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2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书文北师大版

时间:2017-07-09


第 2 课时
题型一 范围问题

范围、最值问题

例 1 (2015·天津)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为
2

x2 y2 a b

3 ,点 M 3

b 4 3 2 2 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长为 c,|FM|= . 4 3
(1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.

c 1 解 (1)由已知,有 2= , a 3
又由 a =b +c ,可得 a =3c ,b =2c . 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),F(-c,0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c). 由已知,有? 解得 k=
2 2 2 2 2 2 2

2

? kc ?2 ?c?2 ?b?2 ? +? ? =? ? , 2 ? k +1? ?2? ?2?

3 . 3

x2 y2 3 (2)由(1)得椭圆方程为 2+ 2=1, 直线 FM 的方程为 y= (x+c), 两个方程联立, 消去 y, 3c 2c 3
5 2 2 整理得 3x +2cx-5c =0,解得 x=- c 或 x=c. 3

? 2 3 ? 因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为?c, c?. 3 ? ?
由|FM|= ?c+c? +?
2

?2 3 ?2 4 3 . c-0? = 3 ? 3 ?
x2 y2

解得 c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t, 得 t=

y

x+1

,即直线 FP 的方程为 y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立,

y=t?x+1?, ? ? 2 2 ?x y + =1, ? ?3 2
又由已知,得 t=

消去 y,整理得 2x +3t (x+1) =6,

2

2

2

6-2x 2> 2, 3?x+1?

2

3 解得- <x<-1 或-1<x<0. 2

1

y 2 2 2 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得 m = 2- . x x 3

? 3 ? ①当 x∈?- ,-1?时,有 y=t(x+1)<0, ? 2 ?
因此 m>0,于是 m= 2 ? 2 2 3? - ,得 m∈? , ?. x 3 3 ? ?3 2
2

②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0. 因此 m<0,于是 m=- 2 3? ? 得 m∈?-∞,- ?. 3 ? ? 2 3? ? 2 2 3 ? ? 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是?-∞,- ?∪? , ?. 3 ? ?3 3 ? ? 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围, 求新参数的范围, 解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关 系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数, 求其值域, 从而确定参数的取 值范围. (2016·黄冈模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 -y =1 的离心率互 a b 3 为倒数,且直线 x-y-2=0 经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M, N 两点, 且直线 OM, MN, ON 的斜率依次成等比数列, 求△OMN 面积的取值范围. 解 (1)∵双曲线的离心率为 ∴椭圆的离心率 e= = 2 3 , 3 2

x2 3

2 - ,

x2 y2

x2

2

c a

3 . 2

又∵直线 x-y-2=0 经过椭圆的右顶点, ∴右顶点为(2,0),即 a=2,c= 3,b=1, ∴椭圆方程为 +y =1. 4 (2)由题意可设直线的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0),

x2

2

2

M(x1,y1),N(x2,y2). y=kx+m, ? ? 2 联立?x 2 +y =1, ? ?4
消去 y,并整理得(1+4k )x +8kmx+4(m -1)=0, 8km 4?m -1? 则 x1+x2=- , 2,x1x2= 2 1+4k 1+4k 于是 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k x1x2+km(x1+x2)+m . 又直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比数列, 故 · =
2 2 2 2 2 2

y1 y2 k2x1x2+km?x1+x2?+m2 x1 x2 x1x2
2 2

8k m 2 2 =k ? - 2+m =0. 1+4k 1 1 2 由 m≠0 得 k = ,解得 k=± . 4 2 又由 Δ =64k m -16(1+4k )(m -1) =16(4k -m +1)>0,得 0<m <2, 显然 m ≠1(否则 x1x2=0,x1,x2 中至少有一个为 0,直线 OM,ON 中至少有一个斜率不存在, 与已知矛盾). 设原点 O 到直线的距离为 d, 1 则 S△OMN= |MN|d 2 1 |m| 2 = · · 1+k ·|x1-x2| 2 2 1+k 1 2 = |m| ?x1+x2? -4x1x2 2 = -?m -1? +1. 故由 m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1). 题型二 最值问题 命题点 1 利用三角函数有界性求最值 例 2 (2016·锦州模拟)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是坐 标原点,则|AF|·|BF|的最小值是( A.2 B. 2 答案 C
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

