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揭秘若干高考数学题的数学史背景与速解决窍_图文

时间:2014-06-04

标题、作者

揭秘若干高考数学题的 数学史背景与速解诀窍
湖北省 第五批 特级教师 浙江省宁波市北仑区明港中学 浙大《高中数学解题专家》撰者

甘大旺
1

2014.3.8. 大连

0.

序 言

因为大连理工大学的徐利治教授是我国数 学方法论研究的首创者,所以大连这座美丽、 海滨、开放城市也是我国数学方法论研究的发源地。为 此,大连的数学教师应该感到自豪!我也很羡慕! 教研员赵文莲老师、特级教师金钟植老师邀请我来 大连作一个讲座,给我提供向大家学习与交流的机会, 让我感受我国数学方法论研究发源地的学术氛围,也促 使着我把原先在宁波大学举办的高中数学教师培训讲稿 进行翻新和完善(有时人在外力中更容易进步),所以 我对赵文莲老师、金钟植老师和各位老师表示感谢!
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1.揭秘若干高考数学题的数学史背景
浙江省嘉兴一中特级教师沈新权已经谈到我国高考 数学题四大来源:源自教材、陈题改编、高数下放、竞 赛背景。读后,我受益匪浅. 作为高考数学题研究的延续,这里,我刍谈若干高 考数学题的数学史背景,期望对于高中数学教师的数学 高考备考、丰富专业涵养能发挥出抛砖引玉的作用。我 本人的观点不成熟、有偏差,请指正!
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1.揭秘若干高考数学题的数学史背景
数学史是研究数学学科发生、发展及其 规律的科学,它不仅追溯数学内容、思想 和方法的演变、发展过程,而且还探索影 响这种过程的各种因素,以及数学科学发 展对人类文明带来的影响。 数学进展的累积性、延续性不同于其 它学科进展的颠覆性、割裂性(例如物理 学的“以太说”、化学的“燃素说”、天 文学的“地心说”、医学的“抗生素” 等),这说明学习、研究数学史尤其重要。
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1.揭秘若干高考数学题的数学史背景
人们研究数学史可以研究数学思想、方法、 理论、概念的演变史;可以研究数学科学与其它

学科、人类社会的互动关系;可以研究数学思想
的传播与交流;可以研究数学家的生平;等等。 国际数学组织HPM的研究方向是数学史及其与 数学教育的关系。作为高中数学教师,我们不但 可以把数学史研究用于编写数学校本教材、改进

数学课堂教学,而且更应该关注高考数学题的数
学史背景(命题背景、解题背景)。
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1.1

将军饮马

唐朝诗人李欣(690--751, 四川三台)的诗《古从军行》 的开头两句是: “白日登山望峰火, 黄昏饮马傍交河.” 例1 (2013年湖南省高考题)在等腰直角三 角形…… 例2 (2013年重庆市高考题)已知两个定 圆……
6

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1.2 韦达定理

法国数学家韦达(Viete,1540-1603)早年在巴黎 普瓦捷大学学习法律,后任律师和法官,主业巅峰时当 上法国最高法院律师,业余钻研数学,出版《应用于三 角形的数学定理》(1579)、《分析方法入门》(1591)、《各种 数学解答》(1593)、《论方程的识别与论证》(1615)、《斜截 面》(1615)等数学专著,一直到殂后43年的1646年经晚辈在荷兰 出版《韦达全集》后才得到数学界的佩服,被公认为数学符号化之 父。《论方程的识别与论证》记载了被后人所称谓的“韦达定理”。 例1 (2012年山东省高考理科数学试卷的最后一道选择题)设 函数…… 例2 (2010年江西省高考题)如果函数…… 例3 (2008年复旦大学自主招生题)设……是三次方程 的三个根,则行列式……
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1.3

斐波拉契数列

意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci,约1170-1250)在1228年修订的《算 盘全书》中保留了兔子问题:“如果每对 新生的雌雄兔子在第3个月开始每月又能生一对雌 雄兔子,假设不发生死亡,那么由一对初生的雌雄 兔子繁殖到50个月后共有多少对雌雄兔子?” 例1 (2012年江西省高考题)观察下列各式…… 例2 (2009年福建省高考题)五位同学围成 一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为 1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位……
8

