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人教版高中数学必修1至必修5公式

时间:2016-11-24


人教版高中数学必修一至必修五公式(必会)

初高中衔接: 和平方: a ? b ? ( a ? b)(a ? b)
3 3 2 2

和、差平方: ( a ? b) ? a ? 2ab ? b
2 2 3

2

2

2

立方和、立方差: a ? b ? ( a ? b)( a ? ab ? b ) 和、差立方: ( a ? b) ? a ? b ? 3a b ? 3ab

3

3

2

2

(a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ; (a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac (a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ; (a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac
韦达定理:设

b ? x1 ? x 2 ? ? ? a x1和x 2 为ax 2 ? bx ? c ? 0的两根,那么? c ? x1 x 2 ? a ?
必修一:
? ()元素与集合的关系:属于( ?)和不属于(?) ?1 ? ? ? 2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性 ?集合与元素 ( ? ? ( ? 3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 ? ? 4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 ( ? ? ? ? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。 ? ? ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注? ? ? ? 关系 ? ? ?3、对于集合A, B, C, 如果A ? B,且B ? C, 那么A ? C. ? ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B ? (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 集合 ? ? ? ? ? 集合相等: A ? B 且 A ? B ? A? B ? ? ? ? ? ? ? ?集合与集合 ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? ?交集 ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ?? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ?并集 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ?? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? B ? ?运算 ? Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B) - Card ( A ? B) ? ? ? ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ?U 且x ? A? ? A ? ? ? ? ? ?补集 ?性质: ? (CU A) ? A ? ?, (CU A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), ? ? ? ? ? C ( A ? B ) ? ( C ? U U A) ? (CU B) ? ? ? ? ?

恒成立问题:

ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0)在R上恒成立的条件 a ? 0且△? 0; ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0)在R上成立的条件为 a ? 0且△? 0

? ? m an ? ? n ? 1 ? m ? n? ? a, a ? 0 a n n 当n为奇数时: a n ? a;当n为偶数时: an ? a ? ? (a ? 0,m、n ? N *,且m ? 1) am ? ? ? ? a, a ? 0 ; 指数函数: a
n m

1

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a r a s ? a r ? s (a ? 0,r、s ? Q ); (a r ) s ? a rs (a ? 0,r、s ? Q ); (ab) r ? a r b r (a ? 0,b ? 0;r ? Q ) ? (??,? p ) ? ( p ,??) ?单调递增: p ? y ? x? (? p, 0) ? (0, p ) ? 单调递减: x ,在 (??,0) ? (0,??) 上 ? 对勾函数单调区间公式:对勾函数基本形式:
对数函数:

log a a ? 1 log a b ?

,

log a b ? log b a ? 1

,

log a 1 ? 0

,

a log a N ? N ( N、a ? 0且a ? 1)

,

d d c c 1 (a、b ? 0且a、b ? 1) log b ? ? log a ? ? log b ? log a c c d d log b a a b a b ,

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ? ? M log a ? log a M ? log a N ? ? N ? (a 、 M 、 N>0, 且

a ≠ 1)

ln x ? log e x( x ? 0),? ln e ? log e e ? 1

log a m n ? n log a m ? ? log c b n ? log a b ? (a、b、c ? 0, 且a、c ? 1) log a m b n ? log a b ? log c a m ? (a、b、m ? 0,n ? R, 且a ? 1) , (换底公式)
函数图像(必须熟)

表1 定义域 值域

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?

对数数函数

y ? log a x ? a ? 0, a ? 1 ?

x?R y ? ? 0, ?? ?

x ? ? 0, ?? ?
y?R

图象

过定点 (0,1) 减函数 性质 增函数
x ? (??, 0)时,y ? (0,1) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??)

过定点 (1, 0) 减函数 增函数

x ? (??, 0)时,y ? (1, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)

x ? (0,1)时, y ? (0, ??) x ? (1, ??)时, y ? ( ??, 0)

x ? (0,1)时,y ? (??, 0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??)

