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2006年全国高中数学联赛浙江省预赛试题及答案(word版本)

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2006 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷 一、选择题 1、下列三数 3 , log16 82, log 27 124 的大小关系正确的是 ( ) 2 3 3 A、 ? log16 82 ? log 27 124 B、 ? log 27 124 ? log16 82 2 2 3 3 C、 log 27 124 ? ? log16 82 D、 log 27 124 ? log16 82 ? 2 2 2、已知两点 A(1,2) ,B(3,1)到直线 L 距离分别是 2 , 5 ? 2 ,则满足条件的直线 L 共有 ( ) A、1 条 B、2 条 C、 3 条 D、 4 条 3、设 f ( n) 为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 记 f1 ( 则 f 2006 (2006) ? n) ? f( n) ,fk ?1 (n) ? f ( f k (n)) ,k ? 1, 2,3... , f ?123? ? 12 ? 22 ? 32 ? 14 。 ( ) A、20 B、4 C、42 D、145 1 2 4、设在 xOy 平面上, 0 ? y ? x , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积为 ,则集合 3 M ? ?( x, y ) || y | ? | x |? 1? , N ? ?( x, y ) || y |? x 2 ? 1? 的交集 M ? N 所表示的图形面积为( A、 ) 1 3 B、 2 3 2 C、 1 D、 ) 。 4 3 2 5、在正 2006 边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为( A、2006 6、 函数 f ( x) ? 为( ) 。 A、2 二、填空题 B、 1003 C、 1003 ? 1003 2 D、1003 ? 1002 sin x ? cos x tan x ? cot x sin x ? cos x tan x ? cot x ? ? ? ? 在 x ? (o, ) 时的最小值 sin x ? tan x cos x ? tan x cos x ? cot x sin x ? cot x 2 B、4 C、6 D、8 7、手表的表面在一平面上。整点 1, 2, ,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 2 的圆周上。从 2 。 整点 i 到整点 ? i ?1? 的向量记作 titi ?1 ,则 t1t2 ? t2t3 ? t2t3 ? t3t4 ? 8、设 ai ? R (i ? 1, 2, ? ? t12t1 ? t1t2 = n), ? , ? , ? ? R, 且 ? ? ? ? ? ? 0 ,则对任意 x ? R, 。 ?? 1? a ? i ?1 n ? ? x i ? 1 1 1 ? ? ? (? ? ? ) x ?x ( ? ?? ) x ?x (? ?? ) x ? ? ai 1 ? ai ? ai 1 ? ai ? ai ? 9、在 1, 2, , 2006 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 。 10、设 a , b 是非零实数, x ? R ,若 11、已知 A ? sin 4 x cos 4 x 1 sin 2008 x cos 2008 x ? ? ? 2006 ? ,则 a2 b2 a 2 ? b2 a 2006 b 。 ?? x, y ? x 2 ? y 2 ? 2 x cos ? ? 2 ?1 ? sin ? ??1 ? y ? ? 0, ? ? R , ? k ? 。若 R A ? B 为单元素集,则 。 。 ? B ? ?? x , y ? y? k ? x3 , 12、 max? min ? , a ,b ,c?R ?1 1 1 ? , 3 , a ? b 2 ? c3 ? ? 2 ?a b c ? 三、解答题 2 13 、 在 x 轴 同 侧 的 两 个 圆 : 动 圆 C1 和 圆 4a2 x2? 4 a2 y? 4 ab ? x2 外 ? a y 2 ?b 0 切 ? a, b ? N , a ? 0? ,且动圆 C1 与 x 轴相切,求 (1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L ; (2)若直线 4 值。 ? 7 ? 1 abx ? 4ay ? b2 ? a 2 ? 6958a ? 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求 a , b 之 ? 14 、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n ? n ? 1,2,3 ? , ?bn ? 满足 b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? 2 bn n ? n ? 1,2,3 ? ,证明: 1 n 1 ?? ? 1。 2 k ?1 ak ?1bk ? kak ?1 ? bk ? k 15、六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子。问 1)共有多少种不同的骰子; 2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差 V 。在 所有的骰子中,求 V 的最大值和最小值。 -2- 2006 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准 一. 选择题 1. C 二. 填空题 7. 6 3 ? 9 10. 1 (a ? b 2 )1003 2 2. C 3. D 8. n 11. ? 3 4. B 5. C 9. 12. 3 4010 6. B 3 详细解答如下: 一. 选择题 3 1.下列三数 , log16 82, log 27 124 的大小关系正确的是( C ) 2 3 3 (A) ? log16 82 ? log 27 124 (B) ? log 27 124 ? log16 82 2 2 3 3 (C) log 27 124 ? ? log16 82 (D) log 27 124 ? log16 82 ? 2 2 解: 因为 log16 82 ? lo

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