1.4

1.4

费 马 点

法国数学家费马(Fermat,1601-1665)出生于法国 南部图卢兹的一个皮革商的富贵家庭,从小喜爱浏览多 种图书,在图卢兹大学学习法律,毕业后返回家乡图卢 兹当律师、法官和议员,主业巅峰时担任法国大理院法 庭法官和天主教联盟主席。 虽然钻研数学只是费马的业余爱好,但费马在数学上的总体造 诣却远远超过同时代法国的职业数学家,后世被数学界称为“业余 数 学家之王”。 在平面几何中,把到任意的三个顶点的距离之和最小的点称为 费马点F。当该三角形的最大内角小于120度时;否则,费马点F重 P C D 合 于最大内角的顶点。 O 例1 (2008年江苏省高考题)如图,某地 有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、 A B
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1.5

1.5 卡尔达诺的旋轮问题
意大利科学家、医学博士卡尔达诺(G.Cardano, 1501-1576)出生于一个法官的家庭,上大学时学习医 学取得医学博士学位,主业从医,33岁时兼任数学教 师,42岁又到帕维亚大学任医学教授并逐渐成为闻名全欧的医生, 他是医学、哲学、宗教、数学、物理、化学、生物学、天文学、占 星预测、棋类、赌博的杂家和玩家。 卡尔达诺最重要的数学著作是1545年出版的《大术》,其中包 含了一元三次方程、四次方程的求根公式。此外,他提出了著名的 旋轮问题:“一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘相切 而旋转,则这个小圆盘上一个定点的运动轨迹是一个椭圆”。 例1 (2011年江西省高考题)一个直径为1的小圆沿着直径为2 的大圆内壁的逆时针方向滚动,…… 例2 (2012年山东省高考题)如图,一单位圆的圆心的初始位 置在……
10

1.6

1.6

伯努利的装错信笺

瑞士数学家尼?伯努利(Danil Bemoulli,1700 -1782)提出了装错信笺问题——某人写了n封不 同的信,并在n个信封上写下对应的地址,问把所 有信笺全部装错的方法共有多少种? 后来,瑞士数学家欧拉(Euler,1707-1783) 运 用递推数列独立地解决了这道组合妙题。 例6 (2010年浙江省高考题)有4位同学在 同一天的上、下午参加“身高与体重”、…… 例7 (2012年全国高考题)将字母排成三行两 列,要求每行的字母……
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1.7

1.7 从阿氏圆,到极点、极线
阿波罗尼(奥)斯(P.Apollonius,约前262-约 前190)是希腊数学家、天文学家,经典巨著《圆 锥曲线论》领先1800年。目前比较流行的阿波罗 尼(奥)斯圆是“与两定点的距离之比为常数(不等 于1)的点的轨迹是一个圆”。 例1 (2008年江苏省高考题)满足AB=2,AC= ……三角形ABC面积的最大值是 。 例2 (2013年辽宁省高考题19(2))如图, 抛物线……求线段AB中点的轨迹方程。
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1.8

1.8 琴生不等式
丹麦工程师和业余数学家琴生(Jensen,1859 -1925)出生于丹麦,跟随当房地产经理的父亲在 瑞典度过了大部分童年时光,17岁回国中断了在 哥本哈根科技学院的学业,24岁成为一家电话公 司的工程师,31岁成为技术主管,没有专修数学 和讲授数学的历练,自学高等数学,业余研究数 学。著名的琴生不等式不但在数学竞赛中常被运 用,而且在高考数学命题中也常常若隐若现。 例1 (2011年我国内地招收侨港澳台学生入 学试题)设三角形ABC为锐角三角形…… 例2 (2011年湖北省高考末题)设…… 13

1.9

1.9 拉格朗日中值定理
拉格朗日(Lagrange,1736-1813)是法国数 学家、力学家、天文学,出生于生于意大利,幼 年 家境衰落,17岁就喜爱研读微积分,19岁时当上 都 灵皇家炮兵学院教授,20岁受数学家欧(17071783)的举荐被任命为德国皇家普鲁士科学院通 讯 院士,30岁受德国大帝的邀请前往柏林担任普鲁 士 科学院数学部主任,51岁以后受法国国王的邀请 定 14

