nbhkdz.com冰点文库

1.3.1单调性与最大(小)值第二课时_课件(人教A版必修1)_图文

时间:2017-04-12

第2课时 函数的最大值、最小值

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

1.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析,理 解函数最大值、最小值的定义. 2.会利用函数的单调性求函数的最值.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

自学导引
1.最大值的概念:一般地,设函数y=f(x)的定 义域为I,如果存在实数M满足: f(x)≤M ; (1)对于任意的x∈I,都有________ f(x0)=M .那么,称M是函 (2)存在x0∈I,使得_________ 数y=f(x)的最大值. 2.最小值的概念:一般地,设函数y=f(x)的定 义域为I,如果存在实数M满足: f(x)≥M ; (1)对于任意的x∈I,都有________ f(x0)=M .那么,称M是函数 (2)存在x0∈I,使得________ y=f(x)的最小值.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

自主探究
1.函数最大值或最小值的几何意义是什么? 答:函数最大值或最小值是函数的整体性质, 从图象上看,函数的最大值或最小值是图象最高点 或最低点的纵坐标. a 2. 试探究函数 f(x)=x+x(a>0), x∈(0, +∞)
的单调性.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

a a 答:任取 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- x1 x2 ?x1-x2??x1x2-a? = .由于 x1-x2 及 x1x2 的符号已定,从 x1x2 而 f(x1)-f(x2)的符号取决于 x1x2-a 的符号.由于 x1, x2 只能取 f(x)的某个单调区间上的值,因此考虑 x1= x2 这一极端情形,即 x1x2-a=x2 1-a=0,解得 x1=x2 = a ,从而将定义域 (0,+∞) 分为两个区间 (0, a ) 及[ a,+∞),由此讨论函数的单调性即可.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

任取 0<x1<x2< a,则 x1-x2<0,0<x1x2<a,所 a a 以 x1x2-a<0, 于是 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- = x1 x2 ?x1-x2??x1x2-a? >0,即 f(x1)>f(x2). x1x2 所以函数 f(x)在(0, a)上单调递减. 同理可知, 函数 f(x)在[ a, +∞)上单调递增.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

注意:(1)在给定的区间内, 当某个代数式的符号无法确定时 (如本题中x1x2-a),可取极端情 况(如x1=x2)入手分析,以此为界 分类讨论. a (2) 函数 y = x + x (a>0) 是一个常用且重要的函
数,其图象如图所示,记住这个函数的图象和性质 会给解题带来方便.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

预习测评
1.函数f(x)在[-2,2]上的图象 如图所示,则此函数的最小值、最 大值分别是 ( ) A.f(-2),0 B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2

解析:由函数最值的几何意义知,当x=-2 时,有最小值f(-2);当x=1时,有最大值2. 答案:C

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

2.函数y=ax+1(a<0)在区间[0,2]上的最大值与 最小值分别为 ( ) A.1,2a+1 B.2a+1,1 C.1+a,1 D.1,1+a 解析:a<0,所以一次函数在区间[0,2]上是减函 数,当x=0时,函数取得最大值为1;当x=2时,函数 取得最小值为2a+1. 答案:A 3.函数y=2x2+1,x∈N*的最小值为________. 解析:∵x∈N*,∴y=2x2+1≥3. 答案:3

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

k 4.若函数 y=x(k>0)在[2,4]上的最小值为 5, 则 k 的值为________.
k 解析:因为 k>0,所以函数 y=x在[2,4]上是 k k 减函数,所以当 x=4 时,y= 最小,由题意知 4 4 =5,k=20.

