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扬州市2014高一数学期末调研测试答案

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扬州市 2013—2014 学年度第二学期期末调研测试试题

高 一 数 学 参 考 答 案
1. (0,1) 7. 11 2.

2014.6 6.3

? 6 ? 8. 3

3. 6 9.

4.相交 11. 3

5.1 12.

n 2n

10. (?2, ?1]

1 2

13. (

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

14. ? 2,5 2 ?

?

?
k AB ? 1 ,∴边 AB 上的高所在直线的斜率为 ?2 2
…………3 分 …7 分

15.解: (1)

又∵直线过点 C (5, 4) ∴直线的方程为: y ? 4 ? ?2( x ? 5) ,即 2 x ? y ? 14 ? 0 (2)设直线 l 的方程为:

x y a 3 ? ? 1 ,即 y ? ? x?a k AC ? …10 分 a ?1 a a ?1 4 a 3 3 x y ?? ? , 解得: a ? ? ∴直线 l 的方程为: ? ? 1 ……………12 分 4 3 a ?1 4 7 ? 7 7
2 2 ∴直线 l 过点 ( , 0), (0, ? ), 三角形斜边长为 ( ) ? ( ) ?

4 7

3 7

4 7

3 7

5 7
…………14 分

∴直线 l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为 注:设直线斜截式求解也可.

5 4 3 12 ? ? ? . 7 7 7 7

16.解: (1)由正弦定理可得: 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C , 即 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ;∵ B ? ? ? ( A ? C ) ∴ cos A ? (2)∵ S ? ∴ sin B ? sin( A ? C ) 且不为 0 ……………7 分

1 2

∵ A ? (0, ? ) ∴ A ?

?
3 1 3
2

1 3 3 bc sin A ? bc ? 2 4 12
2 2 2

∴ bc ?

……………9 分

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc ,
2 2 又∵ b ? c ? 2a , a ? 0 ∴ a ? 2a ? 1 ,解得: a ? 1

……………11 分 ………………14 分 ………………2 分

17.解: (1)由已知得: a1 ? 3 ,

n ? 2 且 n ? N * 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? 2n) ? [(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 2n ? 1
经检验 a1 亦满足 an ? 2n ? 1 ∴ an ? 2n ? 1(n ? N *) ………………5 分

高一期末调研测试数学参考答案第 1 页(共 5 页)

∴ an?1 ? an ? [2(n ? 1) ? 1] ? (2n ? 1) ? 2 为常数 ∴ {an } 为等差数列,且通项公式为 an ? 2n ? 1(n ? N *) (2)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 q ?
3

………………7 分

b4 ? 27 , b1 an 2n ? 1 ? n bn 3
① ② ……………9 分

∴ q ? 3 ,则 bn ? 3 ? 3n ?1 ? 3n , n ? N * ∴

3 5 7 2n ? 1 ?Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n 3 3 3 3 1 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 Tn ? ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 3 3 3 3 3 3 ① ? ②得:

2 1 1 1 Tn ? 1 ? 2( 2 ? 3 ? 4 3 3 3 3
?Tn ? 2 ? n?2 ,n? N * 3n

1 1 (1 ? n?1 ) 2 1 2n ? 1 2n ? 1 4 2n ? 4 3 ? n ) ? n ?1 ? 1 ? 2 ? 3 ? n ?1 ? ? n ?1 …13 分 1 3 3 3 3 3 1? 3
………………15 分

18.解: (1)在 Rt ?APB 中, BP ? 10 tan ? , S ?ABP ? 在 Rt ?ADQ 中, DQ ? 10 2 tan(

?
4

1 ? 10 ? 10 tan ? ? 50 tan ? 2

? ?),

S?ADQ ?

1 ? ? ? 10 2 ? 10 2 tan( ? ? ) ? 100 tan( ? ? ) 2 4 4

∴ S ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 tan(

?

4

? ? ) ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 ?

1 ? tan ? 1 ? tan ?

…5 分

0 ? tan ? ? 1 ? ? 其中 ? ? 2 ,解得: 3 ? 2 2 ? tan ? ? 1 0 ? tan( ? ? ) ? ? ? 4 2
(注:观察图形的极端位置,计算出 tan ? 的范围也可得分. ) ∴ S ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 ? (2)∵ tan ? ? 0 ,

1 ? tan ? , 3 ? 2 2 ? tan ? ? 1 1 ? tan ?

………………8 分

S ? 100 2 ? 50(tan ? ? 2 ?

1 ? tan ? 4 ) ? 100 2 ? 50(tan ? ? 1 ? ? 3) 1 ? tan ? tan ? ? 1

? 100 2 ? 50(2 (tan ? ? 1) ?

4 tan ? ? 1

? 3) ? 100 2 ? 50

……………13 分

高一期末调研测试数学参考答案第 2 页(共 5 页)

当且仅当 tan ? ? 1 ? ∵ ? ? (0,

4 tan ? ? 1

时取等号,亦即 tan ? ? 1 时, Smax ? 100 2 ? 50

?
2

) 4

?? ?

?

答:当 ? ?

?

4
……………15 分

时, S 有最大值 100 2 ? 50 .

19.解: (1)若过点 M 的直线斜率不存在,直线方程为: x ? 1 ,为圆 O 的切线; …………1 分 当切线 l 的斜率存在时,设直线方程为: y ? 4 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 4 ? 0 , ∴圆心 O 到切线的距离为:

| ?k ? 4 |

k 2 ?1 ∴直线方程为: 15x ? 8 y ? 17 ? 0 . 综上,切线的方程为: x ? 1 或 15x ? 8 y ? 17 ? 0

? 1 ,解得: k ?