1.10

(揭秘若干数学高考题的数学史背景)其它

古希腊的形数、柯西函数方程、杨辉三角、 阿贝尔求和、欧拉线、蝴蝶、雪花曲线、幻方、

阿基米德三角形、四色、七桥、帕斯卡赌金分配、
正整数的二进制, 级数, 彭色列闭形定理、 调和点列,交比,包络、 高阶等差数列,羨除, …。
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2.0

2. 揭秘若干数学高考题的速解诀窍
北京师大《数学通报》1997年第2期发表了我的论 文“通法与特技的相对性及启示”,受到专家的好评, 这一年我38岁被破格评为湖北省第5批特级教师与这篇 代表作密切关联。写这篇学术争鸣论文的初衷只是要 鼓励数学教师乐于潜心研究解题方法,却想不到引起 了全国不少中学数学教师的共鸣,后来者居上,比如 东北的特级教师金钟植对数学解题通法与特技进行了 更加系统的研究(http://wenku.baidu.com/view /2eb84c17eff9aef8941e06a5.html),新颖地提出了通 法的概括性、隐蔽性、发展性、层次性等等特点. 在数学解题中,通法与特技(妙法),孰优孰劣, 目前再很少有人去辩论了。再强调,无论是通法还是 特技(妙法),易学且省时的解法就是好法。
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2. 揭秘若干数学高考题的速解诀窍
2001年秋季我在陕西师大接受第3期高中数学国家级 骨干教师培训班(兼任学习委员),聆听到裘宗沪教授 的专题报告(时任教务长的罗增儒教授主持报告会), 裘教授直白地说道:“熟能生巧” 几乎是数学教育的全 部,‥‥‥。裘宗沪教授的这种说法务实求真,与华罗 庚先生提倡的“勤能补拙”是一脉相承的。 在高考数学备考中,教师引导学生熟悉解题的若干 速解技巧、多熟悉几套解题妙招,学生就会对数学学习 增加乐趣、在数学高考中增加胜算。
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2.1

2.1 函数图象的轴对称和点对称
2012年4月,上海市七宝中学特级教师文卫星委托我 为他点评复习课“函数图像的对称性、周期性”的教学 实录, 文卫星老师的探究成果与在座的多位教师的探究心得可 能 不谋而合。 思考:若函数图象有两条对称轴,则周期如何?……

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2.2 2.2

2.2 指数、对数的分隔不等式

19

2.3

2.3

不 动 点

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2.4

2.4

平面的截距式法向量

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链接

2.5

巧求平均数、方差

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2.6

2.6

三 角 法

23

链接

2.7

平面几何帮大忙

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2.8

2.8

居 高 临 下

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2.9

2.9

先 猜 后 证

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2.10

2.10

(揭秘若干数学高考题的速解诀窍)其它

等积(面积或体积)法,解析法,直观感悟、分类、

分析,逆向思维,经典特例,极限化,整体换元,归纳概
括,寻找引理(复合函数的反函数、“对勾”函数性质、 空

间三直角折线、三角形内的向量等式、共轭复数性质、圆
的根轴、等等),质疑辟误…。

27

3.0

结 语
勤能补拙 熟能生巧

师生 配合

揭秘 解题 背景 揭秘 解题 诀窍

破除 知一点 题海 懂一片 战术 …
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数学方法论 M M

思 考、调 研 题
某董事长的司机和保镖两人某次闲暇时掷硬币猜 赢,商约先掷出4次正面就归司机赢得全部网络游戏币 3000元,反之先掷出4次反面就归保镖赢得这些游戏币, 掷硬币最少4次、最多7次就可见分晓。正当他们掷出3次 正面、2次反面时,董事长要这两人陪同去接见外商,两 人受到“再犯就开除”的严厉警告。投掷过程不能了结, 就委托旁观者肖雪圣为他们分配这3000元游戏币。 肖雪圣认为,应按3:2为司机和保镖分配这3000元 游戏币。 你是否有改进方案?若没有,请按照肖雪圣的方案 计算司机和保镖各得多少元游戏币;若有,请详述你的 改进方案及其合理性。 (gandawang@163.com)
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再 见 !

请大家提出批评意见!
甘大旺的电子邮箱: gandawang@163.com 1195507543@qq.com

祝大家工作顺利、专业进步、 身体健康、家庭幸福!
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