2

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a?b
表2
?

a?b
幂函数 y ? x (? ? R )

a?b

a?b

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数

奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数

偶函数

第一象限性质

减函数

增函数

(0, 1 ) 过定点

判断奇偶函数:若 f ( x ) ? f ( ? x ) 则为偶函数,若 f ( ? x ) ? ? f ( x ) 则为奇函数(奇函数 f (0) ? 0 ) 1 在定义域内设 x1 ? x 2 ,化简 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 则认为该函数在其 判断单调函数: ○ 2 若在定义域内设 定义域内单调递减,若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 则认为该函数在其定义域内单调递增。○

x1 ? x 2 , 化 简 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 则 认 为 该 函 数 在 其 定 义 域 内 单 调 递 增 , 若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 则认为该函数在其定义域内单调递减。 (具体情况具体定)
函数的周期:若 f ( x ? T ) ? f ( x ) ,则 T 为函数周期。 必修二: 直线与方程 1)直线的倾斜角
3

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定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜 率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ;
? ?

?

?

当 ? ? 90 ,180
?

?

?

? 时, k ? 0 ;

当 ? ? 90 时, k 不存在。
?

k?
②过两点的直线的斜率公式:

y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它 的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

y ? y1 x ? x1 ? y ? y1 x2 ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1? , ?x2 , y2 ? ③两点式: 2 x y ? ?1 ④截矩式: a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a, b 。
⑤一般式:

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0)注意: 1 各式的适用范围



2 特殊的方程如: ○

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ;

平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系
4

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平行于已知直线

A0 x ? B0 y ? C0 ? 0



A0 , B0

是不全为 0 的常数)的直线系:

A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)

(二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线

y ? y 0 ? k ? x ? x0 ?

,直线过定点

? x0 , y 0 ? ;

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

l ? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) ,其中直线 2 不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直 当

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1 k 2 ? ?1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 相交,交点坐标即方程组 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 的一组解。

方程组无解 ? l1 // l 2 ;

方程组有无数解 ?

l1 与 l 2 重合

B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,


| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
d? Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

P ? x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 (9)点到直线距离公式:一点
(10)两平行直线距离公式 1 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 ○



2 设直线 l1 ? Ax ? By ? C1 ? 0, l 2 ? Ax ? By ? C 2 ; 则两点间的距离为

d?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

( A、B都相等)

二、圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;
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(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
? 2 2 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? D E? 1 ,? ? r? D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 ? ,半径为 2

2

2

当D

2

? E 2 ? 4 F ? 0 时,表示一个点; 当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断: ( 1 )设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为
2 2 2

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则有

d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交
2 (2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令 2 2

其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与 C 相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与 C 相交 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程:
2 2 2 xx ? yy 0 ? r ①圆 x ? y ? r ,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 0

xx 0 ? yy 0 ? r 2

去解直线与圆相切的问题,其中

?x0 , y0 ? 表示切点坐标,r

2

(课本命题).

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C 2 : ? x ? a 2 ? ? ? y ? b 2 ? ? R 2 2 2 2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当d

? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条;
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当d

? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 当

d ? R?r d ? R?r

时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 时,两圆内含; 当d

? 0 时,为同心圆。

柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S 直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ? 1 (c1 ? c2 )h' 2

S 圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? 2 ch'
S圆台侧面积 ? ( r ? R )?l

1

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R 2

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 ? Sh

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h

1 V锥 ? Sh 3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 V圆台 ? ( S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h 3 3


(4)球体的表面积和体积公式:V (5)关于平面的公理:

4 3 ?R 2 =3 ; S 球面 = 4? R

公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
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(6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角 是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤:A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点 选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角

(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 1 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行→面面平行) , ○ 2 如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , ○ 3 垂直于同一条直线的两个平面平行, ○ 两个平面平行的性质定理 1 如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) ○ 2 如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) ○ (9)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。
8

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性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
2 2 2 (10)空间两点距离坐标公式: d ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )

必修三: 秦九韶算法:

a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? ... ? a1 ? ????a n x ? a n ?1 ?x ? a n ? 2 ?x ? ...?x ? a 2 ?x ? a1

回归直线方程: 必修四:
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?

2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

?? k ? 360 第一象限角的集合为

?

? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
?

? ? ? ?

