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2017中考数学一轮复习-二次函数图像与性质学案

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2017 中考数学一轮复习-二次函数图像与性质学案 2017 年中考数学一轮复习第 14 讲《二次函数图像与性质》 【考点解析】 知识点一、求二次函数图象的顶点坐标 【例题】 (2016 河南)已知 A(0,3) ,B(2,3)是抛物线=﹣x2+bx+ 上两点,该抛物线的顶点坐标是 (1,4) . 【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】把 A、B 的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出 方程组的解,即可得出解析式,化成顶点式即可. 【解答】解:∵A(0,3) ,B(2,3)是抛物线=﹣x2+bx+上两点, ∴代入得: , 解得:b=2,=3, ∴=﹣x2+2x+3 =﹣(x﹣1)2+4, 顶点坐标为(1,4) , 故答案为: (1,4) . 【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特 征的应用,能求出函数的解析式是解此题的关键. 【变式】 抛物线=x2﹣2x+3 的顶点坐标是 【答案】 (1,2) . 【解析】已知抛物线的解析式是一般式,用配方法转化为顶点式, 根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标. 试题解析:∵=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=(x﹣1)2+2, ∴抛物线=x2﹣2x+3 的顶点坐标是(1,2) . 知识点二、二次函数图象的增减性及其其它性质 【例题】 (201 江苏常州)已知二次函数 ,当 x>1 时,随 x 的增大 而增大,而的取值范围是( ) A. B. . D. 【答案】D. 【分析】根据二次函数的性质即可做出判断 【解析】抛物线的对称轴为直线 ,∵当 x>1 时,的值随 x 值的增 大而增大,∴ ,解得: .故选 D. 【点评】本题考查了二次函数的性质,能正确地判断出确定出对称 轴是解题的关键. 【变式】 (2016•鄂州)如图,二次函数=ax2+bx+(a≠0)的图象与 x 轴正半轴相交于 A、B 两点,与轴相交于点,对称轴为直线 x=2,且 A=,则下列结论: ①ab>0;②9a+3b+<0;③>﹣1;④关于 x 的方程 ax2+bx+(a≠0) 有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有( )A.1 个 B.2 个 .3 个 D.4 个 【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与轴的交点可分别 判断出 a、b、的符号,从而可判断①;由图象可知当 x=3 时,<0, 可判断②;由 A=,且 A<1,可判断③;把﹣ 代入方程整理可得 a2 ﹣b+=0,结合③可判断④;从而可得出答案. 【解答】解: 由图象开口向下,可知 a<0, 与轴的交点在 x 轴的下方,可知<0, 又对称轴方程为 x=2,所以﹣ >0,所以 b>0, ∴ab>0,故①正确; 由图象可知当 x=3 时,>0, ∴9a+3b+>,故②错误; 由图象可知 A<1, ∵A=, ∴<1,即﹣<1, ∴>﹣1,故③正确; 假设方程的一个根为 x=﹣ ,把 x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +=0, 整理可得 a﹣b+1=0, 两边同时乘可得 a2﹣b+=0, 即方程有一个根为 x=﹣, 由②可知﹣=A,而当 x=A 是方程的根, ∴x=﹣是方程的根,即假设成立,故④正确; 综上可知正确的结论有三个, 故选. 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练掌握图象与系 数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键.特别是 利用好题目中的 A=,是解题的关键. 知识点三 二次函数的对称轴 【例题】 (201 湖南怀化)二次函数= +2x 的顶点坐标为 ,对称轴是直线 . 【答案】(-1,-1);直线 x=-1 【分析】将二次函数配成顶点式,然后得出顶点坐标和对称轴. 【解析】= +2x= -1,从而得出抛物线的顶点坐标(-1,-1);对 称轴直线 x=-1. 【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标,根据对于函数图 象的描述能够理解函数的解析式的特点,是解决本题的关键. 【变式】 (2016•四川南充)抛物线=x2+2x+3 的对称轴是( A.直线 x=1B.直线 x=﹣1.直线 x=﹣2D.直线 x=2 【分析】先把一般式化为顶点式,然后根据二次函数的性质确定抛 物线的对称轴方程. 【解答】解:∵=x2+2x+3=(x+1)2+2, ∴抛物线的对称轴为直线 x=﹣1. 故选 B. 【点评】 本题考查了二次函数的性质: 对于二次函数=ax2+bx+ (a≠0) , 它的顶点坐标是(﹣ , ) ,对称轴为直线 x=﹣ . 知识点四、二次函数的最大(小)值 ) 【例题】 (2016•长沙)已知抛物线=ax2+bx+(b>a>0)与 x 轴最多有一个交点,现有以下四个结论: ①该抛物线的对称轴在轴左侧; ②关于 x 的方程 ax2+bx++2=0 无实数根; ③a﹣b+≥0; ④ 的最小值为 3. 其中,正确结论的个数为( ) A.1 个 B.2 个 .3 个 D.4 个 【分析】从抛物线与 x 轴最多一个交点及 b>a>0,可以推断抛物 线最小值最小为 0,对称轴在轴左侧,并得到 b2﹣4a≤0,从而得到① ②为正确;由 x=﹣1 及 x=﹣2 时都大于或等于零可以得到③④正确. 【解答】解:∵b>a>0 ∴﹣ <0, 所以①正确; ∵抛物线与 x 轴最多有一个交点, ∴b2﹣4a≤0, ∴关于 x 的方程 ax2+bx++2=0 中,△=b2﹣4a(+2)=b2﹣4a﹣8a< 0, 所以②正确; ∵a>0 及抛物线与 x 轴最多有一个交点, ∴x 取任何值时,≥0 ∴当 x=﹣1 时,a﹣b+≥0; 所以③正确; 当 x=﹣2 时,4a﹣2b+≥0 a+b+≥3b﹣3a a+b+≥3(b﹣a) ≥3 所以④正确. 故选:D. 【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系,解答此题的 关键是要明确 a 的符号决定了抛物线开口方向; a、 b 的符号决定对称 轴的位置;抛物线与 x 轴的交点个数,决定了 b2﹣4a

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