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(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式

时间:2013-02-02


特征方程法求解递推关系中的数列通项 一、 (一阶线性递推式)设已知数列 {an } 的项满足 a1 ? b, an?1 ? can ? d , 其中 c ? 0, c ? 1, 求这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题, 然而这样做太过繁琐, 而且在猜想 通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程 法:针对问题中的递推关系式作出一个方程 x ? cx ? d , 称之为特征方程; 借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理 1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x0 ,则当 x0 ? a1 时, an 为常数列,即 an ? a1 ;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 ,其中 {bn } 是以 c 为公比 的等比数列,即 bn ? b1c n?1 , b1 ? a1 ? x0 . 证 明 : 因 为 c ? 0,1, 由 特 征 方 程 得 x 0 ?

bn ?1

d . 作 换 元 bn ? an ? x0 , 则 1? c d cd ? a n ?1 ? x0 ? ca n ? d ? ? ca n ? ? c(a n ? x0 ) ? cb n . 1? c 1? c

当 x0 ? a1 时,b1 ? 0 ,数列 {bn } 是以 c 为公比的等比数列,故 bn ? b1c n?1 ; 当 x0 ? a1 时, b1 ? 0 , {bn } 为 0 数列,故 an ? a1 , n ? N. (证毕) 下面列举两例,说明定理 1 的应用.

1 3 1 3 解:作方程 x ? ? x ? 2, 则x 0 ? ? . 3 2 3 11 当 a1 ? 4 时, a1 ? x0 , b1 ? a1 ? ? . 2 2 1 数 列 {bn } 是 以 ? 为 公 比 的 等 比 数 列 . 于 是 3 1 11 1 3 3 11 1 bn ? b1 (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 , a n ? ? ? bn ? ? ? (? ) n ?1 , n ? N. 3 2 3 2 2 2 3
例 1.已知数列 {an } 满足: a n ?1 ? ? a n ? 2, n ? N, a1 ? 4, 求 a n . 例 2.已知数列 {an } 满足递推关系:an?1 ? (2an ? 3)i, n ? N, 其中 i 为虚数

单位。当 a1 取何值时,数列 {an } 是常数数列? 解 : 作 方 程 x ? (2 x ? 3)i, 则 x 0 ?

a1 ? x0 ?

? 6 ? 3i . 5

? 6 ? 3i . 要 使 an 为 常 数 , 即 则 必 须 5

二、(二阶线性递推式)定理 2:对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan ,

a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的
特征方程。 若 x1 , x 2 是 特 征 方 程 的 两 个 根 , 当 x1 ? x 2 时 , 数 列 ?an ? 的 通 项 为
n an ? Ax1n?1 ? Bx2 ?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 n n 和 n ? 1,2 , 代入 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 , 得到关于 A、 的方程组) 当 x1 ? x 2 B ; n 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? B) x1 ?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决 n 定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1 ?1 ,得到关于 A、B

的方程组)。 例 3 : 已 知 数 列

?an ?





a1 ? a, a2 ? b,3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,求数列 ?an ? 的通项
公式。 解法一(待定系数——迭加法) 由 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0 ,得

a n ? 2 ? a n ?1 ?

2 (a n ?1 ? a n ) , 3

且 a2 ? a1 ? b ? a 。 则数列 ?an?1 ? an ?是以 b ? a 为首项,

2 为公比的等比数列,于是 3

2 a n ?1 ? a n ? (b ? a)( ) n ?1 。把 n ? 1,2,3,? ? ?, n 代入,得 3

a2 ? a1 ? b ? a ,
2 a3 ? a 2 ? (b ? a ) ? ( ) , 3 2 a 4 ? a3 ? (b ? a) ? ( ) 2 , 3 ??? 2 a n ? a n ?1 ? (b ? a)( ) n ? 2 。 3
把以上各式相加,得

2 1 ? ( ) n ?1 2 2 2 3 a n ? a1 ? (b ? a)[1 ? ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) n ? 2 ] ? (b ? a) 。 2 3 3 3 1? 3 2 2 ? a n ? [3 ? 3( ) n ?1 ]( b ? a) ? a ? 3(a ? b)( ) n ?1 ? 3b ? 2a 。 3 3
解法二(特征根法):数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,

a1 ? a, a2 ? b 的特征方程是: 3x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 。
? x1 ? 1, x 2 ? 2 , 3