?? k ? 360 ? 90 第二象限角的集合为
? ? ?

? k ? 360? ? 180? , k ? ?
?

?? k ? 360 ? 180 第三象限角的集合为
第四象限角的集合为 终边在 x 轴上的角的集合为 终边在 y 轴上的角的集合为

? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?
?

?? k ? 360 ? 270

?

?? ? ? k ?180 , k ? ?? ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ??
? ? ?

?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为
? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? ? 与角 终边相同的角的集合为
4、关于扇形的计算公式:

?

?

l?

? ? 1 1 ?2 π R ? 2 ? R; S ? ?π R 2 ? ? R 2 ? Rl 2 π 2 π 2 2

9

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l——弧长α——圆心角 (弧度制 R——扇形半径 S——面积

? 180 ? ? ? 1? ? 1 ? ? ? 57.3 ? ? ? 180 , ? 弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 ,
?

?

sin ? ?
象限

y x y ; cos ? ? ; tan ? ? ( x ? 0) r ? x2 ? y2 r r x (x 为该点到 y 轴的距离,y 为该点到 x 轴的距离 )
一 二 三 四 α 0

π 6 1 2

π 4 2 2

π 3 3 2 1 2

π 2
1

2 π 3 3 2 1 -2
- 3

3 π 4 2 2 2 - 2
-1

5 π 6 1 2

π

3 π 2
-1

2π 0

sinα

+

+

-

-

sin α

0

0

cosα

+

-

-

+

cos α

1

3 2
1

2 2

0

3 - 2 3 - 3

-1

0

1

tanα

+

-

+

-

tan α

0

3 3

3

0

0

sin ? sin ? 1 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1; sin ? ? cos ? tan ?; ? tan ?; cos ? ? ? 1 ? sin 2 ?; sin ? ? ? 1 ? cos 2 ?; cos ? ? ; 1 ? tan 2 ? ? cos ? tan ? cos 2 ?
诱导公式:( k ? Z )

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ?; sin(? ? ? ) ? sin ?; sin(? ? ? ) ? ? sin ?; sin(

?
2

? ? ) ? cos ?; sin(

?
2

? ? ) ? cos ?; sin( ??) ? ?sin?

cos(? ? k ? 2? ) ? cos ?; cos(? ? ? ) ? ? cos ?; cos(? ? ? ) ? ? cos ?; cos(

? ? ? ? ) ? ? sin ?; cos( ? ? ) ? sin ?; cos( ?? ) ? cos ? 2 2

tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?; tan(? ? ? ) ? ? tan ?; tan(? ? ? ) ? tan ?; tan( ?? ) ? ? tan ?
函数形式 周期 对称中心 对称轴方程 函数形式 周期 对称中心 对称轴方程

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y ? A sin(?x ? ? ) 2?

(k?, 0)
(?x ? ? ) ? k?

?

使

x ? k? ?

? 2

y ? A cos(?x ? ?2 )?

?

(k? ?
使

? , 0) 2

x ? k? 使
(?x ? ? )

使 =

=

求出的 x 即为 对称中心的横 坐标

(?x ? ? )

(?x ? ? ) ? k? ?

?
2

k? 求 出 的
x 即为对称 轴的横坐标

k? ?

?
2 求出的

求出的 x 即为 对称中心的 横坐标 单调递减区间 奇偶性 奇

x 即为对称轴的 横坐标 函数形式 单调递增区间

y ? sin x

? ?? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? (k ? Z ) ? 2 2? ? ?

? 3? ? ? 2k? ? (k ? Z ) ?2k? ? 2 , 2 ? ? ?

y ? cos x y ? tan x

?2k?, 2k? ? ? ?(k ? Z )
? ?? ? ?k? ? 2 ,k? ? 2 ? (k ? Z ) ? ?

?2k? ? ?, 2k? ? 2? ?(k ? Z )
无单调递减区间 奇



(注:以上两个表格中的 k 皆属于 Z) 和差公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ? ? tan( ? ? ) 1 ? tan ? 4 a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 ( a a ?b
2 2

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

sin ? ?

b a ? b2
2

cos ? )
(辅助角公式)

万能公式: (不考,也不常用,作为了解)

? ? ? 1 ? tan 2 2 tan 2 ; 2; 2 ;a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) sin ? ? cos ? tan ? ? ? ? ? 1 ? tan 2 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2 2
2 tan
半角倍角公式:

倍角:

sin 2? ? 2 sin ? cos ?; tan 2? ?