答案:20

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

要点阐释
一、函数的最大(小)值的理解 1.定义中M首先是一个函数值,它是值域的一 个元素.如f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)= 0,注意对(2)中“存在”一词的理解. 2.对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M(或 f(x)≥M)成立.“任意”是说对每一个值都必须满足不 等式.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

3.这两个条件缺一不可,若只有(1),M不是最 大(小)值,如f(x)=-x2(x∈R),对任意x∈R,都有 f(x)≤1成立,但1不是最大值,否则大于0的任意实 数都是最大值了.最大(小)值的核心就是不等式 f(x)≤M(或f(x)≥M),故也不能只有(2). 二、求函数最值的方法 1.求函数最大(小)值的常用方法有: (1)值域:求出函数f(x)的值域,即可求其最值 (注意必须确保存在函数值里的最值); (2)单调性法.通过研究函数的单调性来求函数 的最值;

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

(3)特殊函数法.利用特殊函数 [如一次函数、二 a 次函数、反比例函数、函数 y=x+x(a>0)等]的单调性 来求其最值.

2.当一般的求最值方法难以奏效时,不妨研究 函数的单调性试一试,单调性法是求有些非常规函 数最值的有效方法. (1)一般地,若y=f(x)与y=g(x)有相同的定义 域,且在定义域内有相同的单调性,则函数y=f(x) +g(x)与它们也有相同的单调性.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

(2)函数y=f(x)的最大值和最小值也可用下 列符号表示:用y大或ymax表示y=f(x)的最大 值;用y小或ymin表示y=f(x)的最小值,而用 f(x)|x=x0表示当x=x0时y=f(x)的函数值.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

典例剖析
题型一 利用图象求函数最值 【例1】 如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图 象,指出它的最大值、最小值及单调区间.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

解:观察函数图象可以知道,图象上位置最 高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),所以函 数y=f(x)当x=3时取得最大值,最大值是3,当x =-1.5时取得最小值,最小值是-2. 函数的单调增区间为(-1.5,3],(5,6], 单调减区间为[-4,-1.5],(3,5],(6,7]. 点评:利用函数图象求最值是求函数最值的 常用方法.这种方法以函数最值的几何意义为依 据,对较为简单的且图象易作出的函数求最值较 常用.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

1.试求函数 y=|x+1|+ ?x-2?2的最值.
解: 原函数变为 y = |x + 1| + |x - 2| ?-2x+1 ? = ?3 ? ?2x-1 ?x≤-1? ?-1<x≤2?, ?x>2?

其图

象如图所示, 所以函数的最小值为 3, 无 最大值.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

利用单调性求函数最值 x2+2x+3 【例 2】 已知函数 f(x)= (x∈[2, +∞)), x (1)求f(x)的最小值; (2)若f(x)>a恒成立,求a的取值范围.
解:(1)任取 x1,x2∈[2,+∞), 3 且 x1<x2,f(x)=x+x+2. 则
? 3 ? f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?1-x x ?, ∵x1<x2, ? 1 2?

题型二

∴x1-x2<0,又∵x1≥2,x2>2,

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

3 ∴x1x2>4,1- >0 x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数, 11 ∴当 x=2 时,f(x)有最小值,即 f(2)= . 2 11 (2)∵f(x)最小值为 f(2)= , 2 11 ∴f(x)>a 恒成立,只须 f(x)min>a,即 a< . 2

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

点评:运用函数单调性求最值是求函数最 值的重要方法,特别是当函数图象不好作或作 不出来时,单调性几乎成为首选方法.另外 f(x)>a恒成立,等价于f(x)min>a,f(x)<a恒成 立,等价于f(x)max<a.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

x 2.求函数 f(x)= 在区间[2,5]上的最大值与最 x-1 小值;若 f(x)<a 在[2,5]上恒成立,求 a 的取值范围.