2 n ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 ?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。 3
又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? ?b ? A ? 3 B ?B ? 3(a ? b) ?
故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( )

2 3

n ?1

三、(分式递推式)定理 3:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于

n ? N , 都 有 an?1 ?

pan ? q (其中 p、q、r、h 均为常数,且 ra n ? h

h px ? q ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) ,那么,可作特征方程 x ? . r rx ? h (1)当特征方程有两个相同的根 ? (称作特征根)时,
若 a1 ? ? , 则 an ? ? , n ? N; 若

a1 ? ?





an ?

1 ? ? , n ? N, bn





bn ?

1 r 当存在 n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时, ? (n ? 1) , n ? N. 特别地, a1 ? ? p ? r?

无穷数列 {an } 不存在. (2)当特征方程有两个相异的根

?1 、 ?2 ( 称 作 特 征 根 ) 时 , 则

an ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1

, n ? N,

其中 cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 ( ) , n ? N, (其中a1 ? ?2 ). a1 ? ?2 p ? ?2 r an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 2an ? 3

例 3、已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ?

{an } 的通项公式.
解:依定理作特征方程 x ?

x?4 , 变 形 得 2x 2 ? 2 x ? 4 ? 0, 其 根 为 2x ? 3

?1 ? 1, ?2 ? ?2. 故特征方程有两个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,
则有

cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 3 ? 1 1 ? 1 ? 2 n?1 ?( ) ? ?( ) , n ? N. a1 ? ?2 p ? ?2 r 3 ? 2 1? 2 ? 2

∴ cn ?

2 1 n ?1 (? ) , n ? N. 5 5

2 1 ? 2 ? (? ) n?1 ? 1 ? c ? ?1 5 5 ∴ an ? 2 n ? , n ? N. 2 1 n?1 cn ? 1 (? ) ? 1 5 5

(?5) n ? 4 即 an ? , n ? N. 2 ? (?5) n
例 5.已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 a n ?1 ? (1)若 a1 ? 5, 求 a n ; (2)若 a1 ? 3, 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {an } 不存在?

13a n ? 25 . an ? 3

13 x ? 25 . 变形得 x 2 ? 10x ? 25 ? 0, x?3 特征方程有两个相同的特征根 ? ? 5. 依定理 2 的第(1)部分解答.
解:作特征方程 x ? (1)∵ a1 ? 5,? a1 ? ?. ?对于 n ? N, 都有 an ? ? ? 5; (2)∵ a1 ? 3,? a1 ? ?. ∴ bn ?

1 r ? (n ? 1) a1 ? ? p ? r?

?

1 1 ? (n ? 1) ? 3?5 13 ? 1 ? 5 1 n ?1 ?? ? , 2 8

令 bn ? 0 ,得 n ? 5 .故数列 {an } 从第 5 项开始都不存在,

当 n ≤4, n ? N 时, a n ?

1 5n ? 17 . ?? ? bn n?5

(3)∵ a1 ? 6, ? ? 5, ∴ a1 ? ?. ∴ bn ?

1 r n ?1 ? (n ? 1) ? 1? , n ? N. a1 ? ? p ? ?r 8

令 bn ? 0, 则 n ? ?7 ? n. ∴对于 n ? N, b n ? 0. ∴ an ?

1 ?? ? bn

1 5n ? 43 ?5? , n ? N. n ?1 n?7 1? 8

(4)、显然当 a1 ? ?3 时,数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第(1)小题 的解答过程知, a1 ? 5 时,数列 {an } 是存在的,当 a1 ? ? ? 5 时,则有

bn ?
a1 ?