2 tan ? ; cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) 2 1 ? tan ?
11

人教版高中数学必修一至必修五公式(必会)

cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?; 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) 2 1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ?; 1 ? cos 2? ? 2 sin 2 ?; sin ? ? cos ? ? sin 1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2?; cos 2 ? ? ; sin 2 ? ? 2 2 2

半角:

? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? ?? ; cos ? ? ; tan ? ? ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? ? ? ; 1 ? cos ? ? 2 sin 2 ; 1 ? sin ? ? (sin ? cos ) 2 2 2 2 2
y P

1 ? cos ? ? 2 cos 2

T

积化和差公式: (高一不要求掌握)

sin ? cos ? ?

1 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )?; cos ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 2 1 1 cos ? cos ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )?; sin ? sin ? ? ?cos(? ? ? ) ? coa (? ? ? )? 2 2

O

M

Ax

和差化积公式: (高一不要求掌握)

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? cos ; sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? sin ; cos ? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 2 2

(三角函数线配图)

cos ? ? cos ? ? 2 cos

三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? 三角函数图像(需记牢)

性质

函 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ? R

? ?1,1?


? ?1,1?

x ? 2k ? ?

最值

ymax

x ? 2k ? ? k ? ? ? ? 当 时, k ? ? ? ? 2 时, ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ? ? x ? 2k ? ? ?1 ? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 . 2 ;当

既无最大值也无最小值

12

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? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期性 奇偶性

2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数

? ?? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2? 在?
单调性

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? 2 2? ? ?



? 2 k? ? ? , 2 k? ? ? k ? ? ? ? 2 k? , 2 k? ? ? ?

上是

增函数;在

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? 在?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对称性 对称轴 向量:

? k? , 0 ?? k ? ? ?
? ?k ? ? ? 2

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? 对称中心 ?
对称轴

? k? ? , 0? ?k ? ?? ? 2 ? ? 对称中心
无对称轴

x ? k? ?

x ? k? ? k ? ? ?

(在三角形中可看懂; AB ? AD ? AC (在平行四边形中可看 懂) 加法运算: AB ? BC ? AC ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b 三角形不等式: . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ?c ? a ? b ?c ①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ? ? ? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y 2 ? a ? ? x1 , y1 ? b ? ? x2 , y2 ?

?

?

?

?

坐标运算:设



,则

向量减法运算: AC ? AB ? BC (在三角形中可看懂) 坐标运算:设

? a ? ? x1 , y1 ?



? b ? ? x2 , y 2 ?

,则

? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y 2 ?

设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 向量数乘运算:①

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则


??? ? ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?



? ? ?a ? ? a ?

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:①

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ? a ? ? x, y ?

? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ?b . ;②
? ? ? ? ? a ? ? ? x, y ? ? ?? x, ? y ?

13

?

?

?

?

⑶坐标运算:设

,则

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分点坐标公式:设点 ? 是线段

?1? 2

上的一点,

?1



?2

?x , y ? ?x , y ? ? ? ? ? ?? 2 的坐标分别是 1 1 , 2 2 ,当 1 时,点 ? 的坐

??? ?

????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ? ? 1 ? ? 1? ? ? ? 标是
平面向量的数量积:⑴

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? ? 180 ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? a b ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, ;当 a 与 b 反向时, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? a ?b ? ? a b a ?b ? a b a ? a ?a a ?a ? a2 ? a


? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

? ? ? ? ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;②
⑷坐标运算:设两个非零向量 若 设 设

? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b



.③



?

?

? a ? ? x1 , y1 ?
,或



? b ? ? x2 , y 2 ?


? ? ? ? ? ? b ??c ? a ?c ? b ?c ? ? ;③ ? a .
,则

?

?

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y 2



? a ? ? x, y ?

