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2014年广西高考数学考前静悟篇 专题二

时间:2014-04-10


2014 年广西高考数学考前静悟篇
云帆高考命题研究中心 编制

专题二

万能答题模板——助你解题得高分

数学解答题题型解读 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型, 通常是高考的把关题和压轴题, 具有较好的区分层次和选拔 功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.要求考生具有一定 的创新意识和创新能力等特点,解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题 的能力.

针对不少同学答题格式不规范,出现“会而不对,对而不全”的问题,规范每种题型的万能答题模板,按照 规范的解题程序和答题格式分步解答,实现答题步骤的最优化. 万能答题模板以数学方法为载体,清晰梳理解题思路,完美展现解题程序,把所有零散的解题方法与技巧整 合到不同的模块中,再把所有的题目归纳到不同的答题模板中,真正做到题题有方法,道道有模板,使学生从题 海中上岸,知点通面,在高考中处于不败之地,解题得高分. 模板 1 三角函数的性质问题 π? 1 例 1 已知函数 f(x)=cos2? ?x+12?,g(x)=1+2sin 2x. (Ⅰ)设 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,求 g(x0)的值; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间. 审题破题 (Ⅰ)由 x=x0 是 y=f(x)的对称轴可得 g(x0)取到 f(x)的最值; (Ⅱ)将 h(x)化成 y=Asin(ωx+φ)的 形式. 1 ?2x+π??,因为 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,所以 2x0+π=kπ (k∈Z), 解 (Ⅰ)f(x)= ? 1 + cos 6?? ? 2? 6 π? π 1 1 ? 即 2x0=kπ- (k∈Z).所以 g(x0)=1+ sin 2x0=1+ sin?kπ-6?,k∈Z. 6 2 2 1 ? π? 1 3 1 π 1 5 当 k 为偶数时,g(x0)=1+ sin?-6?=1- = .当 k 为奇数时,g(x0)=1+ sin =1+ = . 2 4 4 2 6 4 4 π? π? 3 1 1 1? 3 π 1 ? 3 1 ? (Ⅱ)h(x)=f(x)+g(x)= [1+cos? ?2x+6?]+1+2sin 2x=2? 2 cos 2x+2sin 2x?+2=2sin?2x+3?+2.当 2kπ-2 2 π π 5π π ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时, 3 2 12 12 π 3 5π π 1 2x+ ?+ 是增函数.故函数 h(x)的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ? (k∈Z). 函数 h(x)= sin? 3? 2 12 12? ? 2 ? 第一步:三角函数式的化简,一般化成 y=Asin(ωx+φ)+h 的形式,即化为“一角、 一次、一函数”的形式; 第二步:由 y=sin x、y=cos x 的性质,将 ωx+φ 看做一个整体,解不等式,求角的 范围或函数值的范围; 第三步:得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果; 第四步:反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误. π x+ ?- 3sin2x+sin xcos x+1. 跟踪训练 1 已知函数 f(x)=2cos x· sin? ? 3? (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f(x)的最大值及最小值;(3)写出函数 f(x)的单调递增区间. 1 3 解 f(x)=2cos x? sin x+ cos x?- 3sin2x+sin x· cos x+1=2sin xcos x+ 3(cos2x-sin2x)+1 2 ?2 ? π? =sin 2x+ 3cos 2x+1=2sin? ?2x+3?+1. 2π (Ⅰ)函数 f(x)的最小正周期为 =π. 2 π? π? π π π ? (Ⅱ)∵-1≤sin? ?2x+3?≤1,∴-1≤2sin?2x+3?+1≤3.∴当 2x+3=2+2kπ,k∈Z,即 x=12+kπ,k∈Z
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π π 5π 时,f(x)取得最大值 3;当 2x+ =- +2kπ,k∈Z,即 x=- +kπ,k∈Z 时,f(x)取得最小值-1. 3 2 12 π π π 5π π (3)由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 2 3 2 12 12 5π π - +kπ, +kπ? (k∈Z). ∴函数 f(x)的单调递增区间为? 12 ? 12 ? 模板 2 三角函数与向量、三角形 例 2 在锐角△ABC 中,已知内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 3(tan A-tan B)=1+tan A· tan B,又已 知向量 m=(sin A,cos A),n=(cos B,sin B),求|3m-2n|的取值范围. 审题破题 由已知 A,B 关系式化简,利用向量的数量积求出|3m-2n|并化简为一个角的三角函数形式. tan A-tan B 3 3 解 因为 3(tan A-tan B)=1+tan A· tan B,所以 = ,即 tan(A-B)= , 3 3 1+tan A· tan B π π π π π 又△ABC 为锐角三角形,则 0<A< ,0<B< ,所以- <A-B< ,所以 A-B= . 2 2 2 2 6 π? 又|3m-2n|2=9m2+4n2-12m· n=13-12sin(A+B)=13-12sin? ?2B+6?. π π π π π π π 5π 又 0<C=π-(A+B)< ,0<A= +B< ,所以 <B< ,所以 <2B+ < . 2 6 2 6 3 2 6 6 π 1 2 ? ? ? 所以 sin? ?2B+6?∈?2,1?,所以|3m-2n| ∈(1,7).故|3m-2n|的取值范围是(1, 7).

