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成才之路北师大数学必修2-1.7.3

时间:2014-10-04


第一章

§7

7.3

一、选择题 1.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( A.144π,144π C.36π,144π [答案] D [解析] 球的半径为 3,S 球=4π×32=36π. 4 V 球= π×33=36π. 3 2.正方体的全面积为 54,则它的外接球的表面积为( A.27π C.36π [答案] A [解析] S 正=54,∴边长 a=3,2R=3 3, ∴S 球=4πR2=π(2R)2=π×(3 3)2=27π. 3.把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱,则圆柱的高为( A.R C.3R [答案] D 4 [解析] 设圆柱的高为 h,则 πR2h=3·πR3, 3 ∴h=4R. 4.若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等,体积也相等,则它们的高度之比为 ( ) A.2∶1 C.2∶π [答案] A 1 4 1 [解析] 设半径为 r,圆锥的高为 h,由题意得:V 圆锥= πr2h= πr3× .∴h∶r=2∶1. 3 3 2 5.(2014· 大纲卷理,8)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长 为 2,则该球的表面积为( ) B.2∶3 D.2∶5 B.2R D.4R ) 8 2 B. π 3 9 3 D. π 2 ) )

B.144π,36π D.36π,36π

81π A. 4 C.9π [答案] A

B.16π 27π D. 4

[解析] 本题考查空间几何体的结构特征,球的表面积运算.设球的半径是 r,根据题 9 9 81π 意可得(4-r)2+( 2)2=r2,解得 r= ,所以球的表面积是 S=4πr2=4π( )2= . 4 4 4 6.球面上四点 P、A、B、C,已知 PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=a,则球 的表面积为( A.2πa2 C.4πa2 [答案] B [解析] 可将 PA、PB、PC 作为正方体从同一点引出的三条棱,则正方体的对角线长为 正方体外接球的直径. ∴有 3a=2R,∴R= ∴S=4πR2=3πa2. 二、填空题 7.(新课标Ⅰ)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α,H 为垂 足,α 截球 O 所得截面的面积为 π,则球 O 的表面积为________. [答案] 9 π 2 3 a, 2 ) B.3πa2 D.6πa2

[解析] 本题考查球的表面积计算.结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形,由勾 股定理求解. 4 R 如图设球 O 半径为 R,则 BH= R,OH= ,截面圆半径设为 r,则 πr2=π,r=1,即 3 3 R 9 9 HC=1,由勾股定理得 R2-( )2=1,R2= ,S 球=4πR2= π. 3 8 2

8. 体积为 8 的一个正方体, 其全面积与球 O 的表面积相等, 则球 O 的体积等于________. [答案] 8 6π π

[解析] 本题主要考查利用正方体全面积,球表面积公式等知识点解决问题的能力.由

条件知正方体棱长为 2,所以全面积为 24,设球半径为 R,则 4πR2=24,R= 4 6π?3 8 6π 的体积为 π? = . 3 ? π ? π 三、解答题 9.一倒置圆锥体的母线长为 10 cm,底面半径为 6 cm. (1)求圆锥体的高;

6π ,所以球 π

(2)一球刚好放进该圆锥体中,求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间. [解析] (1)设圆锥的高为 h,底面半径为 R,母线长为 l,则 h= l2-R2= 102-62= 8(cm). (2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示,设球的半径为 r, OD OC 由△OCD∽△ACO1 得 = . O1A AC r 8-r ∴ = ,解得 r=3. 6 10 圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积,即 1 4 V 锥-V 球= ×π×62×8- π×33=96π-36π=60π(cm3). 3 3

一、选择题 1.设球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2,下列说法中最合适的是( A.V1 比 V2 大约多一半 C.V1 比 V2 大约多一倍 [答案] D [解析] 本题考查球的体积公式等,并考查学生的推理判断能力、估算能力. 4 3π 设球的半径为 R, 则 V1= πR3, 设正方体棱长为 a,则 2R= 3a, V2=a3,所以 V1= 3 2 V2,估算得选项 D. 2.一个物体的三视图如图所示,则该物体的体积为( ) B.V1 比 V2 大约多两倍半 D.V1 比 V2 大约多一倍半 )

A.2π 14 C. π 3 [答案] A

8 4 B. + π 3 3 40 D. π 3

4 2 [解析] 该几何体的上部是一个球,其体积为 π,下部是一个圆柱,其体积是 π,则该 3 3 4 2 几何体的体积为 π+ π=2π. 3 3 二、填空题 3.(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为 的棱长为________. [答案] 3 9π ,则正方体 2

[解析] 本题考查了正方体外接球的体积. 4 9 3 设球半径为 R,正方体棱长为 a,则 V 球= πR3= π,得到 R= ,正方体体对角线的长 3 2 2 为 3a=2R,则 a= 3,所以正方体棱长为 3.正方体体对角线的长为 3a,其长度等于外接 球的直径,注意这些常用结论. 4.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆 3 锥底面面积是这个球面面积的 , 则这两个圆锥中, 体积较小者的高与体积较大者的高的比 16 值为________. [答案] 1 3

[解析] 本题主要考查了球、球的截面问题,同时考查了学生解决实际问题的能力. 依据题意画出示意图:

设球半径 R,圆锥底面半径 r,则 πr2= 3 ·4πR2, 16

3 1 2 即 r2= R2,在 Rt△OO1C 中,由 OC2=OO2 1+O1C 得 OO1= R. 4 2

1 所以,高的比为 . 3 三、解答题 5.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球 过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. [解析] 设正方体的棱长为 a,

(1)正方体的内切球的球心是正方体的中心,切点是六个正方形的中心,经过四个切点 a 2 及球心作截面,如答图(1),所以 2r1=a,r1= .所以 S1=4πr2 1=πa . 2 (2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点,过球心作平行于正方体底面的截面,如 答图(2),2r2= 2a,r2= 2 2 a,所以 S3=4πr2 =2πa2. 2

(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如答图(3),所以有 2r3= 3a,r3= 3 2 a,所以 S2=4πr2 3=3πa . 2

综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 6.两个球的体积之和为 12π,这两个球的大圆周长之和为 6π,求大球半径与小球半径 之差. [解析] 设两球的半径为 R,r(R>r).由已知,得 4 4 3 3 ? ? ?3πR3+3πr3=12π ?R +r =9 ? ? ,得 ?R+r=3 ? ?2πR+2πr=6π ? ∵R3+r3=(R+r)(R2-Rr+r2)=9, ∴R2-Rr+r2=3, ∴(R+r)2-3Rr=3,得 Rr=2, ∴(R-r)2=(R+r)2-4Rr=1, ∴R-r=1.故大球半径与小球半径之差为 1. 7.设四面体的各条棱长都为 1,若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上,求球 的表面积. [解析] 如图,由已知四面体的各条棱长都为 1,得各个面都是边长为 1 的正三角形, 过 A 作 AO⊥平面 BCD 于 O,连接 BO.

在 Rt△AOB 中, AB=1,BO= 所以 AO= 3 2 3 × = , 2 3 3

1 6 1- = . 3 3 6 -R,O1B=R, 3

设球的半径为 R,球心为 O1,则 O1 在线段 AO 上,OO1=AO-R= BO= 3 , 3

在 Rt△O1OB 中,O1B2=OB2+OO2 1, 即 R2=? 6 3? 2 ? 6 ?2 + -R ,解得 R= 4 . ?3? ?3 ? 3π . 2

所以球的表面积为 S=4πR2=


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