,则 , ,

?2 a ? x2 ? y2

? a ? x2 ? y2

? a ? ? x1 , y1 ? ? a ? ? x1 , y1 ?

? b ? ? x2 , y 2 ? ? b ? ? x2 , y 2 ?

,则

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y 2 ? 0



,则 a ∥ b ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

? ? ? ? ? ? b ? ? x2 , y 2 ? ? a a ? x , y ? ? 1 1 设 a 、 b 都是非零向量, , , 是 与 b 的夹角,则
空间几何:

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos? ? ? ? ? 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2



6 6 2 a a a 正四面体对棱垂直,若设正四面体棱长为 a,其外接球半径为 4 ,其内接球半径为 12 ,其棱切球半径为 4 。
重心:各边中线的交点。 垂心:各边垂线的交点

A B C

D l a b

c
l ? a2 ? b2 ? c2

AC 2 ? BD 2 ? 2( AB 2 ? AD 2 )

A c B a b C
S? 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

14

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必修五数学公式概念 第一章 1.1 解三角形 正弦定理

正弦定理和余弦定理 1.1.1

a b c ? ? 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin A sin B sin C . a b c ? ? ? 2R 正弦定理推论:① sin A sin B sin C ( R 为三角形外接圆的半径) a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C a sin A b sin B a sin A ? , ? , ? ③ b sin B c sin C c sin C



④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C

a b c a ?b ?c ? ? ? ⑤ sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

2、解三角形的概念:一般地,我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元 素:三条边 ( a, b, c ) 和三个内角 ( A, B, C ) .在三角形中,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 3、正弦定理确定三角形解的情况 图 形 关 系 式 解 的 个 数

A
为 锐 角

① a ? b sin A ②a ?b 一 解

b sin A ? a ? b

两 解

a ? b sin A

无 解

A


a?b

一 解

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钝 角 或 直 角 任意三角形面积公式为:

a?b

无 解

1 1 1 abc S? ABC ? bc sin A ? ac sin B ? ab sin C ? 2 2 2 4R r ? p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) ? (a ? b ? c) ? 2 R 2 sin A sin B sin C 2
1.1.2 余弦定理

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ca cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C . cos A ? b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 cos B ? cos C ? 2bc 2ac 2ab , ,

余弦定理推论:

6、不常用的三角函数值 15° 75° 105° 165°

sin ?

6? 2 4 6? 2 4 2? 3
应用举例

6? 2 4 6? 2 4 2? 3

6? 2 4 ? 6? 2 4 ?2? 3 ?

6? 2 4 6? 2 4

cos ? tan ?
1.2

?2? 3

1、方位角:如图 1,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。 2、方向角:如图 2,从指定线到目标方向线所成的小于 90°的水平角。 (指定方向线是指正北或正南或正西或正东) 3、仰角和俯角:如图 3,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做
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仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角。

(1)方位角

(2)方向角

(3)仰角和俯角

(4)视角 (5)坡角与坡比

视角:如图 4,观察物体的两端,视线张开的角度称为视角。 铅直平行:于海平面垂直的平面。 坡角与坡比:如图 5,坡面与水平面所成的夹角叫坡角,坡面的铅直

? ?i ? 高度与水平宽度的比叫坡比 ?

h? ? l ?.
第二章 数 列

2.1

数列的概念与简单表示法

1、数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中的每一项和它 的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(也叫首项) ,排在第二位的数称为这个数列的第 2 项,…,排在 第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。所以,数列的一般形式可以写成 2、数列的通项公式:如果数列 的通项公式。 3、 数列的递推公式: 如果已知数列的第 1 项 (或前几项) , 且从第 2 项 (或某一项) 开始的任一项

a1

, a2 ,

a3

,…,

an

,…,简记为

?an ?.

?an ?的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列

an

与它的前一项

an ? 1

(或前几项) (n ? 2) 间的关系可以用一个公式表示, 那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 定义式为 ( n ?1) 4、数列与函数:数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集
*

an ? 2an ?1 ? 1

?1,

2, 3, 4, …, n?

)为定义域的函数

an ? f ?n ?

