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三维设计数学2014课时跟踪检测(二十六) 平面向量的基本定理及坐标表示

时间:2013-11-20


课时跟踪检测(二十六) 平面向量的基本定理及坐标表示

1.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP =2 PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA =(4,3),

??? ?

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??? ?

??? ? ??? ? PQ =(1,5),则 BC 等于(
A.(-2,7) C.(2,-7)

) B.(-6,21) D.(6,-21) )

2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( A.(-2,-4) C.(-4,-8) B.(-3,-6) D.(-5,-10)

??? ? ??? ? ??? ? 3.(2013· 昆明模拟)如图所示,向量 OA =a, OB =b, OC =c, ??? ? ??? ? A,B,C 在一条直线上,且 AC =-3 CB ,则( )
1 3 A.c=- a+ b 2 2 3 1 B.c= a- b 2 2 C.c=-a+2b D.c=a+2b 4.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行; AB + BC = CA ; OA + OC = OB ; AC = OB ② ③ ④ -2 OA .其中正确的结论的个数是( A.1 C.3

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) B.2 D.4

5.(2012· 郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面 内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c=λa+μb(λ、μ 为实数),则 m 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,+∞) B.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) )

6.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线 与 CD 交于点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF =( 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4

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)

2 1 B. a+ b 3 3 1 2 D. a+ b 3 3

x 7.(2012· 洛阳质检)已知向量 a=?8,2?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则 ? ?

x=________. 8.(2013· 九江模拟)P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n ∈R}是两个向量集合,则 P∩Q 等于________. 9.已知向量 OA =(1,-3), OB =(2,-1), OC =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点 能构成三角形,则实数 k 应满足的条件是________. 10.已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式; (2)若 AC =2 AB ,求点 C 的坐标. 11.已知 a=(1,0),b=(2,1).求: (1)|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 12.已知 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线.

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1.如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点, N 是线段 OD 的中点,AN 的延长线与 CD 交于点 E,则下列说法错误 .. 的是( ) B. BD = AD - AB

??? ? ??? ??? ? ? A. AC = AB + AD ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? C. AO = AB + AD 2 2
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??? 5 ??? ??? ? ? ? D. AE = AB + AD 3

2.(2012· 山西四校联考)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC =3 CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C、 不重合), AO =x AB +(1-x) AC , x 的取值范围是( D 若 则 1 A.?0,2? ? ? 1 C.?-2,0? ? ? 1 B.?0,3? ? ? 1 D.?-3,0? ? ?

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)

3.(2012· 东营模拟)已知 P 为△ABC 内一点,且 3 AP +4 BP +5 CP =0.延长 AP 交 BC 于点 D,若 AB =a, AC =b,用 a,b 表示向量 AP , AD .

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课时跟踪检测(二十六)

A级 1.选 B

??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ??? ? BC =3 PC =3(2 PQ - PA )=6 PQ -3P PA =(6,30)-(12,9)=(-6,21).

2.选 C 由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,得 1×m=2×(-2)?m=-4,从而 b =(-2,-4),那么 2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). 3.选 A ∵ AC =-3 CB ,∴ OC - OA =-3( OB - OC ).

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??? ? ? ? 1 ??? 3 ??? 1 3 ∴ OC =- OA + OB ,即 c=- a+ b. 2 2 2 2
4.选 C ∵ OC =(-2,1), BA =(2,-1),∴ OC ∥ BA ,又 A,B,C,O 不共线, ∴OC∥AB.①正确; ∵ AB + BC = AC ,∴②错误; ∵ OA + OC =(0,2)= OB ,∴③正确; ∵ OB -2 OA =(-4,0), AC =(-4,0),∴④正确. 3m-2 5.选 D 由题意知向量 a,b 不共线,故 m≠ ,解得 m≠2. 2 1 6.选 B 由已知得 DE= EB, 3 又∵△DEF∽△BEA, 1 ∴DF= AB. 3 1 2 即 DF= DC.∴CF= CD. 3 3

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??? ? ? ? ??? ? 2 ??? 2 ??? ∴ CF ― →= CD = ( OD - OC ) 3 3
2 1 1 1 1 = ?2b-2a?= b- a. ? 3 3 3?

