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高考数学一轮复习 考点热身训练 2.9函数与方程

时间:2018-08-04

2014 年高考一轮复习考点热身训练:2.9 函数与方程
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2011· 福建高考)若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的取值范围是( (A)(-1,1) (B)(-2,2) (C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞) 2.函数 f(x)=(A)(0,1) (C)(2,3)
2

)

1 +log2x 的一个零点落在下列哪个区间( x
(B)(1,2) (D)(3,4)

)

3.(2013·福州模拟)下列图象表示的函数能用二分法求零点的是(



4.(预测题)设函数 f(x)=n-1,x∈[n,n+1),n∈N,函数 g(x)=log2x,则方程 f(x)=g(x)的实数根的个 数是( (A )1 ) (B)2 (C)3 (D)4

5.(2012·揭阳模拟)若函数 y=( (A)m≤-1 (C)-1≤m<0 6.已知函数 f(x)=( (B)m≥1

1 |1-x| ) +m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是( 2

)

(D)0<m≤1

1 x ) -log2x, 正实数 a,b,c 依次成公差为正数的等差数列, 且满足 f(a)· f(b)· f(c)<0, 3

若实数 d 是方程 f(x)=0 的一个解,那么下列四个判断:①d<a;②d>b;③d<c;④d>c 中有可能成立的个数为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
1

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

1 ? 2 ?x ? 2 x ? , x ? 0 7.函数 f(x)= ? 的零点个数为_______. 2 ? lgx ? 1, x ? 0 ?
8.(2012·衡水模拟)已知函数 f(x)=3 +x-5 的零点 x0∈[a,b],且 b-a=1,a,b∈N ,则 a+b=_________. 9.(易错题)若函数 f(x)=(m-1)x +2(m+1)x-1 有且仅有一个零点,则实数 m 的取值集合是_________. 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2012·长沙模拟)已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x -2x. (1)写出函数 y=f(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围. 11.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 a>b>c 且 f(1)=0,试证明 f(x)必有两个零点; (2)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)= 实根属于(x1,x2). 【探究创新】 (16 分)已知二次函数 f(x)=x +(2a-1)x+1-2a (1)判断命题“对于任意的 a∈R(R 为实数集),方程 f(x)=1 必有实数根”的真假,并写 出判断过程 ; (2)若 y=f(x)在区间(-1,0)及(0,
2 2 2 2 x *

1 [f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证明必有一 2

1 )内各有一个零点,求实数 a 的范围. 2

答案解析 2 1.【解析】选 C.∵方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,需判别式Δ =m -4>0,解得 m>2 或 m<-2. 2.【解析】选 B.∵f(1)=-1+log21=-1<0,
2

f(2)=-

1 1 +log22= >0, 2 2

∴f(1)·f(2)<0,故选 B. 3. 【解析】选 C.能用二分法求零点,必须满足零点两侧函数值异号.

4.【解题指南】在同一坐标系中作出函数 f(x)和 g(x)的图象,数形结合求解. 【解析】选 C.画出 f(x)和 g(x)的图象,如图所示,从图中不难看出方程 f(x)=g(x)有 3 个零点.

2

5.【解析】选 C.由已知函数 y=( ∵|1-x|≥0,∴0<( ∴m∈[-1,0).

1 |1-x| 1 |1-x| 1 |1-x| ) +m 有零点,即方程( ) +m=0 有解,此时 m=-( ) . 2 2 2

1 |1-x| ) ≤1, 2 1 x ) -log2x 在(0,+∞)上是减函数, 3

6.【解析】选 C.由题意,f(x)=(

∵正数 a,b,c 依次成公差为正数的等差数列, ∴a<b<c,∴f(a)>f(b)>f(c), 又 f(a)·f(b )·f(c)<0, ∴f(c)<0,又 f(d)=0, ∴d<c,③正确, 若 f(a)>0,f(b)>0,则 a<d,b<d;故②正确. 若 f(a)<0,f(b)<0,则 a>d,b>d.故①正确. 综上,有可能成立的为 3 个. 【变式备选】已知函数 f(x)=( (A)恒为正值 (C)恒为负值

