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江苏省邳州市第二中学高中数学 三角函数与平面向量练习题 北师大版必修5

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江苏省邳州市第二中学高二数学 三角函数与平面向量

4k ? 1 x x ? x ? ? ) ? cos ? cos( 2k? ? ? ) ……2 分 2 2 2 2 2 x x x ? ? sin ? cos ? 2 sin ( ? ) , (k ?Z ) ……4 分 2 2 2 4 2? 所以, f ( x) 的周期 T ? …… 6 分 ? 4? 。 1 2
解: (1) f ( x) ? cos( ? ) ? cos(

x 2

(2)由 f (? ) ? ∴ 1 ? sin ? ? 又? ? ( 0 ,

2 10 ? ? 2 10 ,得 sin ? cos ? , 5 2 2 5
8 3 , ∴ sin ? ? 5 5

…… 8 分

…… 9 分

?
2

) ,∴ cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ?

9 4 ? 25 5

…… 10 分

sin(? ?

?
6

) ? sin ? cos

?
6

? cos ? sin

?
6

=

4? 3 3 10

…… 12 分

m ? (b,2a ? c), n ? (cosB, cosC ) , 2、 在 ?A B、 C 的对边, 且 m // n. B C 中, a, b, c 分别是角 A、
(1)求角 B 的大小; ( 2 ) 设

f ( x) ? cos( ?x ? 2

? ? , 求f ( x)在区间[0, ] 上的最大值和最小值。
.解: (1)由 m // n , 得 b cosC ? (2a ? c) cos B,

B ) ? sin x(? ? 0), 且f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 2

? b cos C ? c cos B ? 2a cos B.
由正弦定得,得 sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B,

? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B.
又 B B ? C ? ? ? A,

? sin A ? 2 sin A cos B. 1 又 sin A ? 0,? cos B ? . 2
又 B ? (0, ? ),? B ?

?

3

.

6分

(2) f ( x) ? cos(?x ? 由已知

?
6

) ? sin ?x ?

3 2 ? cos?x ? sin ?x ? 3 sin(?x ? ) 2 3 6

2?

?

? ? ,? ? ? 2.

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?
当 x ? [0,

?

?
2

]时,2 x ?

?

因此,当 2 x ?

?
6

?

?

? 7? ? 1 ? [ , ], sin( 2 x ? ) ? [? ,1] 6 6 6 6 2
, 即x ?

6

),

9分

?

2

6

时,

f ( x)取得最大值 3;
当 2x ?

?
6

?

7? ? ,即x ? 时 , 6 2

f ( x)取得最小值 ?

3 2

12 分

3、在△ ABC ,已知 | AC | =5 | AB |? 8 ,点 D 在线段 AB 上,且 | AD |?

CD ? AB =0,设∠ BAC ? ? , cos(? ? x) ?

4 ? ,?? ? x ? ? ,求 sin x 的值 5 3

5 | DB |, 11

∴? ?

?
3

6分

∵?? ? x ? ?

?
3

,? ?

2? ? ?? ? x ? ? x ? 0 3 3

7分

又∵ cos(

?

4 ? ? 3 ? x) ? ,? sin( ? x) ? ? 1 ? cos2 ( ? x) ? ? 3 5 3 3 5

9分

∴ sin x ? sin[(

?
3

? x) ?

?
3

] ? sin(

?
3

? x) cos

?
3

? cos(

?
3

? x) sin

?
3
12 分

3 1 4 3 3? 4 3 ?? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
4、在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 (1)求 sinA; (2)若 c=5,求 ?ABC 的面积。

b 5 5 。 ? , cos B ? a 2 5

本题的另一种做法: 因为 =

b a

5 5 ,所以 b= a. 2 2 5 a +c -b 5 ,所以 cosB= = . 5 2ac 5
2 2 2

因为 cosB=

……………4 分

5 2 2 5 2 5 1 5 2 2 所以 a +c - a = ac.即 c2- ac- a2=0.所以 c= a. 4 5 5 4 2 所以 b=c.即 B=C. …………………8 分 4 所以 sinA=sin[?-(B+C)]=sin2B=2sinBcosB= . 5 1 当 c=5 时,则 b=5,所以 S△ABC= bcsinA=10. 2 …………11 分

……14 分

5、在四边形 ABCD 中, BD 是它的一条对角线,且 BC ? ? AD(? ? R) ,

AB ? AD ? 2 , CB ? CD ? 2 3 .
A D

B

C

⑴若△BCD 是直角三形,求 ? 的值; ⑵在⑴的条件下,求 CB ? BA .

解析: (Ⅰ) CB ? CD ? BD ? 2 3 ,在 ?ABD 中,由余弦定理,得
AB ? AD ? BD 2 ? AB ? AD
2 2 2

cos A ?

??

1 , 2

∴ ?A ? 120 , 由 AB ? AD 得 , ?ABD ? ?ADB ? 30 ? , 由 BC ? ? AD(? ? R) 得, BC // AD , ∴ ?ABC ? 180
?

(2 分)

- 120? ? 60? ,从而 ?DBC ? 30 ?
BC AD

(4 分) (5 分)

由题意可知 ? ? 0 ,∴ ? ?