1 r 1 n ?1 ? (n ? 1) ? ? , n ? N. 令 bn ? 0, 则 得 a1 ? ? p ? ?r a1 ? 5 8

5n ? 13 , n ? N 且 n ≥2. n ?1 5n ? 13 ∴当 a1 ? (其中 n ? N 且 N≥2)时,数列 {an } 从第 n 项开始便不 n ?1
存在. 于是知:当 a1 在集合 {?3 或 数列 {an } 都不存在. 练习题: 求下列数列的通项公式: 1、 在数列 {an } 中, 1 ? 1, a2 ? 7, an ? 2an?1 ? 3an?2 (n ? 3) , an 。 key: 求 ( a

5n ? 13 : n ? N , 且 n ≥2}上取值时,无穷 n ?1

an ? 2 ? 3n?1 ? (?1) n?2 )
2、 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5, 且 an ? 5an?1 ? 4an?2 ,求 an 。 (key:

1 a n ? (4 n ? 1) ) 3
3、 在数列 {an } 中, 1 ? 3, a2 ? 7, an ? 3an?1 ? 2an?2 (n ? 3) , an 。key: 求 ( a

an ? 2 n?1 ? 1)
4、 在数列 {an } 中, a1 ? 3, a2 ? 2, a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 (key: 3 3

an ?

7 1 1 ? ? (? ) n ? 2 ) 4 4 3 5 1 , a n ? 2 ? (4a n ?1 ? a n ) ,求 an 。 (key: 3 3

5、 在数列 {an } 中, a1 ? 3, a 2 ?

an ? 1 ?

2 3 n ?1



6、 在数列 {an } 中, 1 ? a, a2 ? b, an?2 ? pan?1 ? qan , p ? q ? 1 .求 an . 且 a ( key : q ? 1 时 , an ? a ? (n ? 1)(b ? a) ; q ? 1 时 ,

an ?

aq ? b ? (b ? a)(?q) n?1 ) 1? q

7、 在 数 列 {an } 中 , a1 ? a, a2 ? a ? b, pan?2 ? ( p ? q)an?1 ? qan ? 0 ( p, q 是 非 0 常 数 ) . 求 an . ( key: an ? a ? ( p ? q ); an ? a1 ? (n ? 1)b )( p ? q ) 8 、 在 数 列 {an } 中 , a1 , a 2 给 定 , an ? ban?1 ? can?2 . 求

p q n?1 [1 ? ( )]b p?q p

an .(key: an ?

? n?1 ? ? n?1 c( ? n ? 2 ? ? n ? 2 ) ? a2 ? ? a1 (? ? ? ) ;若 ? ? ? , ? ?? ? ??
n ?2

上式不能应用,此时, an ? (n ? 1)a2 ? ?

? (n ? 2)a1? n?1.

附定理 3 的证明 定理 3(分式递推问题):如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于

n ? N , 都 有 an?1 ?

pan ? q (其中 p、q、r、h 均为常数,且 ra n ? h

h px ? q ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) ,那么,可作特征方程 x ? . r rx ? h (1)当特征方程有两个相同的根 ? (称作特征根)时,
若 a1 ? ? , 则 an ? ? , n ? N; 若 a1 ? ? , 则 a n ?

1 ? ? , n ? N, 其 中 bn

bn ?

1 r 当存在 n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时, ? (n ? 1) , n ? N. 特别地, a1 ? ? p ? r?

无穷数列 {an } 不存在. (2)当特征方程有两个相异的根

?1 、 ?2 ( 称 作 特 征 根 ) 时 , 则
n ? N,
其 中

an ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1



cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 ( ) , n ? N, (其中a1 ? ?2 ). a1 ? ?2 p ? ?2 r

证明:先证明定理的第(1)部分. 作交换 d n ? an ? ?, n ? N 则 d n ?1 ? a n ?1 ? ? ?

pan ? q ?? ra n ? h

?

an ( p ? ?r ) ? q ? ?h ra n ? h (d n ? ? )( p ? ?r ) ? q ? ?h r (d n ? ? ) ? h

?

?

d n ( p ? ?r ) ? [r?2 ? ? (h ? p) ? q] rd n ? h ? r?