C.4 D.2 2

2 2 解析 设直线 AB 的倾斜角为 θ ,可得|AF|= ,|BF|= ,则|AF|·|BF| 1-cos θ 1+cos θ = 2 2 4 × = ≥4. 2 1-cos θ 1+cos θ sin θ

命题点 2 数形结合利用几何性质求最值 例 3 (2015·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动点.若 点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 __________________________ ______________________________________________. 答案 2 2
2 2 2 2

解析 双曲线 x -y =1 的渐近线为 x±y=0,直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 平行,故 两平行线的距离 d= |1-0| 1 +?-1?
2

2



2 .由点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立, 得 2

c≤

2 2 ,故 c 的最大值为 . 2 2

命题点 3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 例 4 (2016·山东)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 2.

x2 y2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段

PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B.
①设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k′,证明 ②求直线 AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为 c. 由题意知 2a=4,2c=2 2. 所以 a=2,b= a -c = 2. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 (2)①证明 设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0). 由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,-2m).
4
2 2

k′ 为定值; k

x2 y2

2m-m m 所以直线 PM 的斜率 k= = .

x0

x0

-2m-m 3m 直线 QM 的斜率 k′= =- .

x0

x0

此时

k′ k′ =-3.所以 为定值-3. k k

②解 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 直线 PA 的方程为 y=kx+m. 直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.

y=kx+m, ? ? 2 2 联立?x y + =1, ? ?4 2
整理得(2k +1)x +4mkx+2m -4=0, 2m -4 2?m -2? 由 x0x1= 2 ,可得 x1= , 2 2k +1 ?2k +1?x0 2k?m -2? 所以 y1=kx1+m= +m. 2 ?2k +1?x0 2?m -2? -6k?m -2? 同理 x2= ,y2= +m. 2 2 ?18k +1?x0 ?18k +1?x0 2?m -2? 2?m -2? 所以 x2-x1= - 2 2 ?18k +1?x0 ?2k +1?x0 = -32k ?m -2? , 2 2 ?18k +1??2k +1?x0 -6k?m -2? 2k?m -2? +m- -m 2 2 ?18k +1?x0 ?2k +1?x0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2-y1=

-8k?6k +1??m -2? = , 2 2 ?18k +1??2k +1?x0 所以 kAB= 1? y2-y1 6k2+1 1? = = ?6k+ ?, k? x2-x1 4k 4?

由 m>0,x0>0,可知 k>0, 1 6 所以 6k+ ≥2 6,当且仅当 k= 时取“=”. k 6 因为 P(x0,2m)在椭圆 + =1 上, 4 2 所以 x0= 4-8m ,故此时 14 ,符合题意. 7 6 . 2
5
2

x2 y2

6 = , 6 4-8m -0
2

2m-m

即 m=

所以直线 AB 的斜率的最小值为

思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何 法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用 代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利 用函数方法、不等式方法等进行求解. (2016·沧州模拟)已知椭圆 C:x +2y =4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最 小值. 解 (1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1, 4 2 所以 a =4,b =2,从而 c =a -b =2. 因此 a=2,c= 2. 故椭圆 C 的离心率 e= =
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

c a

2 . 2

(2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA·OB=0, 即 tx0+2y0=0,解得 t=- 又 x +2y =4, 所以|AB| =(x0-t) +(y0-2)
2 2 2 2 0 2 0

2y0 .

x0

2y0?2 4y0 ? 2 2 2 =?x0+ ? +(y0-2) =x0+y0+ 2 +4 x0 ? x0 ? =x0+
2 2

2

4-x0 2?4-x0? + +4 2 x2 0

2

2

x0 8 2 = + 2+4(0<x0≤4). 2 x0 x0 8 2 2 2 因为 + 2≥4(0<x0≤4),当且仅当 x0=4 时等号成立,所以|AB| ≥8. 2 x0
故线段 AB 长度的最小值为 2 2.
2

1.设抛物线 y =8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l
6

2

的斜率的取值范围是(

) B.[-2,2] D.[-4,4]

