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甘肃省天水一中2009-2010学年下学期高一年级期末考试数学试卷(理科)

时间:2015-09-24


甘肃省天水一中 2009-2010 学年下学期高一年级期末考试数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题;每小题 4 分,共 40 分)在每小题给出的四个结论中,只 有一项是符合题要求的 1. 设 x ? a ? 0, 则下列各式一定成立的是( A. x ? ax ? a
2 2


2 2

B. x ? ax ? a
2

2

C. x ? a ? ax )

D. x ? a ? ax
2 2

2. 已知 a, b ? R, ab ? 0 ,则下列不等式中不正确的是( A. | a ? b |? a ? b B. 2 ab ?| a ? b | C.
0

| a ? b |?| a | ? | b |

D.

|

b a ? |? 2 a b

3. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ? A . 3 B) . 2 3 C . 4 D .12

4. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 析式.是( ). A. y ? cos 2 x B. y ? 2cos 2 x

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解 4
C. y ? 1 ? sin( 2 x ? ) D.

?
4

)

D. y ? 2sin 2 x

5. 函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为( A. 2? B.

3? 2
C。 2 3 ? 2

C. ?

? 2


6. 设 x,y 都是正实数,x+y+xy=2,则 x+y 的最小值是( A。

3 2

B。 1 ? 3

D。 2 ? 3

7.在△ABC 中,a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量 m=(b-c,c-a) ,n=(b, c+a) ,若向量 m⊥n,则角 A 的大小为 ( ) A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3
)

2 x 2 ? 2mx ? m ? 1 对一切实数 x 都成了立,则实数 m 的取值范围( 8.如果不等式 4 x2 ? 6 x ? 3
A. (1 ,3) B. ( ??,3) C. (??,1) ? (3, ??) D. (??, ??) ( )

9.设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) ,则下列结论正确的是

A. f ( x ) 的图像关于直线 x ? B. f ( x ) 的图像关于点 (

?
3

对称

?
4

, 0) 对称

C.把 f ( x ) 的图像向左平移

? 个单位,得到一个偶函数的图象 12

D. f ( x ) 的最小正周期为 ? , 且在[0,
a b

?
6

] 上为增函数
1 1 ? 的最小值为( a b
)

10. 设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 A 8 B 4 C 1 D

1 4
.

二、填空题(本大题共四个小题;每小题 4 分,共 16 分)把答案填在题中横线上 11. 不等式 2x ?1 ? x ? 2 的解集为

12. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示,则 ? =

13 .若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为__________ ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?

14.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? c(a ? 0) ,若不等式 f(x)>0 的解集为(1 ,2),且 f(x)的最 大值小于 1,则 a 的取值范围是__________ 三、解答题(共 44 分) 15. (本题满分 10 分) 解不等式 lg( x ? ) ? 0

1 x

16 . (本题满分 10 分) 当 x>-1 时 ,求 f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 12 的最小值 x ?1

17. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 ? , 2 5

??? ? ??? ? AB ? AC ? 3 .

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x (m 为正常数) x?m

(1)用单调性的定义证明 f(x)在 (0, ??) 上是增函数 (2)已知三角形的三边长为 a ,b ,c,求证:

a b c ? ? a?m b?m c?m

四.附加题(共 20 分) 19. (本题共 10 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 (a ,b 为常数) 且方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两个实根为 x1 ? 3, x2 ? 4 ax ? b
(k ? 1) x ? k 2? x

(1)求函数 f(x)的解析式 (2) 设 k>1,解关于 x 的不等式 f ( x) ?

20. (本题共 10 分) 在一个特定时段内, 以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有 一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40
?

2 海 里 的 位 置 B , 经 过 40 分 钟 又 测 得该 船 已 行驶 到 点 A 北 偏东 45? + ? ( 其 中
26 ? ? , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26

sin ? =

(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断 它是否会进入警戒水域,并说明理由.

数学参考答案

题号

1 B

2 C

3 B 12 .

4 B 13 .

5 A

6 C

7 B

8 A 14。文

9 C 4

10 B

11. {x | ?1 ? x ? 1}

3 2

1 2

14。理科 a>-4

15.文 {x | x ? 1 ,或2 ? x ? 3,或x>4} (理) {x | ?1 ? x ? 16.3 17. (文)总造价 y ? 3600( x ?

1? 5 1? 5 或1 ? x ? } 2 2
16 ) ? 5800 ; 当 x=4 时,造价最低 x

即地面矩形中于墙相对的一边是 4m,另一边是 3m 时房屋造价最低为 34600 元 17.(理)文 18 解析: (Ⅰ) cos A ? 2 cos
2

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? 所以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 , 5 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

x2 ( x ? 2) 19 (1) f ( x) ? 2? x
(2)1<k<2 时,解集为 (1, k ) ? (2, ??)

k ? 2 时,解集为 (1, 2) ? (2, ??)
k>2 时,解集为 (1, 2) ? (k , ??) 20(理)解: (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 ,

?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26

由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos ? = 1 ? (
? ?

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB?AC? cos? ? 10 5.

所以船的行驶速度为

10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45? ? ? ) ? 30 , y2=ACsin ?CAD ? 10 13sin(45? ? ? ) ? 20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10

又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

所以船会进入警戒水域. 解法二: 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,

cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 2 AB ? BC

=

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = . 10 2 ? 40 2 ? 10 5
2

从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ? 在 ?ABQ 中,由正弦定理得,

9 10 ? . 10 10

10 AB sin ?ABC 10 ? 40. ? AQ= sin(45? ? ?ABC ) 2 2 10 ? 2 10 40 2 ?
由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45 ? ?ABC)
?

= 15 ?

5 ? 3 5 ? 7. 5

所以船会进入警戒水域. 20.(文)解法一 由 sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 0. 所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0. 即 sin B(sin A ? cos A) ? 0. 因为 B ? (0, ? ), 所以 sin B ? 0 ,从而 cos A ? sin A.

? 3 . 从而 B ? C ? ? . 4 4 3 由 sin B ? cos 2C ? 0得 sin B ? cos 2( ? ? B) ? 0. 4
由 A ? (0, ? ), 知 A ? 即 sin B ? sin 2B ? 0.亦即sin B ? 2 sin B cos B ? 0.

1 ? 5? ? ? 5? , B ? ,C ? . 所以 A ? , B ? , C ? . 2 3 12 4 3 12 3? ? 2C ). 解法二:由 sin B ? cos 2C ? 0得 sin B ? ? cos 2C ? sin( 2 3? ? ? 2C或B ? 2C ? . 由 0 ? B 、 c ? ? ,所以 B ? 2 2 3? ? 或2C ? B ? . 即 B ? 2C ? 2 2
由此得 cos B ? 由 sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 0. 所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0. 即 sin B(sin A ? cos A) ? 0. 由 A ? (0, ? ), 知A ? 因为 sin B ? 0 ,所以 cos A ? sin A.

3? 3 ? ,知 B+2C= 不合要求. 4 2 4 ? 1 ? 5? ? 5? . 所以 A ? , B ? , C ? . 再由 2C ? B ? ? ,得 B ? , C ? 4 2 3 12 3 12 . 从而 B ? C ?
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甘肃省天水一中 2009-2010 学年下学期高一年级期末考试数学试卷 (理 科) (通用版)
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