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第11部分 第5讲_图文

时间:2014-07-29

人教版文科数学

第十一部分

圆锥曲线与方程

第五讲 圆锥曲线的有关综合问题(一)

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圆锥曲线与方程

1 2 3

学习目标

自主建构
基础落实 经典例题 名师点拨 达标检测

4
5

6

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圆锥曲线与方程

学习目标

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圆锥曲线与方程

1.进一步掌握圆锥曲线的基础知识,会综合处理直线、

圆与圆锥曲线有关的综合问题.
2.提高综合运用知识的能力.

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圆锥曲线与方程

自主建构

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圆锥曲线与方程

1.圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题主要表现在如下两个方面:一是纵向 综合,涉及直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线的相互综合,涉及 弦长、中点、垂直、对称、轨迹等问题,二是横向综合,重点 是函数、方程、不等式、向量、三角等知识的联系.

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圆锥曲线与方程

2.思路与方法 (1)求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求 a,b,c

或p,基本方法是利用定义或利用待定系数法求解.
(2)直线和圆锥曲线的位置关系,可转化为直线或圆锥曲线 方程的公共解问题,体现了方程的思想,数形结合、分类整 合、化归与转化等也是解决圆锥曲线位置关系以及有关综合问 题的常用思想方法.

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圆锥曲线与方程

基础落实

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圆锥曲线与方程

x2 1.已知双曲线a2-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是( A.y=± 5x C.y=± 3x 5 B.y=± 5 x 3 D.y=± x 3 )

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圆锥曲线与方程

2 x 解析 选 D.因为 y2=8x 焦点是(2,0),所以双曲线a2-y2

=1 的半焦距 c=2, 又虚半轴 b=1, 又 a>0, 所以 a= 22-12 = 3, 3 于是双曲线的渐近线的方程是 y=± 3 x.

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圆锥曲线与方程

x2 y2 2.若椭圆 a2+b2=1(a>b>0) 与曲线 x2+y2=a2-b2 无公共 点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 (
? A.? ? ? ? C.? ? ?

)

3 ? ? , 1 ? 2 ? 2 ? ? ,0? 2 ?

? B.? ?0, ? ? D.? ?0, ?

3? ? 2? ? 2? ? 2? ?

解析 选 D.易知以焦点 c 为半径的圆在椭圆内部,所以 c 2 b>c?b >c ,即 a >2c ,于是 e=a< 2 .
2 2 2 2

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圆锥曲线与方程

x2 y2 3.椭圆 C: 2+ =1 的右顶点与抛物线 y2=12x 的焦点 a 4 重合,则椭圆 C 的离心率 e=______;

解析

5 5 填 3 .由题意知 a=3,所以 c= 5,于是 e= 3 .

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圆锥曲线与方程

y2 x2 4. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0) 的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的 四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( 1 A. 3 3 C. 3 1 B. 2 2 D. 2 )

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圆锥曲线与方程

解析

选 D. 由题意知双曲线的半焦距 c1=a, 实半轴 a1

y2 x2 =c,所以双曲线方程为c2-b2=1, c c y2 x2 从而渐近线方程为 y=± x,把 y= x 代入 2+ 2=1,得 b b a b
2 2 2 2 2 a + c ? a + c ?c 2 2 x = a2b2 ,y = a2b4 , 2 2 c c 1 2 2 2 2 又 x =y , 得 2=1, 即 2 2=1, 所以 e = , 于是 e= . b 2 2 a -c

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圆锥曲线与方程

经典例题

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人教版文科数学 题型1 圆与圆锥曲线的综合 例1

第十一部分

圆锥曲线与方程

已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,

3 离心率为 2 ,两个焦点分别为 F1 和 F2,椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R) 的圆心为点 Ak. (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△AkF1F2 的面积; (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.
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圆锥曲线与方程

x2 y2 解析 (1)设椭圆 G 的方程为a2+b2=1(a>b>0), 半焦距为 c, ?2a=12, ? ? ?a=6, 则?c 解得? 3 ? = . ?c=3 3. ? ?a 2 所以 b2=a2-c2=36-27=9. x2 y2 于是所求椭圆 G 的方程为36+ 9 =1.

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圆锥曲线与方程

(2)易知点 Ak 的坐标为(-k,2). 1 1 所以 S△AkF1F2=2×|F1F2|×2=2×6 3×2=6 3. (3)①若 k≥0,由 62+02+12k-0-21=15+12k>0,可知 点(6,0)在圆 Ck 外; ②若 k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0,可知 点(-6,0)在圆 Ck 外. 所以不论 k 为何值,圆 Ck 都不能包围椭圆 G.

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第十一部分

圆锥曲线与方程

点评

主要考查椭圆、圆的方程和圆与圆的位置关系等

基础知识,考查数形结合、分类讨论的思想,以及运算求解 能力.

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圆锥曲线与方程

1
1. (2013·新课标)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2
+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲 线C.

(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B 两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

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解析

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圆锥曲线与方程

由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),r1=1;圆 N 的

圆心为 N(1,0),r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN| =(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点, 长半轴长为 2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外),其方程为 x2 y2 4 + 3 =1(x≠-2).
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第十一部分

圆锥曲线与方程

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R -2≤2,所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.

