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【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:2函数3

时间:2013-05-17


各地解析分类汇编:函数 3
1 【山 东省 烟台 市 2013 届 高三 上学 期期 中考 试理 】 已 知函 数 f M ? x ? 的 定义 域为 实数 集 R , 满 足

?1, x ? M ( M 是 R 的非 空真子 集),在 R 上 有 两个非 空真子集 A, B , 且 A ? B ? ? , 则 fM ? x ? ? ? ?0, x ? M

F ? x? ?
? ?

f A? B ? x ? ? 1 的值域为 f A ? x? ? fB ? x? ?1
?
B. ?1? C. ? , ,1?

A. ? 0, ? 3 【答案】B

2?

?1 2 ? ?2 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

【 解 析 】 若 x ? A , 则 f A ( x) ? 1, f B ( x) ? 0, f A?B ( x) ? 1 , F ( x) ? 1 ; 若 x ? B , 则

f A ( x) ? 0, f B ( x) ? 1, f A?B ( x) ? 1, F ( x) ? 1 ;若 x ? A,x ? B ,则 f A ( x) ? 0 , f B ( x) ? 0 ,
f A?B ( x) ? 0, F ( x) ? 1. 故选 B.
? x3 1 , ? x ?1 ? ? x ?1 2 f ( x) ? ? 2【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】函数 和函数 ?? 1 x ? 1 ,0 ? x ? 1 ? 6 12 2 ?
g ( x) ? a sin
( A. , ]
【答案】C

?
6

x ? a ? 1(a ? 0) ,若存在 x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
B. [1,2)

1 3 2 2

( 2 C. ,]

1 2

( D. 1, ]

3 2

1 x3 2 ? x ?1 f ( x) ? , x ? 1 f '( x)= x (2 x ? 3) ? 0 函数递增,此时 f ( 1 ) ? f ( x) ? f (1) ,即 【解析】当 2 时, 2 ( x ? 1)2 1 0? x? 1 1 1 2 时,函数 ? f ( x ) ? ,当 1 1 ,单调递减,此时 0 ? f ( x) ? 12 ,综上函数 12 2 f ( x) ? ? x ? 6 12 0 ? f ( x) ? 1 ? ? ? 1 1 。 当 0 ? x ?1 时 , 0 ? x ? , 0 ? sin x ? , ?a ? 1 ? g ( x) ? a ? a ? 1 , 即 2 6 6 6 2 2 1 ?a ?1 ? g ( x) ? ? a ? 若存在 x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, g ( x) 的最大值大于等于 f ( x) 1 , 让 2

-1-

? 1 ?a ? 2 ?? 2 a ? 1 ? 0 1 ? ? 的最小值,让 g ( x) 的最小值小于 f ( x ) 的最大值,即 ? ,解得 ? 1 ,即 ? a ? 2 ,选 D. 2 ??a ? 1 ? 1 ?a ? 2 ? ? ? 2
3【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】已知函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函数,

g ( x) ? ? f ( x ) ,若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的取值范围是
A. (10,??) 【答案】B 【解析】因为 g ( x) ? ? f ( x ) ,所以函数 g ( x) ? ? f ( x ) 为偶函数,因为函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函数, 所以当 x ? 0 时, g ( x) ? ? f ( x ) ? ? f ( x) ,此时为减函数,所以当 x ? 0 ,函数 g ( x) ? ? f ( x ) 单调 递增。因为 g (lg x) ? g (1) ,所以有 ?1 ? lg x ? 1 ,解得 B. (

1 ,10) 10

C. (0,10)

D. (0,

1 ) ? (10,?? ) 10

1 1 ? x ? 10 ,即 ( ,10) ,选 B. 10 10
的定义域为( )

4【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】

函数

A. 【答案】D

B.

C.

D.

?? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x 2 +3 x ? 4 ? 0 【解析】要使函数有意义,则有 ? ,即 ? ,解得 ?4 ? x ? 1 且 x ? 0 ,选 D. ?x ? 0 ?x ? 0
【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】已知函数 如图所示则函数 的图象是( ) 的图象

【答案】A
-2-

【解析】由函数的两个根为 x ? a.x ? b ,图象可知 0 ? a ? 1, b ? ?1 。所以根据指数函数的图象可知选 A. 5【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】定义在 R 上的函数 时, ,则( ) 满足 ,当

A.

B.

C. 【答案】D 【解析】由题意可知,函数 ∵ ,选 D.

D.

的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图象,如图所示: 且 ,而函数 在 是减函数, ∴

6. 【

北 京 四 中

2013

届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 )】 设 函 数 ______.