第一步:进行三角变换,求出某个角的值或者范围; 第二步:脱去向量的外衣,利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数 问题; 第三步:得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果; 第四步:反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误. 跟踪训练 2 已知 a=(2cos x+2 3sin x,1),b=(y,cos x),且 a∥b. (Ⅰ)将 y 表示成 x 的函数 f(x),并求 f(x)的最小正周期; A? (Ⅱ)记 f(x)的最大值为 M,a、b、c 分别为△ABC 的三个内角 A、B、C 对应的边长,若 f? ? 2 ?=M,且 a=2, 求 bc 的最大值. 解 (Ⅰ)由 a∥b 得 2cos2x+2 3sin xcos x-y=0,即 y=2cos2x+2 3sin xcos x=cos 2x+ 3sin 2x+1= π? π? 2π 2π ? 2sin? ?2x+6?+1,所以 f(x)=2sin?2x+6?+1,又 T= ω = 2 =π.所以函数 f(x)的最小正周期为 π. A? ? π? ? π? (Ⅱ)由(Ⅰ)易得 M=3,于是由 f? ? 2 ?=M=3,得 2sin?A+6?+1=3?sin?A+6?=1,因为 A 为三角形的 π 内角, 故 A= .由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得 4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 解得 bc≤4.于是当且仅当 b=c 3 =2 时,bc 取得最大值 4. 模板 3 空间平行或垂直关系的证明 例 3 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 分别为 2 PC、 BD 的中点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= AD. 2 (Ⅰ)求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:平面 PAB⊥平面 PCD. 审题破题 (Ⅰ)根据中位线找线线平行关系,再利用线面平行的判定定理. (Ⅱ)先利用线面垂直的判定 定理,再利用性质定理. 证明 (Ⅰ)连接 AC,则 F 是 AC 的中点,又∵E 为 PC 的中点,∴在△CPA 中, EF∥PA, 又∵PA?平面 PAD,EF?平面 PAD,∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,又∵CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PA. 2 又 PA=PD= AD,∴△PAD 是等腰直角三角形,且∠APD=90° ,即 PA⊥PD. 2 又∵CD∩PD=D,∴PA⊥平面 PCD,又∵PA?平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PCD.
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第一步:将题目条件和图形结合起来; 第二步:根据条件寻找图形中的平行、垂直关系; 第三步:和要证结论相结合,寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系; 第四步:严格按照定理条件书写解题步骤. 跟踪训练 3 (2013· 山东)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M, N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点. (Ⅰ)求证:CE∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:平面 EFG⊥平面 EMN. 1 证明 (Ⅰ) 方法一 取 PA 的中点 H, 连接 EH, DH.又 E 为 PB 的中点, 所以 EH 綊 AB. 2 1 又 CD 綊 AB,所以 EH 綊 CD.所以四边形 DCEH 是平行四边形,所以 CE∥DH. 2 又 DH?平面 PAD,CE?平面 PAD.所以 CE∥平面 PAD. 1 方法二 连接 CF.因为 F 为 AB 的中点,所以 AF= AB. 2 1 又 CD= AB,所以 AF=CD.又 AF∥CD,所以四边形 AFCD 为平行四边形. 2 因此 CF∥AD,又 CF?平面 PAD,所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F,故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE?平面 CEF,所以 CE∥平面 PAD. (Ⅱ)因为 E、F 分别为 PB、AB 的中点,所以 EF∥PA.又因为 AB⊥PA, 所以 EF⊥AB,同理可证 AB⊥FG. 又因为 EF∩FG=F,EF?平面 EFG,FG?平面 EFG.所以 AB⊥平面 EFG. 又因为 M,N 分别为 PD,PC 的中点,所以 MN∥CD, 又 AB∥CD,所以 MN∥AB,所以 MN⊥平面 EFG. 又因为 MN?平面 EMN,所以平面 EFG⊥平面 EMN. 模板 4 空间角的求解问题 例 4 (2012· 浙江)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面是边长为 2 3的菱形, ∠BAD=120° ,且 PA⊥平面 ABCD, PA=2 6,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值. 审题破题 (Ⅰ) 由 M、 N 分别为 PB、 PD 的中点, 可利用△PBD 的中位线得到 MN∥BD; (Ⅱ)利用空间向量来解. (Ⅰ)证明 连接 BD,因为 M,N 分别是 PB,PD 的中点, 所以 MN 是△PBD 的中位线,所以 MN∥BD. 又因为 MN?平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 MN∥平面 ABCD. (Ⅱ)解 连接 AC 交 BD 于点 O,以 O 为原点,OC,OD 所在直线为 x,y 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,如图所示. 在菱形 ABCD 中,∠BAD=120° ,得 AC=AB=2 3,BD= 3AB=6.又因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 PA⊥AC.在直角△PAC 中,AC=2 3,PA=2 6,AQ⊥PC,得 QC=2,PQ=4. 由此知各点坐标如下: A(- 3, 0,0), B(0, -3,0), C ( 3, 0,0), D(0,3,0), P(- 3, 0,2 6), M?- 3 3 ? ,- , 6 , 2 2 ?