? ??? ? ???? ??? 1 1 2 1 ∴ AF = AC + CF =a+ b- a= a+ b. 3 3 3 3
x 7.解析:a-2b=?8-2x,2-2?,2a+b=(16+x,x+1), ? ? x 2 由题意得(8-2x)· (x+1)=?2-2?· ? ? (16+x),整理得 x =16,又 x>0,所以 x=4. 答案:4 8.解析:P 中,a=(-1+m,1+2m),Q 中,b=(1+2n,-2+3n).
? ? ?-1+m=1+2n, ?m=-12, 则? 得? ?1+2m=-2+3n. ?n=-7. ? ?

此时 a=b=(-13,-23). 答案:{?-13,-23?}

9.解析:若点 A,B,C 能构成三角形, 则向量 AB , AC 不共线. ∵ AB = OB - OA =(2,-1)-(1,-3)=(1,2),

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??? ? ??? ??? ? ? AC = OC - OA =(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),
∴1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. 答案:k≠1 10.解:(1)由已知得 AB =(2,-2), AC =(a-1,b-1), ∵A,B,C 三点共线,∴ AB ∥ AC . ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. (2)∵ AC =2 AB , ∴(a-1,b-1)=2(2,-2).
? ? ?a-1=4, ?a=5, ∴? 解得? ? ? ?b-1=-4, ?b=-3.

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∴点 C 的坐标为(5,-3). 11.解:(1)因为 a=(1,0),b=(2,1),所以 a+3b=(7,3), 故|a+3b|= 72+32= 58. (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行, 1 所以 3(k-2)+7=0,即 k=- . 3 7 此时 ka-b=(k-2,-1)=?-3,-1?, ? ? a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. 12.解:(1)OM― →=t1 OA +t2 AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).
?4t2<0, ? 当点 M 在第二或第三象限时,有? ? ?2t1+4t2≠0,

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故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)当 t1=1 时,由(1)知 OM =(4t2,4t2+2). ∵ AB = OB - OA =(4,4),

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? ? ???? ???? ??? ? ??? ? AM = OM - OA =(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB ,
∴不论 t2 为何实数,A,B,M 三点共线. B级

1.选 D 由向量减法的三角形法则知, BD = AD - AB ,排除 B;由向量加法的平

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??? ? ??? ??? ? ? ? ? ??? 1 ??? 1 ??? 1 ??? ? ? 行四边形法则知, AC = AB + AD , AO = AC = AB + AD ,排除 A、C. 2 2 2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ??? ? ? ? 4 2.选 D 依题意,设 BO =λ BC ,其中 1<λ< ,则有 AO = AB + BO = AB +λ BC 3
= AB +λ( AC - AB )=(1-λ) AB +λ AC .

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??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? 1 又 AO =x AB +(1-x) AC ,且 AB , AC 不共线,于是有 x=1-λ∈?-3,0?,即 x ? ?
1 的取值范围是?-3,0?. ? ? 3.解:∵ BP = AP - AB = AP -a, CP = AP - AC = AP -b, 又 3 AP +4 BP +5 CP =0, ∴3 AP +4( AP -a)+5( AP -b)=0,

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??? 1 ? 5 化简,得 AP = a+ b. 3 12
??? ? ??? ? ??? 1 ? 5 设 AD =t AP (t∈R),则 AD = t a+ t b.① 3 12
又设 BD =k BC (k∈R), 由 BC = AC - AB =b-a,得

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??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? BD =k(b-a).而 AD = AB + BD =a+ BD , ??? ? ∴ AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②

?3t=1-k, 由①②,得? 5 ?12t=k,
1

4 解得 t= . 3

??? 4 5 ? 代入①,有 AD = a+ b. 9 9


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