1 x ) -log2x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)( 3

)

(B)等于 0 (D)不大于 0

【解析】 选 A.∵f(x)=(

1 x ) -log2x 在(0,+∞)上为减函数,并且 f(x0)=0,0<x1<x0,∴f(x1)>f(x0)=0. 3

7.【解题指南】作出函数 f(x)的图象,数形结合求解. 【解析】作出函数 f(x)的图象,从图象中可知函数 f(x)的零点有 4 个.

3

答案:4 * 8.【解析】由已知 x0∈[a,b],且 b-a=1,a,b∈N , ∴a,b 的可能取值为 a=1,b=2,或 a=2,b=3,? 2 又 f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=3 +2-5=6>0, ∴f(1)f(2)<0,故 a=1,b=2 符合要求. 又∵f(x)为增函数,当 x 取大于或等于 2 的整数时,所对应的函数值都大于 0, ∴ a=1,b=2. ∴a+b=1+2=3. 答案:3 9.【解析】当 m=1 时,f(x)=4x-1=0,得 x=
2

1 ,符合要求. 4
2

当 m≠1 时,依 题意得Δ =4(m+1) +4(m-1)=0.即 m +3m=0,解得:m=-3 或 m=0, ∴m 的取值集合是{-3,0,1}. 答案 :{-3,0,1} 【误区警示】本题求解过程中易忽视 m=1 而失误.根据原式将 f(x)误认为二次函数. 10.【解析】(1)当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞), ∵y=f(x)是奇函数, 2 ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x) -2(-x)] 2 =-x -2x, ∴f(x)= ?
2 ? ? x ? 2x 2 ? ?? x ? 2x

x?0 x?0
2

.
2

(2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x -2x=(x-1) -1,最小 为-1; 2 2 当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x -2x=1-(x+1) ,最大值为 1. ∴据此可作出函数 y=f(x)的图象(如图所示),根据图象得,若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,则 a 的取值范围 是(-1,1).

11.【证明】(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0. 又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即 ac<0. 2 2 又∵Δ =b -4ac≥-4ac>0,∴方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根,∴函数 f(x)必有两个零点. (2)令 g(x)=f(x)-

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 1 1 [f(x1)+f(x2)] ,则 g(x1)=f(x1)[f(x1)+f(x2)]= , 2 2 2

4

g(x2)=f(x2)-

1 [f(x1)+f(x2)] 2

=

f ? x 2 ? ? f ? x1 ? . 2 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ] · [ ] 2 2

∴g(x1)g(x2)=[

=-

1 2 [f(x1)-f(x2)] . 4

∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)g(x2)<0. ∴g(x)=0 在(x1,x2)内必有一实根. 即 f(x)=

1 [f(x1)+f(x2)]必有一实根属于(x1,x2). 2

【探究创新】 【解析】(1)“对于任意的 a∈R(R 为实数集),方程 f(x)=1 必有实数根”是真命题. 2 依题意:f(x)=1 有实根,即 x +(2a-1)x-2a=0 有实根, 2 2 2 ∵Δ =(2a-1) +8a=(2a+1) ≥0 对于任意的 a∈R(R 为实数集)恒成立,即 x +(2a-1)x-2a=0 必有实根,从 而 f(x)=1 必有实根. (2)依题意:要使 y=f(x)在区间(-1,0)及(0,

1 )内各有一个零点, 2

? ?f ? ?1? ? 0 ? 只需 ?f ? 0 ? ? 0 ? 1 ?f ( ) ? 0 ? 2
? ?3 ? 4a ? 0 ? 即 ?1 ? 2a ? 0 , ?3 ? ?a ? 0 ?4
解得

1 3 ?a? . 2 4

5


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