【答案】

5 2

? ( ? 【 解 析 】 令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? f (2) , 即 f ( 2 )? f (1) f ? 1)

1 f (1) ?2 ? 。 令 x ? 1 得 2 ? 1 2 1 3 3 5 f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? ? 1 ? 。令 x ? 3 得 f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ? ? 1= 。 2 2 2 2
.

7.【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】若 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a= 【答案】4

2 【解析】 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) ? x ? (a ? 4) x ? 4a ,因为函数 f ( x ) 是偶函数,所以必有 a ? 4 ? 0 ,即 a ? 4 .

8.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若存在常数 m ? 0 ,对
2 任意 x ? R , f ( x) ? m x , 有 则称函数 f ( x ) 为 F ? 函数.给出下列函数: f ( x) ? x ; f ( x) ? ① ②

x ; x ?1
2

-3-

③ f ( x) ? 2x ;④ f ( x) ? sin 2 x . 【答案】②④ 【解析】因为

其中是 F ? 函数的序号为

.

f ( x) 1 f ( x) x 2 f ( x) ? 2 ?1, ? ? x ,所以 ? x ,没有最大值,所以①不是 F ? 函数. x x ?1 x x x

所以存在 m ? 1 ,有 f ( x) ? m x 成立,所以②是 F ? 函数.③不是 F ? 函数.因为

f ( x) ? sin 2 x ? 2 x ? 2 x ,所以此时存在 m ? 2 ,所以④是 F ? 函数,所以是 F ? 函数的有②④.
9.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 具有性质: f ( ) ? ? f ( x ) 的函数,我们 称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ① y ? x?

1 x

1 1 ;② y ? x? ; x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? ③ y ? ?0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是 ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
【答案】①③ 【解析】当 y ? x ?

.

1 1 1 1 时, f ( ) ? ? x ? ? f ( x) ,所以①满足“倒负”变换的函数。当 y ? x ? 时, x x x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? 1 1 1 f ( ) ? ? x ? f ( x) , 0 所以②不满足 “倒负” 变换的函数。 y ? ?0, ( x ? 1) 当 时, x ? 1 时, ? ? 1 , 当 x x x ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
1 1 1 f ( ) ? ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 , f ( ) ? ? x ? ? f ( x) ,所以③满足“倒负”变换的函数,所 x x x
以满足条件的函数是①③。

? 1 x ?( ) , x ? 4 10.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (1 ? log 2 5) 的 ? f ( x ? 1), x ? 4 ?
值为 【答案】 ;

1 20

【解析】 3 ? 1 ? log 2 5 ? 4 ,所以 f (1 ? log2 5) ? f (2 ? log2 5) ? f (log2 20)

1 1 ? ( )log2 20 ? 2? log2 20 ? . 2 20
-4-

11. 山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】 【 若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 |( a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是 【答案】 (0, )
x x x 【解析】因为 y ? a ? 1 的图象是由 y ? a 向下平移一个单位得到,当 a ? 1 时,作出函数 y ? a ? 1 的

.

1 2

图象如图,此时 y ? 2a ? 2 ,如图象只有一个交点,不成立。 当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 2 a ? 2 ,要使两个函数的图象有两个公共点,则有 0 ? 2a ? 1 ,即 的取值范围是 (0, ) 。

0?a?

1 2 ,所以 a

1 2

12. 山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数且在 ?0, ??? 【 上递增,不等式 f ? 【答案】 ( ? ,1) 【解析】因为 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数且在 ?0, ??? 上递增,所以 f ?

? x ? ? 1? ? ? f ? ? ? 的解集为 ? x ?1 ? ? 2?

1 3

? x ? ? 1? ? ? f ? ? ? 等价为 ? x ?1 ? ? 2?

f(

x 1 1 x 1 )? f(? )? f( ) ,所以 ? , 即 2 x ? x ?1 , 平 方 得 4 x2 ? x2 ? 2 x ? 1 , 所 以 x ?1 2 2 x ?1 2

1 1 3x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ? ? x ? 1 ,即不等式的解集为 ( ? ,1) 。 3 3
13.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且

f ? x ? 2? ? ?
【答案】 ?

1 ,当 2 ? x ? 3 时, f ? x ? ? x, 则f ? 2013? ? ______________. f ? x?

1 3
-5-

【 解 析 】 因 为 f ? x ? 2? ? ?

1 , 所 以 f ? x ? 4? ? f ( x) , 即 函 数 f ( x ) 的 周 期 是 4 , f ? x?

f (2013) ? f (1) ? ?

1 1 ?? . f (3) 3

|x 14. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 理 】 函 数 f ( x )? 2? 1 |的 递 增 区 间

为 【答案】 [1, ??)