? 1 1? A.?- , ? ? 2 2?
C.[-1,1] 答案 C

解析 Q(-2,0), 设直线 l 的方程为 y=k(x+2), 代入抛物线方程, 消去 y 整理得 k x +(4k -8)x+4k =0, 由 Δ =(4k -8) -4k ·4k =64(1-k )≥0, 解得-1≤k≤1.
2 2 2 2 2 2

2 2

2

x y → → → → 2.已知 P 为双曲线 C: - =1 上的点,点 M 满足|OM|=1,且OM·PM=0,则当|PM|取得 9 16
最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为( A. 9 12 B. 5 5 C.4 D.5 )

2

2

答案 B → → 解析 由OM·PM=0,得 OM⊥PM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小 值, 当|OP|取得最小值时, 点 P 的位置为双曲线的顶点(±3,0), 而双曲线的渐近线为 4x±3y 12 =0,所以所求的距离 d= , 5 故选 B. 3.已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,对于左支上任意一点 P 都有 |PF2| =8a|PF1|(a 为实半轴长),则此双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(1,3] 答案 C 解析 由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义, |PF2| 4a 得|PF2|=2a+|PF1|,所以 =|PF1|+ +4a=8a, |PF1| |PF1| 所以|PF1|=2a,|PF2|=4a, 在△PF1F2 中,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|, 即 2a+4a≥2c,所以 e= ≤3. 又 e>1,所以 1<e≤3.故选 C.
7
2 2 2

x2 y2 a b

)

B.(2,3] D.(1,2]

c a

4.(2016·邢台摸底)已知 M 是抛物线 x =4y 上一点,F 为其焦点,点 A 在圆 C:(x+1) + (y-5) =1 上,则|MA|+|MF|的最小值是________. 答案 5 解析 依题意, 由点 M 向抛物线 x =4y 的准线 l: y=-1 引垂线, 垂足为 M1, 则有|MA|+|MF| =|MA|+|MM1|, 结合图形(图略)可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心 C(-1,5)到 y=-1 的距 离再减去圆 C 的半径,即 6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是 5.
2 2

2

2

y2 x2 y2 5.(2017·郑州质量预测)已知椭圆 C1: - =1 与双曲线 C2: + =1 有相同的焦点, m+2 n m n
则椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围为________. 答案 ( 2 ,1) 2 - =1, m+2 n
2

x2

解析 ∵椭圆 C1:
2 2

x2

y2

∴a1=m+2,b1=-n,c1=m+2+n,

m+2+n n e2 =1+ . 1= m+2 m+2
∵双曲线 C2: + =1, ∴a2=m,b2=-n,c2=m-n, ∴由条件知 m+2+n=m-n,则 n=-1, ∴e1=1-
2 2 2 2

x2 y2 m n

1

m+2

. 1

由 m>0 得 m+2>2, ∴1- ∴ 1

m+2 2

1 1 1 < ,- >- , m+2 2

m+2 2

1 2 1 > ,即 e1> ,而 0<e1<1, 2

2 <e1<1. 2

6.已知双曲线 C 的两个焦点分别为 F1(-2,0),F2(2,0),双曲线 C 上一点 P 到 F1,F2 的距 离差的绝对值等于 2. (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的 方程; (3)已知定点 G(1,2),点 D 是双曲线 C 右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值. 解 (1)依题意,得双曲线 C 的实半轴长为 a=1,

8

半焦距 c=2,所以其虚半轴长 b= c -a = 3. 又其焦点在 x 轴上,所以双曲线 C 的标准方程为

2

2

y2 x2- =1.
3 (2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
? ?3x1-y1=3, 则? 2 2 ?3x2-y2=3. ?
2 2

两式相减,得 3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0. 因为 M(2,1)为 AB 的中点, 所以?
?x1+x2=4, ? ?y1+y2=2, ?

