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2012届高考数学(文)二轮复习课件:第1讲 集合与常用逻辑用语_图文

时间:2014-07-11

2012届高考数学(文)二轮复习 课件:第1讲 集合与常用逻辑用 语

专题一 │ 知识网络构建
知识网络构建

专题一 │ 考情分析预测
考情分析预测
考向预测 从近几年的高考趋势看,本专题考查的重点是集合的基本运算、 充要条件的判断、函数的基本性质及其应用、函数的零点、导数在研 究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应 用,考查的形式是用选择题或者填空题考查集合、常用逻辑用语、函 数性质和导数的几何意义的基础知识和方法,用解答题考查导数在研 究函数问题中的综合运用,其中集合和常用逻辑用语的试题难度不 大,大部分函数和导数的基础试题难度也不大,但少数函数的试题难 度较大,解答题中的导数在函数中的综合应用试题也具有一定的难 度.由于该专题的绝大多数内容都是传统的高中数学教学内容,在考 查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定 ),预 计 2012 年基本上还是这个考查趋势,具体来说就是:

专题一 │ 考情分析预测
(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本 运算,考查中涉及函数的概念、性质、不等式的解、方程的解等 问题. (2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识,其中 重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定. (3) 以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应 用,重点是函数定义域、值域,函数的单调性和奇偶性的应用, 指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用,函数的零点 判断,简单的函数建模,导数的几何意义的应用. (4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用,重 点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值, 以及能够转化为 研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题,考 查函数建模和利用导数解模.

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备考策略 (1)集合:集合的基本内容是概念、基本关系和运算,高考考查的重点是集合的运 算,其中要特别注意区分集合的含义,即集合表达的究竟是什么,注意数形结合在集 合问题中的应用. (2)常用逻辑用语:该部分的基本内容是四种命题及其关系、充要条件、逻辑联结 词和量词,只要把其中的基础知识掌握即可. (3)基本初等函数和函数的应用: 在掌握好基础知识的前提下重点掌握函数性质在 实际问题中的综合应用、在判断函数零点中的应用,指数函数、对数函数的图象和性 质的应用,数形结合思想的应用. (4)导数及其应用:要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性 与极值的关系.由于函数的极值和最值的求解是以函数的单调性为前提的,因此要重 点掌握导数在研究函数单调性中的应用,特别是含有字母参数的函数的单调性 (这是 高考考查分类思想的一个主要命题点),在掌握好上述问题后,要注意把不等式问题、 方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究的训练,这是高考命制压轴题的 一个考查点.

专题一 │ 考情分析预测

专题一 │ 考情分析预测

第1 讲

集合与常用逻辑用语

第1讲 集合与常用逻辑用语

第1讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.集合 (1)元素的特征:确定性、互异性、无序性,元素与集合 之间的关系是属于和不属于. (2)集合与集合之间的关系:集合与集合之间是包含关系 和非包含关系,其中包含有包含和真包含,用符号 ? , 表 示.任何一个集合本身是其子集,空集是任何非空集合的真 子集. (3)集合的运算: A∩B={x|x∈A,且 x∈B},A∪B={x|x∈A,或 x∈B}, ?UA={x|x∈U 且 x?A}.

第1讲 │ 主干知识整合
2.四种命题及其关系 (1)四种命题:“若 p,则 q”的命题,其逆命题是“若 q,则 p”, 否命题是“若綈 p,则綈 q”,逆否命题是“若綈 q,则綈 p”. (2)四种命题之间的关系: 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆 命题或互否命题,它们的真假性没有关系;一个命题的逆命题与它的 否命题同真同假. 3.充要条件 (1)充要条件:若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; 若 p?q,则 p,q 互为充要条件. (2)充要条件与集合:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应集合 B, 则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价于 A=B.

第1讲 │ 主干知识整合
4.逻辑联结词 (1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. (2)含有逻辑联结词的命题真假:命题 p∨q,只要 p,q 有一为真,即为真命题, 换言之,只有 p,q 均为假命题时才为假;命题 p∧q,只有 p,q 均为真命题时才为真, 换言之, 只要 p, q 有一为假, 即为假命题; 綈 p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题. (3)或命题和且命题的否定:命题 p∨q 的否定是(綈 p)∧(綈 q);命题 p∧q 的否定 是(綈 p)∨(綈 q). 5.量词 (1)全称量词与存在量词.(2)全称命题和特称命题. (3)含有一个量词的命题的否定:“?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M,綈 p(x)”; “?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M,綈 p(x)”.

第1讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 集合的关系及其运算

例 1 设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N ? ? ? ??x? ? ? ? ? ? = x i <1,i为虚数单位,x∈R? , 则 M∩N 为 ? ? ? ?? ? ? ( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]

第1讲 │ 要点热点探究
C 【解析】 对 M,由二倍角公式得 y=|cos2x ?x? 2 ? ?<1, -sin x|=|cos2x|, 故 0≤y≤1.对 N, 即|-xi|<1, ?i? 所以-1<x<1,故 M∩N=[0,1),故答案为 C.
【点评】 本题需要注意两个问题,一是两个集合 的含义,二是要注意集合 N 中的不等式是一个复数模 的实数不等式,不要根据实数的绝对值求解. 高考考查 集合一般是以集合的形式表示不等式的解、 函数的定义 域、 函数的值域等, 在解题时要特别注意集合的含义. 看 下面的变式.