【解析】令 t ? x ? 1 ,则 y ? 2t 在定义域上单调递增,而 t ? x ? 1 ? ? 所以函数 f ( x) ? 2|x?1| 的递增区间为 [1, ??) 。

? x ? 1, x ? 1 ,在 x ? 1 上单调递增, ?1 ? x, x ? 1

15.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】已知实数 a,b 满足等式 2 ? 3 ,给出下列五个
a b

关系式中:① 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b; ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 则所有可能成立的关系式的序号为 .. ___.___. 【答案】①②⑤ 【 解 析 】 在 同 一 坐 标 系 下 做 出 函 数 f ( x )? x g, x (? )x 的 图 象 如 图 , 由 图 象 可 知 , 2 3

①,②,⑤正确. 16.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理) 】已知奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当

7 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值为 2
【答案】 ? 2 【 解 析 】 由

f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 所 以 f (x) 周 期 是
4?) f 1 ?( 2

4 , 所 以

f(

7 7 ? f (? ) 2 2

1 1 1 ?) f ? 又 当 x ? (0,1) 时 , f ( x) ? 2 x , 所 以 f ( ) ? 2 2 ? 2 , 所 以 ( ) , 2 2

-6-

7 f ( ) ? ? 2. 2

?2 x ? 17.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】设函数 f ? x ? ? ? ?log 2 x ?
y ? f ? f ? x ? ? ? 1 的零点个数为__________. ? ?
【答案】2

? x ? 0? ,函数 ? x ? 0?

x x 【解析】当 x ? 0 时, 0 ? 2 ? 1 ,所以 f ? f ? x ? ? ? 1 ? log 2 2 ? 1 ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 (舍去) ;当 x ? 1 ? ?

时, f ( x) ? log2 x ? 0,所以 f ? f ? x ? ? ? 1 ? log 2 (log 2 x) ? 1 ? 0 得 log 2 x=2,x ? 4 ;当 0 ? x ? 1 时, ? ?

f ( x) ? log2 x ? 0,所以 f ? f ? x ? ? ? 1 ? 2log2 x ? 1 ? x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ,所以函数 y ? f ? f ? x ? ? ? 1 的 ? ? ? ?
零点是 4,1,共有 2 个. 18.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 2,

x?1

2 ? x ? 4 x ? 3,x ? 1

的图象和函数

g ( x) ? ln ? x ?1? 的图象的交点个数是 ____________.
【答案】2 【解析】画出图象知交点个数为 2. 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 函数 f ( x) 的定义域为 A, x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总 若 有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单函数.例如:函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数.给出下列命题: ①函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 ( x ? R) 是单函数;
x

③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数, 其中的真命题是 【答案】②③④ 【解析】当 x1 ? 2, x2 ? ?2 时, f ( x1 ) ? 4 ? f ( x2 ), 故①错; f ( x) ? 2 x 为单调增函数,故②正确;而③④显 然正确. 19. 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)(本小题满分 12 分) 】 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) ,当年产量不足 80 .. 千件时, C ( x ) ? . (写出所有真命题的序号)

1 2 10000 x ? 10 x (万元).当年产量不小于 80 千件时, C ( x) ? 51x ? ? 1450 (万元). 3 x

每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. ..
-7-

(Ⅰ)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 【答案】解: (Ⅰ)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.05×1000 x 万元,依题意得: .. .. 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ?

1 2 x ? 10 x ? 250 3

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 .????????????2 分 3 10000 ? 1450 ? 250 当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? x
= 1200? ? x ?

? ?

10000? ? .??????????????????4 分 x ?

? 1 2 ?? 3 x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? 所以 L( x) ? ? ????6 分 ?1200? ? x ? 10000?( x ? 80). ? ? ? x ? ? ?
2 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60 ) ? 950 .

1 3

此时,当 x ? 60 时, L(x) 取得最大值 L(60) ? 950万元. ??????8 分

当 x ? 80 时,

? 10000? L( x) ? 1200? ? x ? ? x ? ? ? 1200? 2 x ? 10000 ? 1200? 200 ? 1000 x

此时,当 x ?

10000 时,即 x ? 100 时 L(x) 取得最大值 1000 万元.??????11 分 x

? 950 ? 1000
所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. ????????????????????????????????????12 分 20.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 13 分)
2 已 知 函 数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) 在 区 间 ?2,3? 上 的 最 大 值 为 4 , 最 小 值 为 1 , 记

f ( x) ? g( x ) .
(1) 求实数 a、 b 的值; (2) 若不等式 f(log2 k) f(2) 成立,求实数 k 的取值范围; ? (3) 定义在 ? p, q ? 上的一个函数 m(x) ,用分法 T : p ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? q 将区间

