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空间中直线与直线之间的位置关系 讲义

时间:2016-11-01


G2_Number5

2.1.2

空间中直线与直线之间的位置关系

一、知识总结 探究一 问题:如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
A1

D1 B1 D

C1

C B

BB1 / / AA1 , DD1 / / AA1 , 问 BB1与DD1 平行吗?

A

公理 4:空间中平行于同一条直线的所有直线都相互__

____.(空间平行线的传递性)

【例 1】如图,空间四边形 ABCD 中, E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形. (2)若加上条件 AC ? BD ,四边形 EFGH 是什么图形? (3)若加上条件 AC ? BD ,四边形 EFGH 是什么图形? (4)若 AC ? BD 且 AC ? BD ,结果又如何?
B E D G C F A H

探究二 1. 问题: 在平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补.问: 空间中此结论是否继续成立?

2. 定理 (等角定理) : 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边

, 则这两个角



3. 什么叫两条异面直线所成的角?如何度量异面直线所
D1 A1 D B1 C B C1

成的角?

4.什么叫异面直线垂直?回忆平面中两直线垂

A

直情形,理解空间中两直线的垂直,体会垂直概念的发展.在下图中举出一些是异面垂直的直线。

D1

C1 B1

1/2

A1 D

C B

A

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二、课堂小练 1. 右图是正方体平面展开图,在这个正方体中: ① BM 与 ED 平行; ③ CN 与 BM 成 60?角; ② CN 与 BE 是异面直线; ④ DM 与 BN 垂直. .
E A B F N D C M

以上四个说法中,正确说法的序号依次是 【例 2】如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, (1)哪些棱所在的直线与直线 BA 1 是异面直线? (2)求直线 BA 1 和 CC1 所成的角的大小; (3)哪些棱所在的直线与直线 AA1 垂直?

四、练习巩固 1. 把两条异面直线称作“一对”,在正方体的十二条棱中,异面直线的对数为 ( A. 12 B.24 C. 36 D. 48 )

2. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,AB 的中点为 M, DD' 的中点为 N,异面直线 B ' M 与 CN 所成的角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

3.已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成角都是 30°的直线有且仅有( A. 1 条 ) C. 3 条 D. 4 条 度.

B. 2 条

4.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,直线 AB1 与 BC1 所成角为

5. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 3 , AD ? 2 3 , AA1 ? 2 。 (1) BC 和 A1C1 所成角是多少度? (2) AA 1 和 BC1 所成角是多少度?
A1 D D1 B1 C B C1

A

6. 已知空间四边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求 AB 和 CD 所成的角的大小.

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