又∵△BCD 是 Rt? ,∴ 1 ? 当 ?BDC ? 90 ? 时,则 BC ? ∴? ? 2;
2 ? 当 ?BDC ? 90 ? 时,则

| BD | ? 4 ,由 AD ? 2 , cos30

BC ? BD ? cos30 ? 3 ,由 AD ? 2 ,∴ ? ? 3 ;
2

3 综上, ? ? 2或 . 2

(7 分)

评析:本题考查平面向量和解三角形的基础知识,考查分类讨论的思想方法.求解时容 易发生的错误是: (1)将条件“△BCD 是直角三形”当作“△BCD 是以角 ?BDC 是直角 三形” 来解, 忽略对 ?BCD 为直角的情况的讨论; (2)在计算 CB ? BA 时,将 ?ABC 当

作向量 CB 与 BA 的夹角, 忽略了确定两个向量的夹角时必须将它们的起点移到一起. 暴 露出思维的不严谨和概念理解的缺陷,在复习中要引起重视,加强 训练. 6、已知函数 f ( x) ? 2 3a ? sin x ? cos x ? cos 2x ? 6cos2 2x ? 3 ,且 f ( (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的周期 T 和单调递增区间; (Ⅱ)若 f (? ) ? ?3 ,且 ? ? (?

?
24

) ? 0。

5? ? , ) ,求 ? 的值。 24 24

解. (Ⅰ) f ( x) ? 2 3a ? sin x ? cos x ? cos 2x ? 6cos2 2x ? 3

?

3a sin 4 x ? 3cos 4 x .……………………………(理)2 分 2

∴ f ( x) ? 3 3 sin 4 x ? 3cos 4 x ? 6sin(4 x ? ∴函数 f ( x ) 的周期 T ?

?
6

) .………………………………4 分

?

2 ? k ? ? k? ? , ? ) , k ? Z . ………………8 分 单调递增区间为 (? 12 2 6 2 ? 1 (Ⅱ)依题意得 sin(4? ? ) ? ? 6 2 5? ? ? , ) ,∴ ?? ? 4? ? ? 0 …………………10 分 ∵ ? ? (? 24 24 6 5? ? ? ∴ 4? ? ? ? 或 ? 6 6 6
解得 ? ? 0 或 ?

,………………………6 分

?

6

.……………………………………12 分

7、已知向量 a ? ( 3sin 2x,cos 2x), b ? (cos 2x, ? cos 2x) . (Ⅰ)若 x ? (

7? 5? 1 3 , ), a ? b ? ? ? , 求 cos 4 x ; 24 12 2 5
2

(Ⅱ)设 ?ABC 的三边 a, b, c 满足 b ? ac ,且边 b 所对应的角为 x ,若关于 x 的方程

a ?b ?

1 ? m 有且仅有一个实数根,求 m 的值. 2

解: (Ⅰ) a ? b ? sin ? 4 x ?

? ?

?? 1

? ? ……………..4 分 6? 2

?? ? ? ? ? 3? 4 3 ……………..7 分 cos4 x ? cos?? 4 x ? ? ? ? ? 6 ? 6? 10 ??
(Ⅱ) cos B ?

1 ? ?? , B ? ? 0, ? ……………..11 分 2 ? 3?

结合图象可得: m ? 1,?

1 ……………..14 分 2

8 、 已 知 向 量 a ? ?1 ? cos ? x,1? , b ? (1, a ? 3 sin ? x) (

? 为常数且 ? ?0 ),函数

f ( x) ? a ? b 在 R 上的最大值为 2 .
(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ) 把函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 在 [0,

?
4

? 个单位, 可得函数 y ? g ( x) 的图象, 若 y ? g ( x) 6?

] 上为增函数,求 ? 的最大值.

解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ?

?
6

) ? a ? 1 ………3 分

因为函数 f ( x ) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1 …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ? 2sin(? x ? 把函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

)

?
6

) 的图象向右平移

? 个单位, 6?

可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x …………………………………………8 分

y ? g ( x) 在 [0, ] 上为增函数 4 2? ? ? 即? ? 2 ? g ( x) 的周期 T ?
又 所以 ? 的最大值为 2 …………………………12 分 9 、 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

?

?

tan B tan C ? 3(tan B ? tan C) ? 1.
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)现给出三个条件:① a ? 1 ;② b ? 2 sin B ;③ 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 . 试从中选择两个条件求 ?ABC 的面积(注:只需选择一个方案答题,如果用多种方案 答题,则按第一种方案给分). 解:(Ⅰ)由 tan B tan C ? 3(tan B ? tan C) ? 1,得

tan B ? tan C 3 , ?? 1 ? tan B tan C 3 3 所以 tan( B ? C ) ? ? ………………………………………………(4 分) 3 3 则 tan A ? ? tan( B ? C ) ? , 3 ? 所以 A ? ……………………………………………………(7 分) 6
(Ⅱ)方案一:选择①③. ∵A=30°,a=1,2c-( 3 +1)b=0,所以 c ?

3 ?1 b ,则根据余弦定理, 2

得 c=

12 ? b2 ? (

3 ?1 2 3 ?1 3 b) ? 2b ? b? 2 2 2







b=

2

,



6? 2 …………………(11 分) 2 1 1 6? 2 1 3 ?1 S ?ABC ? bc sin A ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 2 4
方案二:选择②③. 可转化为选择①③解决,类似给分. (注:选择①②不能确定三角形)

(14 分)

10、已知函数 f ( x) ? sin x(cosx ? 3 sin x) . (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 a (0 ? a ? 数 y ? f ( x) 的图象,求 ab 的值; (Ⅲ)求函数 f ( x)在x ? ?0,

?
2

) 个单位,向下平移 b 个单位,得到函

? ?? 的值域. ? 2? ?

解: (I) f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2 1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? ? 3?

-------------2 分

? 3 ? sin(2 x ? ) ? 3 2
函数 f ( x) 的最小正周期是 T ?

-------------3 分

2? ?? 2

-------------4 分


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