,当

自变量按照从大到小的顺序依次取值时,所对应的一列函数值。通项公式可以看成函数的解析式。 5、数列的单调性:若数列

?an ?满足:对一切正整数 n ,都有 an ? 1 ? an (或 an ? 1 ? an ) ?a ? ,则称数列 n 为递增数列
17

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(或递减数列) 。 判断方法:①转化为函数,借助函数的单调性,求数列的单调性; ②作差比较法,即作差比较 2.2 等差数列

an ?1



an

的大小;

等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示。定义式为

an ? an ?1 ? d

( n ? 2 , n ? N )或
*

an ?1 ? an ? d

(n? N )

*

等差中项:由三个数 a , A , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时, A 叫做 a 与 b 的等差中项。

A 是 a , b 的等差中项 ?

A?

a?b 2 ? 2A ? a ? b ? A ? a ? b ? A . an ?1


等差中项判定等差数列:任取相邻的三项

an



an ?1



n ? 2, n ? N*

) ,则

an ?1



an



an ?1

成等差数列 ?

2an ? an ?1 ? an ?1

(n ? 2)?

?an ?是等差数列。
d? an ? a1 n ?1 .

等差数列的通项公式

an ? a1 ? ? n ? 1? d

,其中 a1 为首项, d 为公差。变形为:

通项公式的变形:

an ? am ? ?n ? m ?d

,其中

am

为第 m 项。变形为

d?

an ? am n?m .

* a ? an ? a p ? aq 6、等差数列的性质: (1)若 n , m , p , q ? N ,且 m ? n ? p ? q ,则 m ;

(2)若 m ? n ? 2 p ,则

am ? an ? 2a p



a a a 若 m , p , n 成等差数列,则 m , p , n 成等差关系;
若 若

?an ?成等差数列 ? an ? pn ? q (公差为 p ,首项为 p ? q ) ; ?cn ?成等差数列,则 ?an ?也成等差数列; ?an ? ?bn ?都是等差数列,则 ?pan ? q? , ?pan ? qbm ?也是等差数列。
等差数列的前 n 项和

如果

2.3

18

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?S1 ?n ? 1? an ? ? a s ?S n ? S n ?1 ?n ? 2 ? . 1、一般数列 n 与 n 的关系为
2、等差数列前 n 项和的公式:

Sn ?

n?a1 ? an ? n?n ? 1? ? na1 ? d 2 2 S n ? na1 ? n?n ? 1? d d? ? d d d ? n 2 ? ? a1 ? ?n A? B ? a1 ? 2 2 2 ? ? ,令 2, 2,

3、等差数列前 n 项和公式的函数特征: (1)由 则

?an ?为等差数列 ?

S n ? An 2 ? Bn

S ( A、B 为常数,其中 d ? 2 A , a1 ? a ? b ). 若 A ? 0 ,即 d ? 0 ,则 n 是关

S ? na1 . 于 n 的无常数项的二次函数,若 A ? 0 ,即 d ? 0 ,则 n ? ? ?a ? (2)若 n 为等差数列, ? n ? 也是等差数列,公差为 2
(3)若 (4)若

? Sn ?

d

?an ?为等差数列, S k , S 2 k ? S K ,
Sn ? m


S3k ? S 2 k , ?

也成等差数列

Sm ? n

,则

S m ? n ? ??m ? n ?

(5)若

Sm ? Sn

,则

S m?n ? 0

am A2 m ?1 ? ?a ??b ? A B b B2 m ?1 (6)若 n n 是均为等差数列,前 n 项和分别是 n 与 n ,则有 m
(7)在等差数列 2.4 等比数列

?an ?中, a1 ? 0 , d ? 0 ,则 S n 存在最大值, a1 ? 0 , d ? 0 ,则 S n 存在最小值。

等比数列:一般地如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这

an ?q q ? 0? ? a ? 0 , q ? 0 ). a q n ? 1 .定义式: 个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 表示 ,( n ? 2 , n
等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比数列。 a , G , b

成等比数列

?

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab a G .

两数同号才有等比中项,且有 2 个互为相反数。

通项公式:

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ?q q

其中首相为
*

a1

,公比为 q .