?

N?-

?

3 3 ? ? 3,0,2 6?. , , 6 ,Q 2 2 3 ? ? ?3
3

3 3 3 3 → → 设 m=(x, y, z)为平面 AMN 的法向量, 由AM=? ,- , 6?, AN=? , , 2 ?2 ? ?2 2

y+ ? 23x-3 2 ? 6 知? ? 3 3 ? 2 x+2y+

6z=0, 6z=0.

5 3 3 6? → → 取 z=-1,得 m=(2 2,0,-1).设 n=(x,y,z)为平面 QMN 的法向量,由QM=?- ,QN= ,- , 2 3? ? 6 5 3 3 6 - x- y+ z=0, ? 6 2 3 ?-5 3,3, 6?知 ? 6 2 3? ? 5 3 3 6 ?- 6 x+2y+ 3 z=0.

取 z=5,得 n=(2 2,0,5).

m· n 33 33 于是 cos〈m,n〉= = .所以二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为 . |m|· |n| 33 33

第一步:作出?或找出?具有公共交点的三条相互垂直的直线; 第二步:建立空间直角坐标系,设出特征点坐标; 第三步:求半平面的法向量 n,m; 第四步:求法向量 n,m 的夹角或 cos〈m,n〉 ; 第五步:将法向量的夹角转化为二面角,要注意直观判定二面角的大小; 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范. 跟踪训练 4 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD =2CD=2.E 是 PB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; 6 (Ⅱ)若二面角 P-AC-E 的余弦值为 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3 解 (Ⅰ)证明 ∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC,∵AB=2,AD=CD =1,∴AC=BC= 2,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,又 BC∩PC=C, ∴AC⊥平面 PBC,∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. → → → (Ⅱ)如图,以 C 为原点,DA、CD、CP分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间直角 1 1 a → 坐标系,则 C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).设 P(0,0,a)(a>0),则 E ,- , ,CA= 2 2 2 1 1 a → → (1,1,0),CP=(0,0,a),CE= ,- , , 2 2 2 ? ?b+p=0 → → 设 m=(b,p,m)为面 PAC 的法向量,则 m· CA=m· CP=0,即? ,取 m=(1, ?am=0 ? -1,0), ? ?x+y=0, → → 设 n=(x,y,z)为面 EAC 的法向量,则 n· CA=n· CE=0,即? 取 x=a,y=-a,z=-2,则 n= ?x-y+az=0, ? |m· n| a 6 → (a,-a,-2),依题意,|cos〈m,n〉|= = 2 = ,则 a=2.于是 n=(2,-2,-2),PA=(1,1,-2). |m||n| a +2 3 → |PA· n| 2 → 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ,则 sin θ=|cos〈PA,n〉|= = ,即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦 3 → |PA||n| 2 值为 . 3 模板 5 数列通项公式的求解问题 + 例 5 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2n 1+1,n∈N*,且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式. 审题破题 (Ⅰ)可令 n=1,n=2 得关系式联立求 a1; (Ⅱ)由已知可得 n≥2 时,2Sn-1=an-2n+1,两式
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相减. 解 (Ⅰ)当 n=1 时,2a1=a2-4+1=a2-3,① 当 n=2 时,2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7,② 又 a1,a2+5,a3 成等差数列,所以 a1+a3=2(a2+5),③ 由①②③解得 a1=1. + (Ⅱ)∵2Sn=an+1-2n 1+1,∴当 n≥2 时,有 2Sn-1=an-2n+1,两式相减得 an+1-3an=2n, ? an ? an+1 3 an an+1 3 an a1 3 则 n - ·n-1=1,即 n +2= ?2n-1+2?.又 0+2=3,知?2n-1+2?是首项为 3,公比为 的等比数列, 2 22 2 2? 2 ? 2 ? ? 3 an n n n n ?n-1 ∴ n-1+2=3? ?2? ,即 an=3 -2 ,n=1 时也适合此式,∴an=3 -2 . 2