第1讲 │ 要点热点探究
已知 A?B,A?C,B={1,2,3,5},C={0,2,4,8}, 则 A 可以是( ) A.{1,2} B.{2,4} C.{2} D.{4}

C 【解析】 由 A?B,A?C 可知,A 中的元素在集合 B 与 C 中,由于 2∈B,2∈C,故正确答案为 C.

第1讲 │ 要点热点探究

?

探究点二

四种命题和充要条件的判断

例 2 [2011· 山东卷] 已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( ) A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3

第1讲 │ 要点热点探究
【分析】 否命题是把原命题条件和结论分别否定, 也就是分别对 a+b+c=3 和 a2+b2+c2≥3 进行否 定即可 A 【解析】 由于等于的否定是不等于,大于 或者等于的否定是小于,故已知命题的否命题是选项 A 中的命题
【点评】 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题 是根据原命题适当变更条件和结论后得到的命题, 解这 类试题时要注意对于一些关键词的否定, 如本题中等于 的否定是不等于, 而不是单纯的大于, 也不是单纯的小 于.

第1讲 │ 要点热点探究
设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|” 的逆命题是( ) A.若 a≠-b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b

D 【解析】 利用原命题和逆命题之间的关系 “如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的 结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其 中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 逆命题.即原命题:若 p,则 q;逆命题:若 q,则 p”, 故答案为 D.

第1讲 │ 要点热点探究
例 3 [2011· 浙江卷] 若 a,b 为实数,则“0<ab<1” 1 是“b<a”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
1 D 【解析】 当 0<ab<1,a<0,b<0 时,有 b>a;反 1 1 过来 b<a, 当 a<0 时, 则有 ab>1, ∴“0<ab<1”是“b<a” 的既不充分也不必要条件.

第1讲 │ 要点热点探究
【点评】 对充分、必要条件的判断或探求要注意以下几点: (1)要弄清先后顺序: “A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A, 且 A 不能推出 B;而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指:A 能推 出 B,且 B 不能推出 A.(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证 明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来 说明.(3)要注意转化:如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么綈 p 是 綈 q 的必要不充分条件,同理,如果 p 是 q 的必要不充分条件,那 么綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,如果 p 是 q 的充要条件,那么綈 p 是綈 q 的充要条件.

第1讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 逻辑联结词、含有量词的命题的否定
) B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题

例 4 (1)[2011· 北京卷] 若 p 是真命题, q 是假命题, 则(
A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题

(2)[2011· 辽宁卷] 已知命题 p:?n∈N,2n>1000,则綈 p 为 ( ) A.?n∈N,2n≤1000 C.?n∈N,2n≤1000

B.?n∈N,2n>1000 D.?n∈N,2n<1000

第1讲 │ 要点热点探究

(1)D

(2)A

【解析】 (1)p 是真命题,则綈 p 是假命题;

q 是假命题,则綈 q 是真命题,故应选 D. (2)命题 p 用语言叙述为“存在自然数 n,使得 2n>1000 成立”,所以它的否定是“任意的自然数 n,使得 2n≤1000 成立”,用符号表示为“?n∈N,2n≤1000”.

第1讲 │ 要点热点探究

【点评】 (1)“或”“且”连接两个命题,这两个命题的 真假确定了“或”命题和“且”命题的真假,其中“或”命 题是一真即真,且命题是一假即假,“非”是对一个命题的 否定,命题与其“非”命题一真一假;(2)命题的否定和否命 题不同,否命题是同时否定命题的条件和结论,而命题的否 定仅否定结论,但要修改对应的量词,即全称量词改为存在 量词,存在量词改为全称量词.

第1讲 │ 要点热点探究
? 创新链接1 集合与新定义问题

以集合为背景的新定义问题,历来是高考命题创新型试 题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算 等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性 解决问题的能力. 求解集合中的新定义问题,主要抓两点: (1) 紧扣新定 义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质 弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定 义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.集合的 性质(概念、元素的性质、运算性质等 )是破解新定义型集合 问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可 以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.

第1讲 │ 要点热点探究

例5 [2011· 福建卷] 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈ Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈ [0]”. 其中,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

第1讲 │ 要点热点探究
【分析】 根据新定义判断命题的真假,解决问题的关键 在于理解定义的形式和内涵,充分借助本题余数的特征是判 断真伪的关键.