等比数列的性质: 2.5

an ? am q n ? m

( n , m ? N ).

等比数列的前 n 项和
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? na1 ? q ? 1? ? S n ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q 1、等比数列的前 n 项和的公式: Sn ? a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a a1 a A? 1 ? 1 qn n 1 ? q ,即 S n ? ? Aq ? A . 1 ? q 1 ? q .记

2、等比数列的前 n 项和的函数特征:当 q ? 1 时, 3、等比数列的前 n 项和的性质: (1)当 (2)

在等比数列中: ,…均不为零时,数列成等差数列。公比为 qk .

Sk



S2k ? Sk



S3 k ? S 2 k

Sn? m ? Sn ? q nSm ? Sm ? q mSn

am ? q m?n a ? an ? q m ? n m n ? N * a (3) n 或 m ( 、 ) a ? a ? a p ? aq (4)若 m ? n ? p ? q ,则 m n
(5)若 (6)若

?an ? 为等差数列,则 ?C a ? 为等比数列
n

?an ? 为正项等比数列,则 ?log C an ? 是等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 均为等比数列,则 ?? an ? ?
?? ? ? an ? an ?、 an k ? 、 ?an ? bn ?、 ? ? ? ?? ? 0 ?、 ? ? ? an ? ? bn ?
等仍是等比数列。公比分别

(7)若

q 1 q、 、 q 、q k、q1q 2、 1 q q2 . 为:

(8)等比数列 递增减数列。

?an ? 的增减性:当

? a1 ? 0 ? ?q ? 1

,或

?a1 ? 0 ? ?0 ? q ? 1

时,

?an ? 为递增数列;当

?a1 ? 0 ? ?0 ? q ? 1



? a1 ? 0 ? ?q ? 1

时,

? an ? 为

4、由递推公式求数列通向法: (1)累加法:

an ?1 ? an ? f ? n ? an ?1 ? an ? f ? n ? an ?1 ? pan qan ? p

变形:

an ?1 ? an ? f ? n ?

(2)累乘法:

an ?1 ? f ?n? a n 变形:

(3)取倒数法:

(4)构建新数列法:

an ?1 ? pan ? q

? pq ( p ? 1) ? 0 ? ) (其中 p , q 均为常数,
20

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? 设 an ?1 ? k ? p ? an ? k ? ? ?an ? k ? 为等比数列。
第三章 3.1 不等式 不等式关系与不等式

1、不等式定义:用不等号( ? 、 ? 、 ? 、 ? 、 ? )表示不等关系的式子叫不等式,记作

f ? x? ? g ?x?



f ? x? ? g ?x?

等。用“ ? ”或“ ? ”连接的不等式叫严格不等式,用不“ ? ”或“ ? ”连接的不等式叫非严格不等式。 2、实数的基本性质

a ? b ? a ?b ? 0;a ? b ? a ?b ? 0 ;a ? b ? a ?b ? 0.
实数的其他性质

a ? 0? a ? 0? a ? 0? ? ? a ? b ? 0, ab ? 0 ? ? a ? b ? 0, ab ? 0 ? ? ab ? 0 b ? 0? b ? 0 b ? 0 ? ? ; ;
3、不等式的基本性质 (1)对称性: a ? b ? b ? a (3)可加性: a ? b ? a ? c ? b ? c (2)传递性:

a ? b, b ? c ? a ? c

推论 1: a ? b ? c ? a ? c ? b (移向法则)

a ? b? ?? a?c ?b?d c ? d? 推论 2: (同向不等式的相加法则) a ? b? a ? b? ? ? ac ? bc ? ? ac ? bc c ? 0 c ? 0 ? ? (4)可乘性: ; a ? b? a ? b? ?? a?c ? b?d ?? a?d ?b?c c ? d d ? c ? ? (5)同向相加: ;异向可减: a ? b ? 0? a ? b ? 0? a b ? ? ac ? bd ?? ? c ? d ? 0? 0 ? d ? c? d c (6)同向可乘: ;异项可除:
(7)乘方法则: a ? b ? 0 ? a ? b ( n ? N , n ? 1 ) (8)可开方性法则: a ? b ? 0 ?
n n n

a ? n b (n?N,n ? 2 )

a ?b ? 1 1 ?? ? ab ? 0 ? a b (9)倒数法则:
3.2 一元二次不等式及其解法
21

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一元二次不等式定义:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式。使一 元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元 二次不等式的解集。 二次函数,一元二次方程,一元二次不等式三者之间的关系

