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2018年秋人教B版数学选修1-1练习:3.3.2 利用导数研究函数的极值

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3.3.2 利用导数研究函数的极值 课时过关·能力提升 1.在下面函数 y=f(x)图象中既是函数的极大值点又是最大值点的是( ) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 答案:C 2.在上题的函数图象中,是 f'(x)=0 的根但不是函数 f(x)的极值点的是( A.x0 B.x2 C.x3 D.x4 答案:A 3.函数 y=x2+2x 的极小值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案:B 4.函数 f(x)=xln x 在[1,e]上的最小值和最大值分别为 ( ) A. 0,eln e C. e B. D.0,e 0 ) 解析:f'(x)=ln x+1. 当 1≤x≤e 时,f'(x)=ln x+1>0,故 f(x)=xln x 在[1,e]上是增函数. 因此,当 x=1 时,f(x)取得最小值 0;当 x=e 时,f(x)取得最大值 e. 答案:D 5.若函数 f(x)=x3-3x-a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 M,N,则 M-N 的值为( A.2 B.4 C.18 D.20 2 2 解析:令 f'(x)=3x -3=3(x -1)=0,得 x=±1, 又 x∈[0,3],∴x=1. 则 x∈(0,1)时,f'(x)<0;x∈(1,3)时,f'(x)>0. 又 f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a, ∴M=18-a,N=-2-a,∴M-N=20. 答案:D 6.关于函数 f(x)=x3-3x2,给出下列四个命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2); ④f(x)在 x=0 处取得极大值 0,在 x=2 处取得极小值-4. 其中正确命题是 .(填序号) 答案:③④ 7.已知函数 f(x)=2x3+3(a+2)x2+3ax 的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=2,则 a= . ) 1 解析:f'(x)=6x2+6(a+2)x+3a. ∵x1,x2 是 f(x)的两个极值点, ∴f'(x1)=f'(x2)=0, 即 x1,x2 是 6x2+6(a+2)x+3a=0 的两个根, 从而 x1x a=4. 答案:4 8. 已 知 函 数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既 有 极 大 值 又 有 极 小 值 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 2 解析:f'(x)=3x +6ax+3(a+2). 令 f'(x)=0,即 x2+2ax+a+2=0. ∵f(x)既有极大值又有极小值, ∴f'(x)=0 有两个不相同的实数根. ∴Δ=4a2-4(a+2)>0. 解得 a>2 或 a<-1. 答案:a<-1 或 a>2 9.求曲线 f(x +4ln x 上切线斜率的极小值点. 分析:先求曲线 f(x)上的切线的斜率,即函数 f(x)的导数 f'(x),再求 f'(x)的极小值. 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x 令 h(x)=x+ ,则 h'(x)=1- . 当 0<x<2 时,h'(x)<0,h(x)在(0,2)内是减函数; 当 x>2 时,h'(x)>0,h(x)在 (2,+∞)内是增函数. 所以 h(x)在 x=2 处取得极小值,且 h(2)=4,故曲线 f(x)= x2+4ln x 上切线斜率的极小值点为 2. ★10.设函数 f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π,求函数 f(x)的单调区间与极值. 分析:按照求函数极值的步骤求解即可. 解:由 f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π, 知 f'(x)=cos x+sin x+1, 于是 f'(x)= 令 f'(x)=0,从而 si x=π 或 x 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (0,π) π 0 极大值 π+2 + ↗ ↘ 0 极小值 + ↗ 2 因 (0,π) 此 , 由 上 表 知 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 f(π)=π+2. 3

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