①若 l 的倾斜角为 90° ,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3. ②若 l 的倾斜角不为 90° , 由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q,
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第十一部分

圆锥曲线与方程

|QP| R 则 = ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). |QM| r1 |3k| 2 由 l 与圆 M 相切得 2=1,解得 k=± 4 . 1+k 2 2 x2 y2 (i)当 k= 时,将 y= x+ 2代入 + =1,并整理得 4 4 4 3 -4-6 2 -4+6 2 7x +8x-8=0,解得 x1= ,x2= , 7 7
2

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第十一部分

圆锥曲线与方程

18 所以|AB|= 1+k |x2-x1|= . 7
2

2 18 (ii)当 k=- 时,由图形的对称性得|AB|= . 4 7 18 综上,|AB|=2 3或|AB|= . 7

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人教版文科数学 题型2 直线与圆锥曲线的综合 例2

第十一部分

圆锥曲线与方程

x2 y2 (2013· 安徽卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦 a b

距为 4,且过点 P( 2, 3). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴 的垂线,垂足为 E,取点 A(0,2 2),联结 AE,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D,点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直 线 QG, 问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公 共点?并说明理由.
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第十一部分

圆锥曲线与方程

解析 (1)因为焦距为 4, 所以 a2-b2=4.又因为椭圆 C 过 2 3 点 P( 2, 3),所以a2+b2=1,从而 a2=8,b2=4, x2 y2 于是椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 → =(x ,- (2)由题意,E 点坐标为(x0,0),设 D(xD,0),则AE 0 → =(x ,-2 2). 2 2),AD D →· → =0,即 x x +8=0.由于 x y ≠0, 再由 AD⊥AE 知AE AD 0 D 0 0 8 所以 xD=-x . 0
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圆锥曲线与方程

因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,所以 x0y0 从而直线 QG 的斜率 kQG= , 8 =x2 - 8 0 x0-x 0 y0

?8 ? G?x ,0?, ? 0 ?

2 又因 Q(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 x0 +2y2 0=8,



x0 从而 kQG=-2y , 0 x0 8 于是直线 QG 的方程为 y=-2y x-x . 0 0 ②

2 2 2 将②代入椭圆 C 方程,得(x0 +2y2 ) x - 16 x x + 64 - 16 y 0 0 0=

0.
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第十一部分

圆锥曲线与方程

再将①代入③,化简得 x2-2x0x+x2 0=0, 解得 x=x0,y=y0,即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公 共点.
点评 解决对称问题的关键是充分利用“对称”这一条

件,一是“垂直”:即两个对称点的连线与轴垂直;二是“平 分”:中点在对称轴上.同时,还要注意直线与曲线有两个 交点, 即两点连线与曲线得到的二次方程的判别式 Δ>0, 通过 该不等式求范围.

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第十一部分

圆锥曲线与方程

2
2.已知抛物线y=x2 上不存在关于直线 y =m(x-3) 对称的 两点,求m的取值范围. 分析:采取“正难则反”的策略,先考虑曲线上存在关于 直线对称的两点的情形,然后再求其补集.

解析 ①当 m=0 时, 曲线上不存在关于直线对称的两点. ②当 m≠0 时,假设存在关于直线对称的两点 A(x1,y1), x1+x2 y1+y2 B(x2,y2),AB 中点为 M(x0,y0),则 x0= 2 ,y0= 2 .

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第十一部分

圆锥曲线与方程

1 则直线 AB 的斜率为-m, 1 可设 AB:y=-mx+b, 1 代入 y=x ,得 x +mx-b=0,
2 2

1 1 Δ=m2+4b>0(*) , x1+x2=-m,x1· x2=-b, 1 1 1 x0=- ,y1+y2=- (x1+x2)+2b= 2+2b, 2m m m 1 所以 y0=2m2+b,
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第十一部分

圆锥曲线与方程

因为 M 在直线 y=m(x-3)上,
? ? 1 1 所以 2+b=m?-2m-3?, 2m ? ?

1 1 即 b=-2m2-3m-2,代入(*), 得 12m3+2m2+1<0, 即(2m+1)(6m2-2m+1)<0, 1 又 6m -2m+1>0 恒成立,所以 m<- , 2
2

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第十一部分

圆锥曲线与方程

1 于是 m≥-2(m≠0)时满足题意. 综合(1)(2),m
? 1 ? 的取值范围是?-2,+∞?. ? ?

点评

抛物线的焦点是椭圆的哪个顶点必须要先清楚,

其次要抓住切点的导数是切线的斜率.

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第十一部分

圆锥曲线与方程

名师点拨

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第十一部分

圆锥曲线与方程

1.本节内容的重点是直线、圆与圆锥曲线之间的综合, 在处理这类综合问题时,既要注意相关知识的灵活运用,还要 注意总结一些常用的方法与技巧. 2.圆锥曲线上一点关于某一直线的对称问题.解此类问

题的方法:圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线垂直,求得
圆锥曲线上两点的直线方程,代入圆锥曲线方程中,利用Δ>0 得一关系式,利用圆锥上两点的中点在对称直线上又得一关系 式进行求解.

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第十一部分

圆锥曲线与方程

3.直线与圆锥曲线的位置关系,由于集中交汇了直线、

圆锥曲线两章的知识内容,综合性强,能力要求高,还涉及函
数、方程、不等式、平面几何等许多知识,可以有效地考查函 数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和化归转

化的思想,因此,这一部分内容也成了高考的热点和重点.

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圆锥曲线与方程

达标检测

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