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2013年高考数学第一轮复习单元第16讲 数列求和及数列实际问题

时间:2012-11-19


2013 年高考数学第一轮复习单元
第 16 讲 数列求和及数列实际问题
一. 【课标要求】
1.探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法; 2.能在具体的问题情境中,发现数列的数列的通项和递推关系,并能用有关等差、等比数列知识解决相 应的实际问题。

二. 【命题走向】
数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位,一般情况下都是出一道解答题,解答题大多以 数列为工具,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、 分类讨论等各种数学思想方法,这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,它们都属 于中、高档题目 预测 2013 年高考对本将的考察为: 1.可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题; 2.也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题,以及数列、 数学归纳法等有机结合

三. 【要点精讲】
1.数列求通项与和 (1)数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= ?

?s n ? s n ?1 ?s1

n?2 n ?1



(2)求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列; ②累差叠加法。最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1;③归纳、猜想法。 (3)数列前 n 项和 ①重要公式:1+2+…+n=

1 1 1 n(n+1);12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1);13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2; 2 6 4

②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn;④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的 1 1 1 1 、 求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如: an ? ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

1 n 1 1 1 1 - = - 、n·n!=(n+1)!-n!、Cn-1r 1=Cnr-Cn-1r、 = - 等 n( n ? 1) n n ? 1 ( n ? 1)! n! ( n ? 1)!
⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和,常用错项相消法。 a n ? bn ? c n , 其中

?bn ?
q S? n

是 等 差 数 列 ,

?cn ?

是 等 比 数 列 , 记 S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn , 则

1

b2 c ????

? n

b n c ? n,… c b 1? n 1

⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn。 数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法 ⑦通项分解法: a n ? bn ? cn 2.递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系 an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递归关系。 由递归关系及 k 个初始值 可以确定的一个数列叫做递归数列。如由 an+1=2an+1,及 a1=1,确定的数列 {2 ? 1} 即为递归数列
n

1

四. 【典例解析】 题型 1:裂项求和 1 1 1 1 例 1.求1 ? ? ? ??? , (n ? N * ) 。 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ??? n
解:? a k ?

1 2 1 1 1 , ? Sn ? 2[ ? ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1) 1 ? 2 ? ? ? k k (k ? 1)

1 ? ? 1 ? 2n ? 1? ?1 1? ?1 ? 2[?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?1 ? ?? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1? ? n ?1? n ? 1

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http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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题型 2:错位相减法
例 2.设 a 为常数,求数列 a,2a2,3a3,…,nan,…的前 n 项和。 解:①若 a=0 时,Sn=0;②若 a=1,则 Sn=1+2+3+…+n= ③若 a≠1,a≠0 时,Sn-aSn=a(1+a+…+an-1-nan) n= ,S

1 n( n ? 1) ; 2

a [1 ? ( n ? 1)a n ? na n ?1 ] 。 2 (1 ? a )

例 3. 已知 a ? 0, a ? 1 , 数列 ?a n ?是首项为 a, 公比也为 a 的等比数列, bn ? a n ? lg a n (n ? N ) , 令 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。 解:? an ? a , bn ? n ? a lg a ,
n n

? S n ? (a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? na n ) lg a……① aS n ? (a 2 ? 2a 3 ? 3a 4 ? ? ? na n ?1 ) lg a……②
2 n n ?1

①-②得: (1 ? a) S n ? (a ? a ? ? ? a ? na

) lg a ,? S n ?

a lg a 1 ? (1 ? n ? na)a n 2 (1 ? a)

?

?

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点评:Sn 表示从第一项依次到第 n 项的和,然后又将 Sn 表示成第 n 项依次反序到第一项的和,将所得两式相 加,由此得到 Sn 的一种求和方法。 例 6.设数列 ?a n ?是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列,求和: S n ?1 ? a0 C n ? a1C n ? ? ? a n C n
0 1 n

解:因为 S n ?1 ? a0 C n ? a1C n ? ? ? a n C n , S n ?1 ? a n C n ? a n ?1C n
0 1 n n

n ?1

0 0 1 n ? ? ? a0 C n ? a n C n ? a n?1C n ? ? ? a0 C n ,

0 1 n 0 1 n ? 2Sn?1 ? (a0 ? an )C n ?(a1 ? an?1 )Cn ? ? ? (an ? a0 )Cn ? (a0 ? an )(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? (a0 ? an )2n

? Sn?1 ? (a0 ? an ) ? 2n ?1 。
点评: 此类问题还可变换为探索题形: 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? (n ? 1)2 ? 1, 是否存在等差数列 ?bn ?
n
1 2 n 使得 a n ? b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n 对一切自然数 n 都成立。

题型 5:数列综合问题
例 9、设 x ? R, 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列
5 ?1 5 ?1 5 ?1 },[ ], 2 2 2

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

2

【答案】B 【解析】可分别求得 ?

