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(江苏专用)2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线学案 苏教版选修1-1

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2.1 的定义.(重点、难点) 圆锥曲线 学习目标:1.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握它 2.通过用平面截圆锥面感受、了解双曲线、抛物线的定义.(难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.用平面截圆锥面得到的图形 用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线. 2.圆锥曲线定义 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线. 3.三种圆锥曲线 设 P 为相应曲线上任意一点,常数为 2a. 定义(自然语言) 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2) 椭圆 的点的轨迹叫做椭圆.两个定点 F1,F2 叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 平面内与两个定点 F1,F2 距离的差的绝对值等于常数(小于 双曲线 数学语言 PF1 + PF2 = 2a > F1F2 F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点 F1,F2 叫做 双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相 |PF1 - PF2| = 2a <F1F2 抛物线 等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定 直线 l 叫做抛物线的准线 [基础自测] PF=d, 其中 d 为 点 P 到 l 的距离 1.判断正误: (1)到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2) 平面内到两定点的距离的差等于常数 ( 小于两定点间距离 ) 的点的轨迹是双曲 线.( ) ) ) (3)椭圆上的一点与椭圆的两焦点,一定构成一个三角形.( (4)平面内到一定点与一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( 【解析】 (1)×.当常数大于两定点间的距离时,动点的轨迹才是椭圆. (2)×.应该是差的绝对值,否则轨迹是双曲线的一支. (3)×.当椭圆上的点在 F1F2 的延长线上时,不能构成三角形. (4)×.定点不能在定直线上才是抛物线. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2. 动点 P(x, y), 到定点 A(0, -2), B(0,2)的距离之和为 6, 则点 P 的轨迹为________. 【导学号:95902065】 6EDBC319F25847 【解析】 ∵AB=4,PA+PB=6>4,∴点 P 的轨迹为椭圆. 【答案】 椭圆 [合 作 探 究·攻 重 难] 椭圆的定义及应用 (1)在平面直角坐标系中,A(4,0),B(-4,0),且 的顶点 C 的轨迹为________. (2)已知两圆 C1:(x-4) +y =169,C2:(x+4) +y =9,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 内 切,和圆 C2 外切,求动圆圆心的轨迹. [思路探究] 根据椭圆的定义判断. 【自主解答】 (1)由正弦定理,得 2 2 2 2 sin A+sin B 5 = ,则△ABC sin C 4 BC+AC 5 = ,又 AB=8,∴BC+AC=10>AB, AB 4 由椭圆定义可知,点 C 的轨迹是以点 A、B 为焦点的椭圆. 【答案】 (1)以点 A、B 为焦点的椭圆(除去与 A、B 所在同一直线的两个定点). (2)如图所示,设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r. 由题意得动圆 M 内切于圆 C1, ∴MC1=13-r.圆 M 外切于圆 C2, ∴MC2=3+r.∴MC1+MC2=16>C1C2=8, ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆. [规律方法] 已知平面内动点 P 及两个定点 F1,F2: (1)当 PF1+PF2>F1F2 时,点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆; (2)当 PF1+PF2=F1F2 时,点 P 的轨迹是线段 F1F2; (3)当 PF1+PF2<F1F2 时,点 P 的轨迹不存在. [跟踪训练] 1.已知△ABC 中,A(0,-3),B(0,3),且△ABC 的周长为 16,试确定顶点 C 的轨迹. 【导学号:95902066】 【解】 由 A(0,-3),B(0,3)得 AB=6, 又△ABC 的周长为 16, 所以 CA+CB=16-6=10>6, 6EDBC319F25847 由椭圆的定义可知点 C 在以 A,B 为焦点的椭圆上, 又因为 A、B、C 为三角形的顶点, 所以 A、B、C 三点不共线,所以点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆(除去与 A、B 所在 同一直线上的两个点). 抛物线的定义及应用 1 ?1 ? (1)已知点 M 到 F? ,0?的距离比它到 y 轴的距离大 , 则点 M 的轨迹为________. 2 ?2 ? (2)若 A 是定直线 l 外的一定点,则过点 A 且与 l 相切的圆的圆心的轨迹是________. [思路探究] (1)把条件转化为 M 到定点与定直线的距离相等;(2)利用圆心到 A 的距 离与到切线的距离相等. 1 ?1 ? 【自主解答】 (1)由于动点 M 到 F? ,0?的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M 到 2 ?2 ? ? ? F? ,0?的距离与它到直线 l:x=- 的距离相等.由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 1 ?2 ? 1 2 为焦点,l 为准线的抛物线. (2)圆心与 A 点的距离等于圆心到直线 l 的距离,所以圆心的轨迹是抛物线. 【答案】 (1)抛物线 [规律方法] 1.(1)要首先判断定点是否在定直线上; (2)要准确判断准线的位置. 2.已知平面内定点 F 及定直线 l,动点 P 满足 PF=d(d 为点 P 到直线 l 的距离): (1)当定点 F 不在定直线 l 上时,动点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l 为准线的抛物 线; (2)当定点 F 在定直线 l 上时,动点 P 的轨迹是以定点 F 为垂足且与定直线 l 垂直的一 条直线. [跟踪训练] |3x-4y+1| 2.

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