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平面向量基本定理公开课用

时间:2013-05-27


平面向量基本定理
P f - f ?
?

G

(1)小明从A到B,再从B到C,则他两次的位移之和是:

??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? AC

三角形法则 首尾相接,由首至尾
A

D

C

??? ? ??? ? ??? ? AB ? AD ? AC 平行四边形法则
共起点 (2)向量共线定理:

B

如果有一个实数 ?,使b ? ? a(a ? 0), 那么 b与a是共线向量;

2011 年 11 月 3 日 1 时 43 分,神舟八号与天宫一号第 一次交会对接圆满成功,中国成为世界第三个独 立掌握无人和 1 载人空间对接技术的国家。承担 “神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发 射任务的是“长征二号F”运载火箭 。

v

v

v2
v ? v1 ? v2

给定平面内两个不共线的向量 依照速度的分解,平面内任一向量 e1, e2,a 可 可 表示平面内任一向量 作怎样的分解呢? a吗?
平行四边形法则

e2

a
e1

e2

a ? e1 ? e2

e1

给定平面内两个不共线的向量e1, e2, 可表示该平面内任一向量a吗?
M

? ? e1

? a

?? ? e2

?? e1
O

A

? a
?? ? e2
N

C

??? ? ???? ? ???? ?如图 OC ? OM ? ON ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?OM ? ?1OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

B

??? ? ? ? ? ? ? ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ? ? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

给定平面内两个不共线的向量e1, e2, 可表示该平面内任一向量a吗?
N A

? ? e1

?? ? e2

? a

? ? e1
O

B

?? ? e2

? a

C

??? ? ???? ? ???? ?如图 OC ? OM ? ON M ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?OM ? ?1OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

??? ? ? ? ? ? ? ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ? ? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

? ? e1

? a

?? ? e2

? a

若 a ? 0, 取 ?1 ? ?2 ? 0, 使 0 ? ? e ? ? e 1 1 2 2



a

与 e1 使

(e2 )

共线,则 ?2 ? 0 (?1 ? 0),

a ? ?1 e1 ? ?2 e2

(1)平面向量基本定理

唯 如果 e1 , e2 , 是同一平面内两个不共线向量, 存
那么对于这一平面的任意向量 a, 有且只有 存在 一对实数, ?1 , ?2 ,

在 一 性 性

使

a ? ?1 e1 ? ?2 e2

( 2 ) 基底:把不共线的向量 e1 , e2 叫做这一平面内 思考: 上述表达式中的 ?1, ?2 是否唯一? 所有向量的一组基底.

平面向量基本定理

一维直线

二维平面

a = ?e

a = ?1e1 ? ?2e2

思想有多远,就能走多远!

知识点二、向量的夹角与垂直 : ? ? ??? ? ? 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a ,

?

B

b

? 叫做向量 a 和 b
特别的:

??? ? ? ? AOB ? ? OB ? b ,则 ?
? a
A
?

?

O ? A a 注意:两向量必须 的夹角. 是同起点的
? a
O A
?

? O b B

? ? a 与 b 同向

? ?0

? B b

夹角的范围:00 ,1800

?

? ? a 与 b 反向

? ? 180

?

? ? ? ? 90 ? ? 记作 a ? b a 与 b 垂直,
?

B ? b ? ? a O A

例1.在等边三角形中,求 (1)AB与AC的夹角; (2)AB与BC的夹角。 C

C

'

120
A

0

60

?

B

(1)一个平面内,可作为基底的向量有 无数

对。

(1)(3)

例 例 12 、如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和BD 相交于点

M, AB ? a  , AD ? b,试用基底 a、 b表示 MC、 MA 、 MB和MD

解: AC ? AB ? AD ? a ? b
因为平行四边形的对角线互相平分 D 1 1 1 ? MC ? AC ? a ? b b 2 2 2 1 1 A ? MA ? ? MC ? ? a ? b 2 2 1 1 1 1 MB ? DB ? ( AB ? AD ) ? a ? b 2 2 2 2 1 1 MD ? ? MB ? b ? a 2 2
C
M

a

B

思考:如图,平行四边 形ABCD的对角线AC和BD相交于点 M, AC ? x  , BD ? y,试用基底x、 y表示MC、 MB和AB、 AD
D M

C

分组讨论

A

B

??? ?

例 e, e 例3. 3  设 1 2是平面内的一组基底,如果 AB = 3 e e e e e e 1- 2 1+ 1- 9 2 ,BC = 4 2 ,CD = 8 2,
B A C

??? ???

???

? ??? ???

? ??? ??? ???

???

???

D

求证:A,B,D三点共线。

证明: AD ? AB ? BC ? CD

? (3e1 ? 2e2 ) ? (4e1 ? e2 ) ? (8e1 ? 9e2 ) ? 15e1 ?10e2 ? 5(3e1 ? 2e2 ) ? 5 AB
? AD与AB共线 .

又AD与AB有公共的起点 A,所以A, B, D三点共线 .

例 24 、如图,已知梯形ABCD,AB//CD, 例 且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. M C D

请大家动手,

在图中确定一组基 ???? ? 底, 将向量 MN用这 组基底表示出来.

A

N

B

1、若 e1, e2是表示平面内所有向量 的一组基底, 则下面的四组向量中不 能作为基底的是
(1)e1 ? e2和e1 ? e2; (3)e1 ? 3e2和e2 ? 3e1; (4)e2和e1 ? e2;

(2)

(2)3e1 ? 2e2和4e2 ? 6e1;

2、已知?ABC中,D是BC的中点,则用AB, AC 表示向量AD ?
B A

D

C

3、设P, Q分别是四边形 ABCD的对角线AC与BD 的中点, BC ? a, DA ? b, 并且a, b不是共线向量, 试用基底a, b表示向量PQ.
解法一: PQ ? PA ? AD ? DQ PQ ? PC ? CB ? BQ ?2 PQ ? AD ? CB ? ?a ? b 1 1 ? PQ ? ? a ? b 2 2
A C P Q B

D

3、设P, Q分别是四边形 ABCD的对角线AC与BD 的中点, BC ? a, DA ? b, 并且a, b不是共线向量, 试用基底a, b表示向量PQ.
D
P A E Q B C

1、平面向量基本定理、两向量的夹角 2、对基本定理的理解

(1)基底不唯一,关键是不共线 (2)实数对 ?1、?2 的存在性和唯一性 3、应用定理的关键是掌握向量的加 法法则和向量共线定理


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