第一步:令 n=1,n=2 得出 a1,a2,a3 的两个方程,和已知 a1,a2,a3 的关系 联立求 a1; 第二步:令 n≥2 得关系式后利用作差得 an+1,an 的关系; 第三步:用待定系数法构造等比数列,并求出通项; 第四步:求出数列{an}的通项.
2 跟踪训练 5 在公差为零的等差数列 {an } 中, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,已知 S3 ? 9S2 , S4 ? 4S2 ,求数列 {an }

的通项公式。

模板 6 数列求和问题 例6 1 (2012· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n2+kn(其中 k∈N+),且 Sn 的最大值为 8. 2 ?9-2an? (Ⅰ)确定常数 k,并求 an; (Ⅱ)求数列? n ?的前 n 项和 Tn. ? 2 ? 审题破题 (Ⅰ)由 Sn 的最大值,可据二次函数性质求 k,因而确定 an; (Ⅱ)利用错位相减法求和. 1 2 1 2 2 1 2 解 (Ⅰ)当 n=k∈N+时,Sn=- n +kn 取最大值,即 8=Sk=- k +k = k ,故 k2=16,因此 k=4, 2 2 2 9 7 9 从而 an=Sn-Sn-1= -n(n≥2).又 a1=S1= ,所以 an= -n. 2 2 2 9-2an n-1 n 2 3 n (Ⅱ)因为 bn= n = n-1,Tn=b1+b2+?+bn=1+ + 2+?+ n-2 + n-1, 2 2 2 2 2 2 n+ 2 1 1 n 1 n 所以 Tn=2Tn-Tn=2+1+ +?+ n-2- n-1=4- n-2- n-1=4- n-1 . 2 2 2 2 2 2

跟踪训练 6 已知数列 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,且 a1 ? b1 ? 2, , b4 ? 54 , a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q , (Ⅱ)数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

第一步:利用条件求数列{bn}的通项公式; 第二步:写出 Tn=b1+b2+?+bn 的表达式; 第三步:分析表达式的结构特征、确定求和方法.?例如:公式法、裂项法, 本题用错位相减法?; 第四步:明确规范表述结论; 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.如本题中在求 an 时,易 忽视对 n=1,n≥2 时的讨论.

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54 n?1 ? 27 ,从而 q ? 3 ,因此 bn ? b1 ? q ? 2 ? 3 n?1 . 2 又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,? a2 ? 8 ,从而 d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 a n ? a1 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 4

由 b4 ? b1q 3 ,得 q 3 ?

(Ⅱ) cn ? an bn ? 4 ? (3n ? 2) ? 3 n?1 令 Tn ? 1 ? 30 ? 4 ? 31 ? 7 ? 32 ? ? ? (3n ? 5) ? 3n?2 ? (3n ? 2) ? 3n?1

3Tn ? 1 ? 31 ? 4 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (3n ? 5) ? 3n?1 ? (3n ? 2) ? 3n
两式相减得 ? 2Tn ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3
1 2 3 n ?1

3( 3 n?1 ? 1) ? ( 3n ? 2) ? 3 ? 1 ? 3 ? 3?1
n

9( 3 n?1 ? 1) 7 3n (6n ? 7) ? (3n ? 2) ? 3 n ,?Tn ? ? ,又 S n ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3 n ? (3n ? 2) ? 3 ? 1 ? 4 4 2
n

