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导数在研究函数中的应用

时间:2016-04-07


导数在研究函数中的应用
基础练习: 1. f(x)=3x-x3 的单调减区间为_____________________________________________. 2.函数 f(x)=ex-x 在区间(-∞,0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”). 3.函数 f(x)=x3+ax-2 在(1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________. 4.如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断:①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点;③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点.其中正确的判断是________.(填序号) 5.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则 A.a<-1 1 B.a>-1 C.a>- e 1 D.a<- e ( )

例题 1 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=1 处取得极值-2. (1)试用 c 表示 a,b;(2)求 f(x)的单调递减区间.

例2

已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x+1.

(1)设 a=2,求 f(x)的单调区间;(2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围.

4 例 3 若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式;(2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

练习设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值;(2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.

例3

已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+5,记 f(x)的导数为 f′(x).

2 (1)若曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 3,且 x= 时 y=f(x)有极值,求函数 f(x)的解析式;2)在(1)的条 3 件下,求函数 f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值.

1 1 2 例 4 设 f(x)=- x3+ x2+2ax.(1)若 f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 2 3 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3

练习:知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R).(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值.

练习:1.函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 B.0 C.2 D.4

(

)

2.已知 f(x)=2x3-6x2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为________. 3.已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在(-∞,+∞)内单调递 减,则实数 m=________. 4.已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数 a、b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值 3、最小值-29?若存 在,求出 a、b 的值,若不存在,请说明理由.

1 5.已知函数 f(x)=ax2+bln x 在 x=1 处有极值 .(1)求 a,b 的值; 2 (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间.


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