10 ∴BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF=AB(BF-AF)=AB2 . ……………………………… 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. ( 坐标系与参数方程. 坐标系与参数方程

1 ? ?x = 1 + 2 t, ? 为参数) ………………………………2 (t 为参数 ……………………………… 分 解.(I) l 的标准式参数方程为 ? () 3 ? y= t. ? 2 ? C1 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 4. …………………………………………… 分 ……………………………………………4
5

(II) C2 的直角坐标方程为 )

x2 y 2 + = 1 . ………………………………………… 分 …………………………………………6 4 b2

1 ? ? x = 1 + 2 t, ? 为参数)代入 方程并整理得 (t 为参数 代入 C2 方程并整理得 把 l 的参数方程为 ? ? y = 3 t. ? 2 ? 12b 2 (b 2 + 12)t 2 + 4b 2t ? 12b 2 = 0 ,所以 t1 ? t2 = ? 2 . …………………… 分 ……………………8 所以 b + 12 12 由已知及 t 的几何意义可知 FA ? FB = t1 ? t2 = t1 ? t2 = , 5 12b 2 12 = ,解得 b 2 = 3 . 又因为0 < b < 2, 所以b = 3 . ……………… 分 ………………10 即 2 b + 12 5 24. (I)构造函数 g ( x ) = x ? 1 + x ? 2 ? 5 , )
??2 x ? 2 ( x ≤ 1) ? 则 g ( x ) = ? ?4 (1 < x < 2 ) . ? ?2 x ? 8 ( x ≥ 2 ) 又∵ g ( x ) > 0 ? x < ?1或x > 4 ,

…………………………………………3 ………………………………………… 分

…………………………………………6 ∴原不等式的解集为 ( ?∞, ?1) U ( 4, +∞ ) . ………………………………………… 分 (II)Q x + a + x ? 2 + a ≥ a + 2 + a , ) 的解是非空集合, 又关于 x 的不等式 x + a + x ? 2 + a < 2012 的解是非空集合

∴ a + 2 + a < 2012 ,解得 a < 1005 .

………………………………………… 分 ………………………………………10 …………

6


赞助商链接

2015年沈阳市高中三年级教学质量监测

2015年沈阳市高中三年级教学质量监测 - 2015年沈阳市高三年级教学质量监测(一) 化学试题参考答案和评分标准

辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)理科数学试题...

辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)理科数学试题及答案解析 - 2018 年沈阳市高中三年级教学质量监测() 数学(理科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本...

辽宁省沈阳市2015届高三教学质量监测(一)数学(理)试题_...

辽宁省沈阳市2015届高三教学质量监测(一)数学(理)试题 - 2015 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一) 数 要求的.) 学(理科) 一、选择题:(本大题共 12 小题...

辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测(一)数学理试题

辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测()数学理试题_数学_高中教育_教育专区。...7 ,故本题的答案是 ? 1 ? C3 解法 2:将 3 本相同的小说记为 a,a,a...

辽宁省沈阳市2017届高三教学质量检测(一)理数试题 Word...

辽宁省沈阳市2017届高三教学质量检测(一)理数试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2017 年沈阳市高中三年级教学质量监测() 数学(理科)第Ⅰ卷(共 60 ...

辽宁省沈阳市2017届高三教学质量检测(一)文科数学试卷 ...

辽宁省沈阳市2017届高三教学质量检测(一)文科数学试卷 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2017 年沈阳市高中三年级教学质量监测() 数学(文科)第Ⅰ卷(共 ...

辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试 数学(理).doc

辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试 数学(理).doc_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三 模拟考 2017 年沈阳市高中三年级教学质量监测(三) 数学(理科) 第...

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)——数学(理科)

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)——数学(理科) - 2017 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一) 数 命题:沈阳市第 31 中学 闫通 沈阳市第 120 中学 ...

...沈阳市2017届高三教学质量监测二(数学理)(含答案)wo...

东北三省四市统一考试暨沈阳市2017届高三教学质量监测二(数学理)(含答案)word版 - 2017 年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测(二) 数命 学(理科) ...

2016届辽宁省沈阳市高三教学质量监测(一)数学(理)试题(...

2016届辽宁省沈阳市高三教学质量监测()数学(理)试题(解析版) - 2016 年沈阳市高三教学质量监测() 数 学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...