模板 7 概率问题 例 7 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立 作答,然后由乙回答剩余 3 题,每人答对其中 2 题就停止答题,即闯关成功.已知在 6 道备选题中,甲能答对其 2 中的 4 道题,乙答对每道题的概率都是 . 3 (Ⅰ)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (Ⅱ)求甲答对题目的个数恰为 2 题的概率. 审题破题 (Ⅰ)对“甲、乙至少一人闯关成功”进行标记、分解,再利用概率公式求解; (Ⅱ)确定 ξ 的 C1 C2 4 1 2 2 22 1 4· 2 = = ,P( B )=(1- )3+C1 3·(1- ) = C3 20 5 3 3 3 27 6 2 7 1 7 128 + = ,则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1-P( A ·B )=1-P( A )· P( B )=1- × = . 9 27 5 27 135 2 1 3 C4C2+C4 4 (Ⅱ)P(ξ=2)= = , C3 5 6 解 (Ⅰ)设甲、乙闯关成功分别为事件 A、B,则 P( A )= 所有取值,计算 ξ 所有取值对应事件的概率写出分布列.

第一步:理解题目中的数据和变量的意义,完成频率分布表; 第二步:利用互斥事件的概率公式求概率、作答. 跟踪训练 7 某师范大学地理学院决定从 n 位优秀毕业生(包括 x 位女学生,3 位男学生)中选派 2 位学生到某贫困 山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师,每一位学生被选派的机会是相同的. 3 (Ⅰ)若选派的 2 位学生中恰有 1 位女学生的概率为 ,试求出 n 与 x 的值; 5 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求选派的学生中女学生的人数至少有 1 人的概率. 3 解 (Ⅰ)若选派的 2 位学生中恰有 1 位女学生的概率为 ,而从 n 位优秀毕业生中选派 2 位学生担任第三 5 n ? n - 1 ? 1 批顶岗实习教师的总方法数为 C2 ,2 位学生中恰有 1 位女学生的方法数为 C1 n= n-3C3=(n-3)×3.依题 2 1 C1 3?n-3? 3 n-3C3 意可得 = ,化简得 n2-11n+30=0,解得 n1=5,n2=6.当 n=5 时,x=5-3=2;当 n=6 2 = Cn n?n-1? 5 2

时,x=6-3=3.故所求的值为 (Ⅱ)当



时,X 可能的取值为 0,1,2,

1 0 C1 3 C2 1 7 2C3 2C3 X=1 表示选派 1 位男生与 1 位女生,这时 P(X=1)= 2 = +P(X=2)= 2 = = . C5 5 C5 10 10

模板 8 圆锥曲线的定点问题 例8 已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2-1,离心率为 e= (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
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2 . 2

→ → (Ⅱ)过点(1,0)作直线 l 交 E 于 P、Q 两点,试问:在 x 轴上是否存在一个定点 M,使MP· MQ为定值?若存 在,求出这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 审题破题 (Ⅰ)利用待定系数法求 E 的方程; (Ⅱ)探求定点可以先根据特殊情况找出点,再对一般情况 进行证明.

x2 y2 (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),由已知得 解得 a b 2 x 所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 E 的方程为 +y2=1. 2 (Ⅱ)假设存在符合条件的点 M(m,0),设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → → → 则MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2),MP· MQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2. ①当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1), 解

2k2-2 4k2 得 x2+2k2(x-1)2-2=0, 即(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 则 x1+x2= 2 , x1x2= 2 , 2k +1 2k +1 2 2 2 2 2 k - 2 k 4 k k → → y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=- 2 ,所以MP· MQ= 2 -m· 2 +m2- 2 2k +1 2k +1 2k +1 2k + 1 ?2m2-4m+1?k2+?m2-2? = . 2k2+1 5 ? 5 → → → → 因为对于任意的 k 值,MP· MQ为定值,所以 2m2-4m+1=2(m2-2),得 m= .所以 M? MQ ?4,0?,此时,MP· 4 7 1 =- .②当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,则 x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=- , 16 2 5 ? 5 7 → → 由 m= ,得MP· MQ=- .综上,符合条件的点 M 存在,且坐标为? ?4,0?. 4 16 由