15 8
……………4 分

(2)点 M (1, 4) 到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的距离为: d ? 又∵圆被直线 y ? 2 x ? 8 截得的弦长为 8 ∴ r ? ∴圆 M 的方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 36

| 2 ? 4 ?8| ?2 5, 5
……………7 分 ……………8 分

(2 5) 2 ? 42 ? 6

(3)假设存在定点 R,使得

PQ PQ 2 ?? 为定值,设 R (a, b) , P( x, y) , PR PR 2
2 2 2 2

∵点 P 在圆 M 上 ∴ ( x ?1) ? ( y ? 4) ? 36 ,则 x ? y ? 2x ? 8 y ? 19

……………10 分

2 2 2 2 2 2 2 ∵PQ 为圆 O 的切线∴ OQ ? PQ ∴ PQ ? PO ?1 ? x ? y ?1 , PR ? ( x ? a) ? ( y ? b)

? x2 ? y 2 ?1 ? ?[( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ] 即 2x ? 8 y ? 19 ?1 ? ? (2x ? 8 y ? 19 ? 2ax ? 2by ? a2 ? b2 )
整理得: (2 ? 2? ? 2a? ) x ? (8 ? 8? ? 2b? ) y ? (18 ?19? ? a
2

? ? b2? ) ? 0 (*)

2 ? 2? ? 2a? ? 0 ? ? 8 ? 8? ? 2b? ? 0 若使(*)对任意 x, y 恒成立,则 ? ?18 ? 19? ? a 2 ? ? b 2? ? 0 ?

……………13 分

? ?1 ? a? ? ? ?1 2 4? ? 4 2 ? ? ) ? ?( ) ? ?0 ∴? ,代入得: 18 ? 19? ? ( ? ? ?b ? 4 ? ? 4 ? ? ?
17 ? 1 ??? ? 18 ?? ? 2 ? ? 1 ? ∴ ? a ? ?1 或 ? a ? ? 17 ?b ? ?4 ? 4 ? ? ? ?b ? ? 17 ?

2 整理得: 36? ? 52? ? 17 ? 0 ,解得: ? ?

1 17 或? ? 2 18

高一期末调研测试数学参考答案第 3 页(共 5 页)

∴存在定点 R (?1, ?4) ,此时

PQ 1 4 PQ 2 34 为定值 或定点 R ( ? , ? ) ,此时 为定值 . PR 17 17 PR 2 6
………………16 分

20.解: (1)①设等差数列 {an } 的公差为 d . ∵ S5 ? 25 ∴ S5 ?

5(a1 ? a5 ) ? 5a3 ? 25 2

∴ a3 ? 5

∵ {an } 的前三项分别加上 1,1,3 后顺次成为某个等比数列的连续三项 ∴ (a2 ? 1)2 ? (a1 ? 1)(a3 ? 3) 即 (a3 ? d ? 1)2 ? (a3 ? 2d ? 1)(a3 ? 3) ,∴ (6 ? d )2 ? 8(6 ? 2d ) 解得: d ? 2 或 d ? ?6 ∵d ? 0 ∴d ? 2 ∴ an ? 5 ? 2(n ? 3) ? 2n ?1 , n ? N *
2

………4 分
2

②∵ a1 ? 1 ∴ Sn ? n2 ∴ bn ? t n ∵t ? 0 ∴0 ? t ?

∴ [t ( n?1) ]2 ? 2t n ? t ( n?2) ,整理得: t ?

2

2

2

1 2
………7 分

2 2

2 n ? N * 都成立,则 (2)假设存在各项都是正整数的无穷数列 {cn } ,使 cn ?1 ? 2cncn?2 对一切



cn ?1 c ? 2 ? n?2 cn cn ?1 cn c c c c c ? 2 ? n ?1 ,……, 2 ? 2 ? 3 ,将 n ? 1 个不等式叠乘得: n ? 2n?1 ? n?1 cn ?1 cn c1 c2 c1 c2 cn ?1 1 c ? n?1 ? 2 ( n ? 2, n ? N * ) cn 2 c1 c c2 1 c ? 1 ,则 n ?1 ? 2 ? 1 ∴当 n ? N * 时, n?1 ? 1 ,即 cn?1 ? cn c1 2 c1 cn
∴ cn?1 ? cn ? ?1 ,令 c1 ? M ,所以 ………10 分







∵ cn ? N *

cM ?2 ? (cM ?2 ? cM ?1 ) ? (cM ?1 ? cM ) ? (cM ? cM ?1 ) ?
与 cM ? 2 ? N * 矛盾. 若

? (c2 ? c1 ) ? c1 ? ?(M ? 1) ? M ? ?1 ? 0
………13 分

c2 c c 1 ? 1 ,取 N 为 log 2 2 ? 2 的整数部分,则当 n ? N 时, 2 ? n ?1 ? 1 c1 c1 c1 2

高一期末调研测试数学参考答案第 4 页(共 5 页)

∴当 n ? N 时, ∵ cn ? N *

cn?1 ? 1 ,即 cn?1 ? cn cn

∴ cn?1 ? cn ? ?1 ,令 cN ? M ,所以

cN ? M ?1 ? (cN ? M ?1 ? cN ? M ) ? (cN ? M ? cN ? M ?1 ) ? (cN ? M ?1 ? cN ? M ?2 ) ? ? ?(M ? 1) ? M ? ?1 ? 0
与 cN ? M ?1 ? N * 矛盾.

? (cN ?1 ? cN ) ? cN

2 n ? N * 都成 ∴假设不成立,即不存在各项都是正整数的无穷数列 {cn } ,使 cn ?1 ? 2cncn?2 对一切

立.

………16 分

高一期末调研测试数学参考答案第 5 页(共 5 页)


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