【解析】 C 因为 2011=5×402+1, 则 2011∈[1], 结论①正确; 因为-3=5×(-1)+2,则-3∈[2],结论②不正确; 因为所有的整数被 5 除的余数为 0,1,2,3,4 五类,则 Z=[0]∪[1] ∪[2]∪[3]∪[4],结论③正确; 若整数 a,b 属于同一“类”[k], 可设 a=5n1+k,b=5n2+k(n1, n2∈Z),则 a-b=5(n1-n2)∈[0]; 反之,若 a-b∈[0],可设 a=5n1+k1,b=5n2+k2(n1,n2∈Z), 则 a-b=5(n1-n2)+(k1-k2)∈[0]; ∴k1=k2,则整数 a,b 属于同一“类”,结论④正确,故选 C.

第1讲 │ 要点热点探究

【点评】 集合的创新问题,通常需要弄清题目给出的新定 义、新概念、新法则与教材上的知识间的联系,将新的定义、 概念、法则转化为“常规数学”问题,然后求解.

第1讲 │ 要点热点探究

(1)设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x,y ∈S,都有 x+y,x-y,xy∈S,则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+bi|a, b 为整数, i 为虚数单位}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?C 的任意集合 T 也是封 闭集. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)

第1讲 │ 要点热点探究

(2)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a,b∈S,有 ab ∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的,若 T,V 是 Z 的两个 不相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T,有 abc∈T; ?x,y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 )

第1讲 │ 要点热点探究
(1)①② (2)A 【解析】 (1)直接验证可知①正确;当 S 为封闭集时,因为 x-y∈S,取 x=y,得 0∈S,②正确;对于 集合 S={0},显然满足所有条件,但 S 是有限集,③错误;取 S={0},T={0,1},满足 S?T?C,但由于 0-1=-1?T,故 T 不是封闭集,④错误. (2)T 全部是偶数,V 全部是奇数,那么 T,V 对乘法是封闭 的,但如果 T 是全部偶数和 1,3,那么此时 T,V 都符合题目要 求,但是在 V 里面,任意取的数是-1 和-3,那么相乘等于 3, 而 V 里面没有 3,所以 V 对乘法不封闭.排除 B、C、D 选项, 所以“至少一个”是对的.

第1讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.解答集合有关问题,正确理解集合的意义,准确地化简 集合是关键,其次要注意元素的互异性,空集是任何集合的子 集等问题,对于复杂问题,熟练运用数形结合思想,利用韦恩 图、数轴、函数的图象来帮助和理解有关集合之间的关系,进 行集合运算, 从而进一步提高自己的抽象思维与形象思维能力. 2.命题的四种形式是专门对形如“若 p,则 q”的命题的, 这个命题的逆命题、否命题和逆否命题都是形式上的命题,其 中含有两组等价的命题,即原命题与其逆否命题,逆命题和否 命题,但是一个命题与它的否命题的真假没有必然的联系,但 是一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假的.

第1讲 │ 规律技巧提炼

3.判断充要条件的主要方法是其定义,在一些问题中也可 以根据充要条件与集合之间的对应关系,把命题对应的元素用 集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定 形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 4. 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定 的,解答这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确,再 根据逻辑联结词的含义进行判断.

第1讲 │ 教师备用例题

教师备用例题

备选理由:例 1 考查复数的几何意义和集合概 念, 是知识交汇处的考查; 例 2 考查对“或”联结词 的命题的否定, 对“或”与“且”的否定, 是一个易 错点;例 3 考查复合命题的真假的判断.

第1讲 │ 教师备用例题

例 1 集合 A={x∈R|复数 1-x+(x-2)i 在复平 面上对应的点在第三象限},则集合 A=( ) A.{x|1≤x≤2} B.{x|x>2 或 x<1} C.{x|x≥2 或 x≤1} D.{x|1<x<2}

【解析】 D

? ?1-x<0, 依题意,? ? ?x-2<0,

解得 1<x<2,所

以 A={x|1<x<2},选择 D.

第1讲 │ 教师备用例题

例2 已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1] 上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax +2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,则实数 a 的取 值范围为________.

【答案】 {a|-1<a<0 或 0<a<1}

第1讲 │ 教师备用例题

【解析】 由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0, ?2? ?1? 2 1 显然 a≠0, ∴x=-a或 x=a.∵x∈[-1,1], 故?a?≤1 或?a? ? ? ? ? ≤1,∴|a|≥1.“只有一个实数 x 满足 x2+2ax+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2 -8a=0.∴a=0 或 2, ∴命题“p 或 q 为真命题”时,|a|≥1 或 a=0, ∵命题“p 或 q”为假命题,∴a 的取值范围为 {a|-1<a<0 或 0<a<1}.

第1讲 │ 教师备用例题
例3 已知命题 p: 函数 y=loga(1-2x)在定义域上 单调递增;命题 q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对 任意实数 x 恒成立,若 p∨q 是真命题,则实数 a 的取 值范围为________.

【答案】 (-2,2]
【解析】 ∵命题 p:函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调 递增,∴0<a<1. 又∵命题 q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立, ? ?a-2<0, ∴ a= 2 或 ? 即-2<a≤2. 2 ? Δ = 4 ? a - 2 ? + 16 ? a - 2 ? <0 , ? ∵p∨q 是真命题,∴a 的取值范围是(-2,2].


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