第一步:引进参数.从目标对应的关系式出发,引进相关参数.一般地,引进的参数是 直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等;? 第二步:列出关系式.根据题设条件,表达出对应的动态直线或曲线方程;? 第三步:探求直线过定点.若是动态的直线方程,将动态的直线方程转化成 y-y0= k?x-x0?的形式,则 k∈R 时直线恒过定点?x0,y0?;若是动态的曲线方程,将动态的 曲线方程转化成 f?x,y?+λg?x,y?=0 的形式,则 λ∈R 时曲线恒过的定点即是 f?x, y?=0 与 g?x,y?=0 的交点;? 第四步:下结论;? 第五步:回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时,引进参数的目的是 以这个参数为中介,通过证明目标关系式与参数无关,达到解决问题的目的. 跟踪训练 8-1 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 M(4,0). (Ⅰ)若点 F 到直线 l 的距离为 3,求直线 l 的斜率; (Ⅱ)设 A,B 为抛物线上的两点,且直线 AB 不与 x 轴垂直,若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M,求证: 线段 AB 中点的横坐标为定值. 解: (Ⅰ)由已知得直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4),由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0), |3k| 2 2 因为点 F 到直线 l 的距离为 3,所以 2= 3,解得 k=± 2 ,所以直线 l 的斜率为± 2 . 1+k (Ⅱ)证明 设线段 AB 中点的坐标为 N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线 AB 不与 x 轴垂直,所以 4-x0 4-x0 y0 AB 斜率存在, 所以直线 MN 的斜率为 , 直线 AB 的斜率为 , 直线 AB 的方程为 y-y0= (x-x0), y0 y0 x0-4 x0? 2 2 消去 x,得? ?1- 4 ?y -y0y+y0+x0(x0-4)=0,

联立方程得

y1+y2 4y0 2y0 所以 y1+y2= ,因为 N 为线段 AB 的中点,所以 =y0,即 =y , 2 4-x0 4-x0 0 所以 x0=2.即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.
7

5 的双曲线 C 的中心在坐标原点,左、右焦点 F1、F2 在 x 轴上,双曲线 C 的右支 2 ???? ???? ? 上存在一点 A,使 AF 1 ? AF 2 ? 0 且 ?F 1 AF2 的面积为 1。
跟踪训练 8-2 已知离心率为 (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与双曲线 C 相交于 E、F 两点(E、F 不是左右顶点) ,且以 EF 为直径的圆过双 曲线 C 的右顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

模板 9 圆锥曲线中的范围、最值问题 例9 如图, 设抛物线 C 1 : y2 ? 4mx(m ? 0) 的准线与 x 轴交地 F1, 焦点为 F2, 以 F1、 F2 为焦点, 离心率 e ?

1 2

的椭圆 C2 与抛物线 C2 在 x 轴上方的交点为 P。 (1)当 m=1 时,求椭圆 C2 的方程; (2)延长 PF2 交抛物线于点 Q,M 是抛物线 C1 上一动点,且 M 在 P 与 Q 之间运 动,当△PF1F2 的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ 面积的最大值。

8

第一步:提取.从题设条件中提取不等关系式;? 第二步:解不等式.求解含有目标参数的不等式,得到不等式的解集;? 第三步:下结论.根据不等式的解集,并结合圆锥曲线中几何量的范围,得到所求参 数的取值范围;? 第四步:回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围,要考虑圆锥曲 线自身的一些几何意义,如离心率的范围,圆锥曲线的定义中的 a,b,c 的大小关 系等. 跟踪训练 9 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2,离心率为 2 ,直线 l 与 y 轴交于点 P(0, 2

→ → m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且AP=3PB. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围. y2 x2 解 (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),设 c>0,c2=a2-b2, a b c 2 2 x2 由题意,知 2b= 2, = ,所以 a=1,b=c= .故椭圆 C 的方程为 y2+ =1,即 y2+2x2=1. a 2 2 1 2 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*) -2km m2-1 → → x1+x2= 2 ,x1x2= 2 .因为AP=3PB,所以-x1=3x2, k +2 k +2 由
9

m2-1 ?-2km?2+4· 所以 3(x1+x2)2+4x1x2=0.所以 3· =0. ? k2+2 ? k2+2 ? ? 1 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0,即 k2(4m2-1)+(2m2-2)=0.当 m2= 时,上式不成立; 4 2 2-2m2 2 1 2 2-2m 2 2 2 当 m ≠ 时,k = 2 ,由(*)式,得 k >2m -2,又 k≠0,所以 k = 2 >0. 4 4m -1 4m -1 1 1 1 1 ? ? ? 解得-1<m<- 或 <m<1.即所求 m 的取值范围为? ?-1,-2?∪?2,1?. 2 2 模板 10 函数的单调性、极值、最值问题 所以 例 10 设函数 f ( x) ?