解:任取 2≤x1<x2≤5, x1 x2 则 f(x1)= ,f(x2)= , x1-1 x2-1 x1-x2 x2 x1 f(x2)-f(x1)= - = , x2-1 x1-1 ?x2-1??x1-1? ∵2≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1). x ∴f(x)= 在区间[2,5]上是减函数. x-1 2 ∴f(x)max=f(2)= =2. 2-1 5 5 f(x)min=f(5)= = . 5- 1 4 f(x)<a 恒成立,等价于 a>f(x)max,即 a>2.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

题型三 二次函数在给定区间上的最值 【例3】 求函数f(x)=x2-2ax+2在[-1,1]上的 最小值. 解:函数f(x)图象的对称轴方程为x=a,且函数 图象开口向上,如图所示:

当a>1时,f(x)在[-1,1]上单调递减, 故f(x)min=f(1)=3-2a;

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

当-1≤a≤1时,f(x)在[-1,1]上先减后增, 故f(x)min=f(a)=2-a2; 当a<-1时,f(x)在[-1,1]上单调递增, 故f(x)min=f(-1)=3+2a. 综上可知f(x)的最小值为
?3-2a ? 2 f(x)min=?2-a ?3+2a ? ?a>1? ?-1≤a≤1? ?a<-1? .

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

点评:探求二次函数在给定区间上的最值问 题,一般要先作出y=f(x)的草图,然后根据图象的 增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称 轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已 知区间上最值问题的主要依据. 二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通 常有三种关系;①定义域区间在对称轴右侧;②定 义域区间在对称轴左侧;③定义域区间在对称轴的 两侧.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

3.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上 有最大值5和最小值2,求a,b的值. 解:f(x)=ax2-2ax+2+b=a(x-1)2+2+b-a的 对称轴方程是x=1. (1)当a>0时,f(x)在[2,3]上是增函数.
? ?f?2?=2 ∴? ? ?f?3?=5 ? ?2+b=2 ,即? ? ?3a+2+b=5 ? ?a=1 ,解得? ? ?b=0

.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

(2)当 a<0 时,f(x)在[2,3]上是减函数,
? ?f?2?=5 ∴? ? ?f?3?=2 ? ?2+b=5 ,即? ? ?3a+2+b=2



? ?a=-1 解得? ? ?b=3

.

综上所述,a=1,b=0 或 a=-1,b=3.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的值域. 错解:y=x2-2x=(x-1)2-1, 因为(x-1)2≥0, 所以y=(x-1)2-1≥-1. 从而知,函数y=x2-2x的值域为[-1,+∞). 错因分析:这里函数的定义域有限制,即-1 ≤x≤2,上述解法只对二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 在定义域为实数集时适用.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

正解:y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[-1,2].由 图象知, 当-1≤x<1时,y随x的增大而减小; 当1≤x≤2时,y随x的增大而增大. 并且当x=-1时,y取最大值3; 当x=1时,y取最小值-1. 从而知-1≤y≤3, 即函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的值域是[-1,3]. 纠错心得:函数的定义域是函数的灵魂,求函 数的值域时,首先注意函数的定义域.

课前自主学习

课堂讲练互动

课后智能提升

课堂总结
1.求函数的最值,若能作出函数的图象,由最 值的几何意义不难得出. 2.运用函数的单调性求最值是求最值的重要方 法,特别是函数图象作不出来时,单调性几乎成为 首选方法. 3.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一 般要先作出y=f(x)的草图,然后根据图象的增减性 进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区 间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最 值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.


1.3.1单调性与最大(小)值第二课时_课件(人教A版必修1)_....ppt

1.3.1单调性与最大(小)值第二课时_课件(人教A版必修1)_教学案例/设计_教学研究_教育专区。超级好的资料,保证是精品文档 第2课时 函数的最大值、最小值 ...

...“1.3.1单调性与最大(小)值(第二课时)”课件_图文.ppt

人教A版必修1》“1.3.1单调性与最大(小)值(第二课时)课件 - 1.3.1 函数的单调性与最值 ---最值 【学习目标】 1.在理解函数的单调性概念的...

