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山东省高中数学《1.2.1-2任意角的三角函数》教案 新人教A版必修4

时间:2014-04-27


第二课时

任意角的三角函数(二)

【复习回顾】 1、 三角函数的定义; 2、 三角函数在各象限角的符号; 3、 三角函数在轴上角的值; 4、 诱导公式(一) :终边相同的角的同一三角函数的值相等; 5、 三角函数的定义域. 要求:记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上 角时,要结合定义进行分析;并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】 1.引入:角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函 数是一个数量概念(比值) ,但它是否也是一个图形概念呢?换句话说,能否用几何方式来 表示三角函数呢? 2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆,这个圆就叫做单 位圆(注意:这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米).当角 ? 为第一象限角时,则其终边 与单位圆必有一个交点 P ( x, y ) , 过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M , 则请你观察: 根据三角函数的定义: | MP |?| y |?| sin ? | ; | OM |?| x |?| cos ? | 随着 ? 在第一象限内转动, MP 、 OM 是否也跟着变化? 3. 思考: (1) 为了去掉上述等式中的绝对值符号, 能否给线段 MP 、 OM 规定一个适当的方向,使它们的取值与点 P 的坐标一致? O (2)你能借助单位圆,找到一条如 MP 、OM 一样的线段来表示 角 ? 的正切值吗? 我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的 终边不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当 线段 OM 与 x 轴反向时, OM 的方向为负向,且有正值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这样, 无论那种情况都有 y a角的终 边 P T

M A

x

OM ? x ? cos ? 同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,规定:
当线段 MP 与 y 轴同向时, MP 的方向为正向,且有正值 y ;当线段 MP 与 y 轴反向 时, MP 的方向为负向,且有正值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

MP ? y ? sin ?
4.像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(direct line segment). 5.如何用有向线段来表示角 ? 的正切呢? 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线 ,这条切线必然平行于轴 ,设它与 ? 的终边交于点

T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、AT ,我们有
1

y x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余 tan ? ? AT ?
弦线、正切线,统称为三角函数线. 6.探究: (1)当角 ? 的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、 余弦线和正切线吗? (2)当 ? 的终边与 x 轴或 y 轴重合时,又是怎样的情形呢?

7.例题讲解 例 1.已知

?
4

?? ?

?
2

,试比较 ? , tan ? ,sin ? ,cos ? 的大小.

处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习 P 19 第 1,2,3,4 题 9 学习小结 (1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 ? 的正弦、余弦、正切函数值分 别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】 1. 作业: 比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器) (1) sin15 、 tan15
? ?

(2) cos150 18 、 cos121

?

'

?

(3)

? ? 、 tan 5 5

2.练习三角函数线的作图.

2


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