1 1 (a ? 1) x 3 ? ax 2 ? x (a ? R) 3 2

(Ⅰ)若 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴和直线 x ? 2 y ? 0 围成的三角形面积等于 (Ⅱ)当 a ? 2 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 解: (I)∵ f '( x) ? (a ?1) x2 ? ax ? 1 ,∴ f '(1) ? (a ? 1) ? 1 ? a ? 0

1 ,求 a 的值; 4

1 a?4 a?4 ,∴曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是: y ? ? ,由 a ?1 ? ? 2 6 6 a?4 ? y?? ? ? y ? a?2 ? 6 , ,得 ? ? ?x ? 2 y ? 0 ?x ? ? a ? 4 ? 3 ? 1 1 1 1 1 则条件中三条直线所围成的三角形面积为 ? a ? 4 ? a ? 4 ? (a ? 4) 2 ? ,得 a ? 7 或 a ? 1 2 6 3 36 4 2 (II) f '( x) ? (a ?1) x ? ax ? 1 ? ( x ?1)[(a ?1) x ?1] ,令 g ( x) ? ( x ? 1)[(a ? 1) x ? 1] , ① 当 a ? 1 , f '( x) ? 1 ? x ,则 f ( x ) 在 (??,1] 上递增,在 [1, ??) 上递减 1 ②当 1 ? a ? 2 时,由于 f '( x ) ? 0 ? 1 ? x ? , a ?1 1 1 ] 上递减,同理 f ( x ) 在 (??,1] 和 [ , ??) 上是增函数 所以 f ( x ) 在 [1, a ?1 a ?1 1 1 1 , 1] 上递增;同理 f ( x) 在 ( ??, ? x ? 1 ,所以, f ( x) 在 [ ② 当 a ? 1 时, f '( x ) ? 0 ? ]和 a ?1 a ?1 a ?1 ③ [1, ??) 上递减.
又∵ f (1) ? (a ? 1 )-

1 3

第一步:确定函数的定义域.如本题函数的定义域为 R. 第二步:求 f(x)的导数 f′(x). 第三步:求方程 f′(x)=0 的根. 第四步:利用 f′(x)=0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺次将定义域分成若干 个小开区间,并列出表格. 第五步:由 f′(x)在小开区间内的正、负值判断 f(x)在小开区间内的单调性. 第六步:明确规范地表述结论. 第七步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题中 f′(x)=0 的根为 1 x1=- ,x2=a.要确定 x1,x2 的大小,就必须对 a 的正、负进行分类讨论.这就是 a 本题的关键点和易错点.

跟踪训练 10 已知函数 (Ⅰ)若 (Ⅱ)设 解: (Ⅰ)当 a ? ,求函数 f(x)的极值;

.

,若函数



上单调递增,求 a 的取值范围.

3 2 3 时, f ? ? x ? ? x ? 3x ? 2 ? ? x ? 1? ? x ? 2 ? ? 0 解得: x ? 1 或 x ? ?2 . 2
10

∵当 x ? ? ??, ?2? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ?2,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,∴ f ? x ? 的极小值为 f ? ?2? ? ?6 .
3 2 2 (Ⅱ)解法一: F ? x ? ? x ? ? 2a ? 1? x ? a ? 2a x ,

?

?

即 F ? ? x ? ? 3x2 ? ? 4a ? 2? x ? a2 ? 2a ? 0, 在 ?0,1? 上恒成立,即
2 1 ? 2a (a ? 1 ) ? (0,1) 时,只要 ? ? 0 ,即 a ? ? , 3 3 ? F ?(0) ? 0; 1 ? 2a 1 ? 2a ? 1或 x ? ? 0 时,只要 ? (2)当对称轴 x ? 3 3 ? F ?(1) ? 0.

(1)当对称轴 x ?

即?

?a 2 ? 2a ? 0; ? 得 a ? ?1 或 a ? 2 . 综上所述, a ? ?1 或 a ? 2 2 ? ?3 ? 2(2a ? 1) ? a -2a ? 0.

解法二:

F ? x ? ? x3 ? ? 2a ? 1? x 2 ? ? a 2 ? 2a ? x , F ? ? x ? ? 3x 2 ? ? 4a ? 2 ? x ? ? a 2 ? 2a ? ? ? 3x ? a ? 2 ?? x ? a ?