? ? b 2 ? 4ac ax 2 ? bx ? c ? 0

??0

??0

??0

? a ? 0 ? 的图像
ax 2 ? bx ? c ? 0
两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根

? a ? 0 ? 的根
ax 2 ? bx ? c ? 0

? x1 ? x2 ?
?

? x1 ? x2 ?
? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

? a ? 0?

R

的解集

ax 2 ? bx ? c ? 0

? a ? 0 ? 的解集

?x x
2

1

? x ? x2 ?

?

附:韦达定理设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的两根为 x1,x2, 则 x1 ? x2 ? ? 3.3

b c , x1 x2 ? . a a
二元一次不等式(组)与平面区域

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1

平面区域:一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点 组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括边界。不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线。 平面区域的判定:一般地,当 y ? kx ? b 时,表示 y ? kx ? b 的上方区域; 当 y ? kx ? b 时,表示 y ? kx ? b 的下方区域。 3.3.2 简单的线性规划问题
22

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线性规划有关概念:①在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称线性规划问题。②若约束条件 是关于变量的一次不等式(方程) ,则成为线性约束条件。③要求最大(小)值所涉及的关于变量 x , y 的一次解析式 叫做线性目标函数。④满足线性约束条件的解( x , y )叫做可行解,⑤由所有可行解组成的集合叫做可行域。⑥使 目标函数取得最大值或最小值的可行解叫解叫做最优解。

3.4

基本不等式:

ab ?

a?b 2
2 2

主要不等式:设 a , b ? R ,则 a ? b ? 2ab a ? b (当且仅当时取“=” )

a?b ? ab 基本不等式:设 a ? 0 , b ? 0 ,则 2 (当且仅当 a ? b 时取“=” )
即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。变形: a ? b ? 2 ab .
2 2 ? a?b? a ?b 2ab a ?b a2 ?b2 ? ab ? ? ? ab ? ? ? ? 2 (a ,b ?R ) 2 2 ? 2 ? 应用: a ? b 2

基本不等式的应用

如果和 x ? y 是定值 S ,那么当且仅当 如果积

x?y?

S2 S 2 时,积 x y 有最大值 4 ; P 时,和 x ? y 有最小值 2 P .

xy

是定值 P ,那么当且仅当 x ? y ?

应注意以下几点: ①各项或各因式必须为整数; ②各项或各因式的和(或积)必须为常数; ③各项或各因式能够取相等的值. 以上三个条件简称为“一正,二定,三相等”

射影定理: ① CD 2 ? AD ? BD ;② AC 2 ? AD ? AB ;
③ CB ? BD ? AB .
2

23

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关于不等式其他补充内容 两点间的距离公式:设

P 1 ? x1 , y1 ?



P2 ? x2 , y2 ?

,则

P 1P 2 ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

.

点到直线的距离公式:设

P ? x0 , y0 ? d?

,直线 l 的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ( A 、 B 不同时为

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
. 和

零) ,则 P 到直线 l 的距离

两平行线间的距离公式:两平行直线

Ax ? By ? C1 ? 0

Ax ? By ? C 2 ? 0

间的距离

d?

C1 ? C2 A2 ? B 2 . k? y ? y0 x ? x0 ,即 y ? y0 ? k ? x ? x0 ?

点斜式方程:

斜截式方程: y ? kx ? b ,其中 k 为斜率, b 为截距。 直线方程的一般形式: Ax ? By ? C ? 0 ( A 、 B 不同时为零) ,当 B ? 0 时,方程可化为

y??

A C A C x? ? ? B B ,表示斜率为 B ,在 y 轴上的截距为 B 的直线。
2 2

? x ? a? ? ? y ? b? 圆的标准方程:

? r2

. 其中圆心为

C ? a, b ?

,半径为 r .

24


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