所以 12(x1-x2)-2(y1-y2)=0, 即 kAB=

y1-y2 =6, x1-x2

故 AB 所在直线 l 的方程为 y-1=6(x-2), 即 6x-y-11=0. (3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2, 即|DF1|=|DF2|+2, 所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2, 当且仅当 G,D,F2 三点共线时取等号, 因为|GF2|= ?1-2? +2 = 5, 所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2= 5+2, 故|DF1|+|DG|的最小值为 5+2. 7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 的垂直平分 线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围.
2 2

x2 y2 解 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
由已知得 a= 3,c=2, 又 a +b =c ,得 b =1,
2 2 2 2

9

∴双曲线 C 的方程为 -y =1. 3

x2

2

y=kx+m, ? ? 2 (2)联立?x 2 -y =1, ? ?3
整理得(1-3k )x -6kmx-3m -3=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点,
? ?1-3k ≠0, ∴? 2 2 ?Δ =12?m +1-3k ?>0, ?
2 2 2 2

1 2 2 2 可得 m >3k -1 且 k ≠ ,① 3 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0), 6km x1+x2 3km 则 x1+x2= = 2,∴x0= 2, 1-3k 2 1-3k ∴y0=kx0+m= 2. 1-3k 由题意,AB⊥MN,
2+1 1-3k 1 ∴kAB= =- (k≠0,m≠0). 3km k 2 1-3k

m

m

整理得 3k =4m+1,② 将②代入①,得 m -4m>0,∴m<0 或 m>4. 1 2 又 3k =4m+1>0(k≠0),即 m>- . 4
2

2

? 1 ? ∴m 的取值范围是?- ,0?∪(4,+∞). ? 4 ?
8.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2),它的两个短轴顶点和焦点所组 成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A,

B,且AP=2PB.
(1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围. 解 (1)由题意,知椭圆的焦点在 y 轴上, 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),





y2 x2 a b

10

由题意,知 a=2,b=c,又 a =b +c ,则 b= 2, 所以椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx+m,与椭圆 方程联立,
? ?y +2x =4, 即? ?y=kx+m, ?
2 2 2 2

2

2

2

y2 x2

消去 y,得
2

(2+k )x +2mkx+m -4=0, Δ =(2mk) -4(2+k )(m -4)>0, 2mk ? ?x +x =-2+k , 由根与系数的关系,知? m -4 x ·x = , ? ? 2+k
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2

→ → 又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m), 所以-x1=2x2. 则?
?x1+x2=-x2, ? ? ?x1x2=-2x2,
2 2 2

m2-4 ? 2mk 2?2. 所以 ? 2=-2? 2+k ?2+k ?
2

整理,得(9m -4)k =8-2m , 又 9m -4=0 时等式不成立, 8-2m 4 2 所以 k = 2 >0,得 <m <4,此时 Δ >0. 9m -4 9
2 2 2

2? ?2 ? ? 所以 m 的取值范围为?-2,- ?∪? ,2?. 3? ?3 ? ? 9.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0),离心率为 e. (1)若 e= 3 ,求椭圆的方程; 2

x2 y2 a b

2 3 → → (2)设直线 y=kx 与椭圆相交于 A,B 两点,若AF2·BF2=0,且 <e≤ ,求 k 的取值范围. 2 2 解 (1)由右焦点 F2(3,0),知 c=3, 又 e=
2

3 c = ,所以 a=2 3. 2 a
2 2 2

又由 a =b +c ,解得 b =3. 所以椭圆的方程为 + =1. 12 3

x2

y2

11

y=kx, ? ? 2 2 (2)由?x y 2+ 2=1, ? ?a b

得(b +a k )x -a b =0.

2

2 2

2

2 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知,

a2b2 x1+x2=0,x1x2=- 2 2 2. b +a k
→ → 又AF2=(3-x1,-y1),BF2=(3-x2,-y2), → → 2 所以AF2·BF2=(3-x1)(3-x2)+y1y2=(1+k )x1x2+9=0, 即 -a ?a -9??1+k ? +9=0, a2k2+?a2-9?
2 2 2 2

整理得 k = 由

a4-18a2+81 81 . 4 2 =-1- 4 -a +18a a -18a2

2 3 <e≤ 及 c=3, 2 2
2

知 2 3≤a<3 2,12≤a <18. 所以 a -18a =(a -9) -81∈[-72,0), 1 2 2 2 所以 k ≥ ,则 k≥ 或 k≤- , 8 4 4 因此实数 k 的取值范围为?-∞,-
4 2 2 2

? ?

2? ? 2 ? ?∪? ,+∞?. 4? ? 4 ?

12


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