由已知得: F ? ? x ? ? ?3x ? a ? 2?? x ? a ? ? 0 在 ?0,1? 上恒成立,

2?a 2?a 2?a ? ? a 时,即 a ? ?1 时,符合题意;当 ? ? a 时,即 a ? ?1 时,只须 ? a ? 1 或 ? 0, 3 3 3 2?a 2?a ? ? a 时,即 a ? ?1 时,只须 ? a ? 0 或 ? 1 ,∴ a ? 0 或 a ? ?1 , ∴ a ? ?1 或 a ? 2 ,∴ a ? 2 ;当 3 3 ∴ a ? ?1 .综上所述, a ? ?1 或 a ? 2 .
当 模板 11 导数与不等式问题 例 11 函数 f ?x? ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在 ?? ? ,0?上是增函数,在 ?0,2? 上是减函数.

2 f ' ?x ? ? 6 x 2 ? 4 ?b. 2x ?1 解: (Ⅰ) f ' ?x? ? 3x 2 ? 2bx ? c ,由函数在 ?? ? ,0?上是增函数,在 ?0,2? 上是减函数,
(Ⅰ)求 b 的取值范围; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 ∴ x ? 0 是 f ?x ? 的极大值 ? f ' ?0? ? c ? 0 , ∴ f ' ?x? ? 3x 2 ? 2bx ? 0 的两根为 x1 ? 0, x2 ? ? ∴?

2b . 3

2b ? 2 ? b ? ?3 . 3 4bx ? 4 ? 2bx ? b 2bx ? 4 ? b 2 3x 2 ? 2bx ? 6 x 2 ? 4 ?0? ?0 (Ⅱ) ?b ? 0, 2x ?1 2x ?1 2x ?1 1 b?4 1 2 ? 1 1 2? ? ? ,∵ b ? ?3 , ∴ x1 ? x2 ,∴解集为 ? x ? ? x ? ? ? . ∵对应方程的根为 x1 ? ? , x2 ? 2 2b 2 b 2 b? ? 2 3 2 跟踪训练 11 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ( a ? 0 )是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ?1 时,函数 f ( x) 取极值 1.

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; 5 (Ⅱ)令 g ( x) ? ?mx ? m ,若 x1 , x2 ?[0, m] ( m ? 0 ) ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范 2 围. 解析: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ( a ? 0 )是定义在 R 上的奇函数,
? x) ? f (? x) ? ? f ( x) 恒成立,即 bx 2 ? 0 对于 x ? R 恒成立,? b ? 0 .则 ( f x) ? ax3 ? cx , f( ? 3ax2 ? c , 1 3 1 3 ? x ? ?1 时,函数取极值 1.∴ 3a ? c ? 0 , ? a ? c ? 1 ,解得 a ? ,c ? ? .∴ f ( x) ? x3 ? x . 2 2 2 2 (Ⅱ)不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 恒成立,只需 f ( x)max ? g ( x)min ? 0 即可. 5 ∵函数 g ( x) 在 [0, m] 上单调递减,∴ g ( x)min ? g (m) ? ?m2 ? m . 2 1 3 3 3 2 3 3 又 f (x)? x ? x , f ?( x) ? x ? ? ( x ? 1)( x ? 1) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 1 ; f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 , 2 2 2 2 2 故函数 f ( x) 在 ( ??, ?1) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ?1,1) 上单调递减,则当 x ? 1 时, f ( x) 取得极小值,

11

1 3 3 x ? x ? f (0) 时, x ? 3 ,①当 0 ? m ? 3 时, f ( x)max ? f (0) ? 0 , 2 2 5 5 5 则 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x)max ? g ( x)min ? 0 ? (?m2 ? m) ? m2 ? m ? 0 ,解得 0 ? m ? ,故此时 0 ? m ? 3 . 2 2 2 1 3 3 ②当 m ? 3 时, f ( x)max ? f (m) ? m ? m , 2 2 1 3 3 5 1 则 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x)max ? g ( x)min ? m ? m ? (?m2 ? m) ? m3 ? m2 ? 4m ? 0 , 2 2 2 2 解得 ?4 ? m ? 2 ,故此时 3 ? m ? 2 .综上所述,实数 m 的取值范围是 (0, 2] .
在 (0, ??) 上,当 f ( x) ?

12


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