? p, q?任意划分成 n 个小区间,如果存在一个常数 M

? 0 ,使得和式 ? m( xi ) ? m( xi ?1 ) ? M 恒成立,则
i ?1

n

-8-

称函数 m(x) 为在 ? p, q ? 上的有界变差函数. 试判断函数 f (x) 是否为在 ? ,3? 上的有界变差函数?若是,求 1

M 的最小值;若不是,请说明理由.(参考公式: ? f ( xi ) ? f ( x1) f ( x2) ? ? f ( xn ) ) ? ?
i ?1

n

【 答 案 】 (1) g ( x) ? a(x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a , 因 为 a ? 0 , 所 以 g (x) 在 区 间 ?2,3? 上 是 增 函 数 , 故

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ? ?b ? 0 ? g (3) ? 4

??4 分

(2)由已知可得 f ( x) ? g ( x ) ? x ? 2 x ? 1 为偶函数,所以不等式 f( 2 k) f() log ? 2 可化为
2

log2 k ? 2 ,惠生活 www.huizhous.com 观影园 www.gypark.com 爱尚家居 www.33203.com 嘟嘟园 www.ddpark.com 迅播影院 www.gvod.us 请支持我们,会有更多资源给大家
解得 k ? 4 或 0 ? k ?

1 , 4

?????7 分 ????9 分

(3)函数 f (x) 为 ? ,3? 上的有界变差函数. 1 因 为 函 数

f (x) 为

?1,3?

上 的 单 调 递 增 函 数 , 且 对 任 意 划 分

T : 1 ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? 3 ,有

f (1) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn?1 ) ? f ( xn ) ? f (3) ,所以

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn?1 )

? f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f (3) ? f (1) ? 4 ,
所以存在常数 M ? 4 ,使得 所以 M 的最小值为 4 .

? m( x ) ? m( x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M 恒成立,

????13 分

21.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】 (本小题满分 12 分)记 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 不等式 f ( x) ? 0 的解集为(1,3) ,试解关于 t 的不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) . 【答案】由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.??????????4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 ,??????????????6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t |2 ? | t | ?6 ? 0 ????????10 分
-9-

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .????????12 分 22.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数. x2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)记集合 E ? {y y ? f ( x), x ?{?1,1,2}}, ? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ?
2

1 ,判断 ? 与 E 的关系; 4

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 3m,2 ? 3n] ,求 m, n 的值. m n ( x ? 1)( x ? a) (? x ? 1)( ? x ? a) ? 【答案】解: (Ⅰ)? f (x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? x2 x2
(Ⅲ)当 x? [

? 2(a ? 1) x ? 0,? x ?R 且 x ? 0 ,? a ? ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x) ?

???????????????4 分

x2 ?1 x2
3 4

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ?

? 3? ? E ? ?0, ? , ?????????????????????????????6 分 ? 4?

23.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)(本小题满分 12 分) 】 已知函数 f ( x) 对任意实数 x , y 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x>0 时, f ( x) ? 0 又 f (1) ? ?2 .

- 10 -

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求证: f ( x) 是 R 上的减函数; (3)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的值域; (4)若 ?x ? R ,不等式 f (ax ) ? 2 f ( x) ? f ( x) ? 4 恒成立,求 a 的取值范围.
2

【答案】 (1)解:取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (0) ? 0

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f (x) 为奇函数.

24.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)(本小题满分 12 分) 】 对 于 函 数 f (x) 若 存 在 x0 ? R , f (x0 )=x0 成 立 , 则 称 x0 为 f (x) 的 不 动 点 . 已 知

f (x)=ax2 ? (b ? 1) x ? b -1(a ? 0)
(1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y =f (x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且 A 、 B 两 点关于直线 y ? kx ? 对称,求 b 的最小值. 2a 2 ? 1 【答案】解: (1)? a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? x ? 3 ,

1

- 11 -

f ( x) ? x ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x ? ?1, x ? 3
? 函数 f (x) 的不动点为-1 和 3;
(2)即 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x 有两个不等实根,转化为 ax2 ? bx ? b ? 1 ? 0 有两个不等实 根,需有判别式大于 0 恒成立 即 b2 ? 4a(b ? 1) ? 0 ? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,? a 的取值范围为 0 ? a ? 1 ; (3)设 A( x1, x1 ), B( x2 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? A,B 的中点 M 的坐标为 (

b , a

x1 ? x2 x1 ? x2 b b , ) ,即 M ( ,? ) 2 2 2a 2a 1 ? A、B 两点关于直线 y ? kx ? 2 对称, 2a ? 1 又因为 A,B 在直线 y ? x 上,

? k ? ?1 ,A,B 的中点 M 在直线 y ? kx ?

1
2

2a ? 1 b b 1 a 1 , ? ? ? 2 ?? ? 2 ?? 1 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 2a ? a
利用基本不等式可得当且仅当 a ?

上.

1 2 时,b 的最小值为 . 2 2 2

- 12 -


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