高中数学1.3.1单调性和最大(小)值第2课时课件新人教A必....ppt

高中数学1.3.1单调性和最大(小)值第2课时课件人教A必修1 - 课题导入

1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时)课件新人教A版必修1_....ppt

1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时)课件人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。1.3.1 单调性与最大(小)值 (第2课时) 二、新课讲解 y A 1 -1 B...

2019人教A版《必修1》“1.3.1单调性与最大(小)值(第二....ppt

2019人教A版必修1》“1.3.1单调性与最大(小)值(第二课时)课件教育精品.ppt - 1.3.1 函数的单调性与最值 ---最值 【学习目标】 1.在理解函数...

...2019学年高中数学1.3.1单调性与最大小值第二课时函....ppt

2018_2019学年高中数学1.3.1单调性与最大值第二课时函数的最大小值课件人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。第二课时 函数的最大(小)值 目标导航 1....

1.3.1单调性与最大(小)值第二课时_课件(人教A版必修1)_....ppt

1.3.1单调性与最大(小)值第二课时_课件(人教A版必修1) - 第2课时 函数的最大值、最小值 课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升 1.通过对一些熟悉函数...

《1.3.1 单调性与最大(小)值(2)》课件-优质公开课-人教....ppt

《1.3.1 单调性与最大(小)值(2)》课件-优质公开课-人教A版必修1精品_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.3.1单调性和最大(小)值 第二课时 课题导入 ...

....1《单调性与最大(小)值(第2课时)》课件(新人教A版必修1)_图文....ppt

数学:1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时)》课件(人教A版必修1) - 第二课时:最大(小)值 教学目标: ? ? ? ? ? ? ? 知识教学目标: 1.在理解...

...1.3.1 单调性与最大课件 新小值 第二课时课件 新人....ppt

2012高一数学 1.3.1 单调性与最大课件小值 第二课时课件人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。高一数学 1.3.1 单调性与最大课件小值 ...

...1.3.1_单调性与最大课件_新小值第二课时课件_新人教A版必修1_....ppt

高一数学_1.3.1_单调性与最大课件_新小值第二课时课件_新人教A版必修1 - 第2课时 函数的最大值、最小值 1.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析,理 解...

高中数学第一章1.3.1单调性与最大小值第2课时函数的最....ppt

高中数学第一章1.3.1单调性与最大值第2课时函数的最大小值课件人教A版必修1 - 第2课时 函数的最大(小)值 核心素养培养目标 核心素养形成脉络 1.理解...

1.3.1《单调性与最大(小)值2》课件(新人教A版必修1)_图文.ppt

1.3.1单调性与最大(小)值2课件(人教A版必修1) - (深化、提高、

1.3.1函数的单调性与最大最小值 课件(人教A版必修1)_图文.ppt

1.3.1函数的单调性与最大最小值 课件(人教A版必修1)_数学_高中教育_教育专区。1.3.1函数的单调性与最大最小值(第2课时) ...

1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件(人教A版必修1)_....ppt

1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件(人教A版必修1) - 普通高中课程标准实验教科书 人教版数学必修一 §1.3.1 函数的基本性质 ---单调性与最大...

1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件新人教A版必修1_....ppt

1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件人教A版必修1_高一数学_数学_...1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 一、实例探究信息产业所占比重变化图 f...

...1.3.1 单调性与最大(小)值课件1 新人教A版必修1_图....ppt

高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值课件1人教A版必修1 - 「自我感悟」 1. 分析下图中函数图象的变化规律,并将 相同规律的图象部分绘制出来 y 2 -1 ...

高中数学1.3.1.1单调性与最大(小)值课件新人教A版必修1....ppt

高中数学1.3.1.1单调性与最大(小)值课件人教A版必修1_教学案例/设计_教学研究_教育专区。第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与...

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)函....ppt

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性课件人教A版必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第1课时 函数的单调性 核心素养...

1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件新人教A版必修1_....ppt

1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件人教A版必修1_数学_高中教育_...1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 一、实例探究 信息产业所占比重变化图 ...