∵ ? 是特征方程的根,∴ ? ? 将该式代入①式得 d n ?1 ? 将x ? 故 ③ 特

p? ? q ? r?2 ? ? (h ? p) ? q ? 0. r? ? h


d n ( p ? ?r ) , n ? N. rd n ? h ? ?r

p 代入特征方程可整理得 ph ? qr, 这与已知条件 ph ? qr 矛盾. r p ? , 于 是 p ? ?r ? 0. 征 方 程 的 根 ? r

当 d1 ? 0 , 即 a1 ? d1 ? ? = ? 时 , 由 ② 式 得 bn ? 0, n ? N, 故

an ? d n ? ? ? ?, n ? N.
当 d1 ? 0 即 a1 ? ? 时,由②、③两式可得 d n ? 0, n ? N. 此时可对②式 作如下变化:

1 d n?1

?

rd n ? h ? ?r h ? ?r 1 r ? ? ? . d n ( p ? ?r ) p ? ?r d n p ? ?r



由 ? 是方程 x ?

px ? q p?h . 的两个相同的根可以求得 ? ? rx ? h 2r p?h h? r h ? ?r h? p 2r ∴ ? ? ? 1, p?h p ? ?r p?h p? r 2r

将此式代入④式得

1 d n?1

?

1 r ? , n ? N. d n p ? ?r

令 bn ?

r 1 , n ? N. 故 数 列 {bn } 是 以 , n ? N. 则 bn?1 ? bn ? p ? ?r dn

r 为公差的等差数列. p ? ?r

∴ bn ? b1 ? (n ? 1) ?

r , n ? N. p ? ?r

其中 b1 ?

1 1 ? . d1 a1 ? ? 1 ? ? , n ? N. bn

当 n ? N, bn ? 0 时, a n ? d n ? ? ?

当存在 n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时, a n0 ? d n0 ? ? ? 无穷数列 {an } 是不存在的. 再证明定理的第(2)部分如下:

1 ? ? 无意义.故此时, bn0

∵特征方程有两个相异的根 ?1 、?2 , ∴其中必有一个特征根不等于 a1 , 不妨令 ?2 ? a1 . 于是可作变换 cn ?

an ? ?1 , n ? N. an ? ?2

故 c n ?1 ?

a n ?1 ? ?1 pan ? q ,将 a n ?1 ? 代入再整理得 a n ?1 ? ? 2 ra n ? h


cn?1 ?

a n ( p ? ?1r ) ? q ? ?1h ,n? N an ( p ? ?2 r ) ? q ? ?2 h

由第(1)部分的证明过程知 x ?

p 不是特征方程的根,故 r

?1 ?

p p , ?2 ? . r r

故 p ? ?1r ? 0, p ? ?2 r ? 0. 所以由⑤式可得:

c n ?1

q ? ?1 h p ? ?1 r p ? ?1 r ? ? ,n? N q ? ?2 h p ? ?2 r an ? p ? ?2 r an ?



∵ 特 征 方 程 x?

px ? q 有 两 个 相 异 根 ?1 、 ?2 ? 方 程 rx ? h

rx 2 ? x(h ? p) ? q ? 0 有两个相异根 ?1 、?2 ,而方程 ? x ? rx 2 ? x(h ? p) ? q ? 0 又是同解方程.


q ? xh 与方程 p ? xr

q ? ?1h q ? ?2 h ? ??1 , ? ??2 p ? ?1r p ? ?2 r p ? ?1r an ? ?1 p ? ?1r ? ? cn , n ? N p ? ?2 r an ? ?2 p ? ?2 r p ? ?1 r .此时对 p ? ?2 r

将上两式代入⑥式得

cn?1 ?

当 c1 ? 0, 即 a1 ? ?1 时, 数列 {cn } 是等比数列, 公比为 于 n ? N 都有

cn ? c1 (

p ? ?1r n?1 a ? ?1 p ? ?1 r n?1 ) ?( 1 )( ) . p ? ?2 r a1 ? ?2 p ? ?2 r

当 c1 ? 0 即 a1 ? ?1 时,上式也成立. 由 cn ?

an ? ?1 且 ?1 ? ?2 可知 cn ? 1, n ? N. an ? ?2

所以 a n ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1

, n ? N. (证毕)

注:当 ph ? qr 时,

pan ? q pan ? q 会退化为常数;当 r ? 0 时, a n ?1 ? ra n ? h ra n ? h

可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.


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