? 5 ? 1? ? ? ?? ? 2 ? ? ?

5 ?1 5 ?1 ,[ ] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等比数列. 2 2

题型 6:数列实际应用题
例 11.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获利 1 万元,以后 每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 5 千 元;两种方案的使用期都是 10 年,到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算,试 比较两种方案中,哪种获利更多? (取 1.05
10

? 1.629 ,1.310 ? 13.786 ,1.510 ? 57.665 )

解:甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, ①甲方案获利: 1 ? (1 ? 30%) ? (1 ? 30%) 2 ? ? ? (1 ? 30%)9 ? 银行贷款本息: 10(1 ? 5%)
10

1.310 ? 1 , ? 42.63 (万元) 0.3

? 16.29 (万元) ,故甲方案纯利: 42.63 ? 16.29 ? 26.34 (万元) ,

②乙方案获利: 1 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 2 ? 0.5) ? ? ? (1 ? 9 ? 0.5) ? 10 ? 1 ?

10 ? 9 ; ? 0.5 ? 32.50 (万元) 2
1.0510 ? 1 ? 13.21 (万元) 0.05

银行本息和: 1.05 ? [1 ? (1 ? 5%) ? (1 ? 5%) ? ? ? (1 ? 5%) ] ? 1.05 ?
2 9

故乙方案纯利: 32.50 ? 13.21 ? 19.29 (万元) ;综上可知,甲方案更好。 点评:这是一道比较简单的数列应用问题,由于本息金与利润是熟悉的概念,因此只建立通项公式并运用 所学过的公式求解 例 12. 已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1) 的图象上一点, 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,
x

1 3

数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式;

1 ?1? 解(1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?

x

1 2 2 . a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 9 27 4 2 a2 2 1 又数列 ? an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
2?1? a 1 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? 3?3? a1 3
Q S n ? S n ?1 ?
n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n ? N*

; 又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? S n ? S n ?1 ? 1 ;

?

S n ? S n ?1

??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1
3

?

? n ? 2?

数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2 2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

* 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;? bn ? 2n ? 1 ( n ? N );

题型 7:课标创新题 例 13.知曲线 Cn : x ? 2nx ? y ? 0(n ? 1, 2,?) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切
2 2

点为 Pn ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n ?1 ?
2 2

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn
2 2 2 2

解 : 1) 设 直 线 ln : y ? k n ( x ? 1) ,联立 x ? 2nx ? y ? 0 得 (1 ? k n ) x ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 ,则 (
2 2 2 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 ,∴ k n ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 xn ?

2 kn n2 n 2n ? 1 n ? , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( x n ? 1) ? 2 2 n ?1 1 ? k n (n ? 1) n ?1

1 ? xn ( 2)证 明 :∵ ? 1 ? xn

n n ?1 ? n 1? n ?1 1?
1 ? xn 1 ? xn

1 2n ? 1

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2n?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

由于

xn ? yn
'

1 ? xn 1 ' ? ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ( x) ? 1 ? 2 cos x , 2n ? 1 1 ? xn

令 f ( x) ? 0 ,得 cos x ?

2 ? ? ' ,给定区间 (0, ) ,则有 f ( x) ? 0 ,则函数 f (x) 在 (0, ) 上单调递减, 2 4 4

∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 x ?

2 sin x 在 (0, ) 恒成立,又 0 ? 4

?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4

则有

1 ? xn x 1 1 ? 2 sin n . ? 2 sin ,即 1 ? xn yn 2n ? 1 2n ? 1

五. 【思维总结】
常用结论 (1) ? k ? 1+2+3+...+n =
k ?1 n n

n(n ? 1) 2
3

(2) ? (2k ? 1) ? 1+3+5+...+(2n-1) = n
k ?1

n

2

(3) ? k 3 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? k ?1 ?2 ?
3 3

?1

?

2

(4) ? k 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2
k ?1

n

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

(5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) (6) ? ( ? ) ( p ? q) n(n ? 2) 2 n n ? 2 pq q ? p p q

4


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